平面向量及其运算
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。
在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。
平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。
即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。
2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。
即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。
3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。
即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。
4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。
即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。
点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。
5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。
即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。
平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。
1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。
2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。
3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。
4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。
平面向量的表示与运算
平面向量的表示与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的量，是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将介绍平面向量的表示方法和基本运算。
一、平面向量的表示方法1. 坐标表示法：平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，而向量则可以用终点减去起点得到。
设A(x1, y1)为起点，B(x2, y2)为终点，则向量AB的表示为AB = (x2-x1, y2-y1)。
2. 箭头表示法：向量可以用一条有方向的箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
例如，向量AB用符号→表示。
3. 模长和方向角表示法：设向量A的模长为|A|，方向角为α，则向量A的表示为A = |A|cosαi + |A|sinαj，其中i和j分别为x轴和y轴上的单位向量。
二、平面向量的基本运算1. 加法运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A+B的表示为A+B = (x1+x2, y1+y2)。
2. 数乘运算：设有向量A(x, y)和实数k，kA的表示为kA = (kx, ky)。
3. 减法运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A-B的表示为A-B = A + (-B) = (x1-x2, y1-y2)。
4. 内积运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A·B的表示为A·B = x1x2 + y1y2，即A·B = |A||B|cosθ，其中θ为A与B之间的夹角。
5. 外积运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A×B的表示为A×B = x1y2 - x2y1，即A×B = |A||B|sinθ，其中θ为A与B之间的夹角。
三、平面向量的性质1. 向量的平移：向量的起点和终点平移，向量本身保持不变。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
3. 相等向量：若两个向量的大小和方向都相同，则它们为相等向量。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
向量的大小记为|→AB|。
三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。
3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。
4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。
四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。
总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。
平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的定义及其运算
平面向量的定义及其运算平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成。
平面向量可以表示为有向线段，并且与其他向量的比较以及运算都是在同一平面内进行的。
一、平面向量的定义平面向量是有向线段的表示，它由长度和方向两个属性组成。
如果两个有向线段的长度相等且方向相同，那么这两个有向线段就代表同一个向量。
同一个向量可以用不同的有向线段表示出来。
二、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新向量的过程。
图1. 向量加法的图示由上图可知，向量AB和向量BC相加得到向量AC。
向量的加法满足以下三个性质：(1) 交换律：a+b=b+a(2) 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(3) 零向量：对于任意向量a，都有a+0=a2. 向量数量积向量数量积是指将两个向量相应的分量相乘，再将乘积相加得到一个数的过程。
图2. 向量数量积的图示由上图可知，向量a和向量b的数量积为a*b，它表示向量a 在向量b上的投影与向量b的长度的乘积。
向量的数量积满足以下性质：(1) 交换律：a*b=b*a(2) 结合律：a*(kb)=(ak)*b=a*k*b，其中k为一个数(3) 零向量：对于任意向量a，都有a*0=03. 向量减法向量减法是指将两个向量相应分量相减得到一个新向量的过程。
图3. 向量减法的图示由上图可知，向量ab和向量bc的差为向量ac。
向量的减法满足以下性质：(1) a-b=a+(-b)(2) a-a=0三、总结平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成，可以表示为有向线段。
向量加法、数量积和减法是平面向量的三种基本运算，它们分别代表了向量的加法、倍数和减法。
通过这三种运算，我们可以对向量的大小、方向等属性进行计算和描述。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。
在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。
下面将详细介绍平面向量的运算方法。
一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。
解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。
二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。
解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。
设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。
例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。
解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。
平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。
如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。
即将除法转化为乘法运算。
例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。
解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是二维空间中的有方向的量，可以通过各种运算来进行计算和处理。
本文将涉及到平面向量的基本运算，包括向量的加法、减法、数乘、模长和单位向量等。
并将通过具体实例和图表来帮助读者更好地理解和应用这些运算。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的操作。
设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的加法运算为：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)在坐标平面上，A + A的结果就是将向量A的起点放在向量A的终点，然后连接向量A的起点和向量A的终点。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有两个向量A和A，分别表示为：A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的减法运算为：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)在坐标平面上，A- A的结果就是连接向量A的起点和向量A的终点。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。
设有一个向量A，表示为：A = (A, A)A为实数，则向量A的数乘运算为：AA = (AA, AA)在坐标平面上，将向量A的长度缩放A倍，方向保持不变。
四、向量的模长向量的模长，也称为向量的长度，表示为向量起点到终点的距离。
设有一个向量A，表示为：A = (A, A)则向量A的模长为：|A| = √(A² + A²)模长为非负实数，表示向量的大小。
五、单位向量单位向量是指模长为1的向量。
通过将一个非零向量除以它的模长即可得到单位向量。
设有一个非零向量A，表示为：A = (A, A)则单位向量A为：A = (A/|A|, A/|A|)其中，|A|为向量A的模长。
单位向量在方向上与原向量相同，但长度为1。
六、向量的运算性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是二维空间中的矢量量，可以用有向线段表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法等。
下面将对平面向量的这些基本运算进行详细介绍。
一、向量的加法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量A和向量B，记为A+B。
向量A的起点与向量B的终点相连，则新的向量A+B的起点为A的起点，终点为B的终点。
向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
设有向量A和向量B，记为A-B。
即A-B=A+(-B)，其中-B表示向量B 的反向量。
向量的减法可以转化为向量的加法处理。
三、数量乘法数量乘法即一个向量乘以一个实数。
设有向量A和实数k，记为kA。
数量乘法改变了向量的长度，但不改变其方向。
当k>0时，kA与A的方向相同；当k<0时，kA与A的方向相反；当k=0时，kA为零向量。
数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
四、点乘法点乘法又称为内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
设有向量A和向量B，记为A·B。
点乘法的结果是一个实数。
点乘法的计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ为A和B之间的夹角。
点乘法具有交换律和分配律，即A·B=B·A，(A+B)·C=A·C+B·C。
以上是平面向量的基本运算。
借助这些运算，我们可以解决很多有关平面向量的问题，比如求向量的模长、求向量的方向角、求向量的单位向量等。
在实际应用中，平面向量常用于力学、几何、物理等多个领域，并且在工程、航天等行业中有广泛的应用。
总结起来，平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。
通过这些运算，可以定义向量的线性组合、向量的模长、向量的方向角等重要概念，并在实际问题中得到应用。
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。
平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。
一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。
常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。
二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。
将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。
相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。
用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。
其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。
四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。
2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。
3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。
五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。
2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。
3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面内的位移、力、速度等物理量。
平面向量具有大小和方向两个属性，可以进行基本的运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
本文将介绍平面向量的基本运算方法和性质。
一、平面向量加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A加向量B的结果为C（Cₓ, Cᵧ），其中Cₓ = Aₓ + Bₓ，Cᵧ = Aᵧ + Bᵧ。
这意味着加法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相加。
二、平面向量减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A减向量B的结果为D（Dₓ, Dᵧ），其中Dₓ = Aₓ - Bₓ，Dᵧ = Aᵧ - Bᵧ。
这意味着减法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相减。
三、平面向量数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个平面向量A，其坐标为（Aₓ, Aᵧ），实数k。
则向量A乘以实数k的结果为E（Eₓ, Eᵧ），其中Eₓ = k * Aₓ，Eᵧ = k * Aᵧ。
这意味着数量乘法运算对向量的横坐标和纵坐标分别进行相乘。
四、平面向量点乘平面向量的点乘是指将两个向量的对应坐标分别相乘后再相加，得到一个实数。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A点乘向量B的结果为F = Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ。
点乘运算得到的是一个实数，而不是一个向量。
平面向量的点乘在几何意义上可以用来计算向量之间的夹角。
设有两个非零向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cosθ = (Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ) / (|A| * |B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。
平面向量的基本运算方法和性质为解决平面几何问题提供了有力工具。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是指在特定的二维空间中，包含一个方向和大小的矢量。
它们可以用来描述物体在空间中的位置，也可以用来表示一个方向。
平面向量还可以用来表示力，热量和速度等物理量。
平面向量可以用不同的方式表示。
一种常见的表示方式是用“箭头法”，即在任意两点之间画出一条箭头，由起点指向终点，来表示方向和大小。
也可以用一个由两个向量表示的矢量来表示一个平面向量，这一种表示方式称为“极坐标系表示法”。
二、平面向量的四则运算平面向量可以进行四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
（1）平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个平面向量的终点相加得到的向量。
如果平面向量的表示方式是极坐标系表示法，只需要将两个向量的模和方向加起来即可。
（2）平面向量的减法减法的运算方式跟加法一样，只需要将被减数的终点减去减数的终点，即可得到减法结果。
（3）平面向量的乘法乘法是指将平面向量与一个标量相乘得到新的平面向量，新的平面向量方向和原向量一致，但是大小不同。
（4）平面向量的除法除法是指将平面向量与一个标量相除得到的新的平面向量，新的平面向量的方向与原向量相反，但是大小不同。
三、平面向量的应用1、研究角度平面向量可以用来研究各种物理现象，如抛物运动及其分析，曲率等。
2、工程中的应用平面向量在工程中有着重要的应用，如在航空、船舶、汽车等工程中，都可以应用平面向量来研究物体的运动轨迹。
3、社会经济中的应用平面向量可以应用于社会经济学中，如解决资源分配问题、多人博弈中的最优策略等。
总结本文主要讨论了平面向量的概念、四则运算以及其应用。
平面向量可以用箭头法或极坐标系表示法来表示，它们可以进行加减乘除四则运算，在物理、工程和社会经济中都有重要的应用。
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。
错误!未找到引用源。
若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
平面向量和向量运算
平面向量和向量运算平面向量是平面上一个有方向和大小的箭头，可以用两点确定，表示为AB → 或a → 。
平面向量常用于描述平面几何中的位移、速度、力等。
一、平面向量的表示和性质平面向量AB → 的两个重要性质是大小和方向。
平面向量的大小也称为模或长度，用|AB → | 或|a → | 表示。
根据勾股定理，若坐标平面上的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则平面向量AB → 的大小为：|AB → | = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)平面向量还有方向，可以用角度或方向角来表示。
方向角是指向量与平面上的x轴之间的夹角，通常用θ表示。
方向角的计算公式为：θ = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))二、平面向量的运算1. 平面向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则。
给定平面向量AB → 和CD → ，它们的和AC → 可以通过以下步骤计算：a) 将平面向量CD → 平移使起点与点B重合，得到平移后的向量CD' → ；b) 连接向量AB → 的终点A与平移后的向量CD' → 的终点D'，得到向量AC → 。
2. 平面向量的减法平面向量的减法可以通过向量加法的性质进行转化，即AB → - CD → = AB → + (-CD →) ，其中-CD → 是CD → 的相反向量，可以通过改变其大小和方向得到。
3. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积，是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
给定平面向量AB → 和CD → ，它们的数量积可以计算为：AB → · CD → = |AB → |⋅|CD → |⋅cosθ其中，θ为AB → 和CD → 之间的夹角。
4. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积，是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积再乘以一个垂直于这两个向量所在平面的单位向量。
平面向量AB → 和CD → 的向量积可以计算为：AB → × CD → = |AB → |⋅|CD → |⋅sinθ⋅ n^其中，θ为AB → 和CD → 之间的夹角，n^为垂直于AB → 和CD → 所在平面的单位向量。
平面向量及其运算
1、向量的概念:①向量：既有大小又有方向的量 ，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的,叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量 a 加上b 的相反向量，叫做 a 与b 的差。
即:a-b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点。
③实数与向量的积：实数入与向量a 的积是一个向量，记作入a ,它的长度与方向规定如下:（n ）当’0时，入a 的方向与a 的方向相同；当’：：：0时，入a 的若 a 二 X i ，% ,b 二 X 2，y 2，则 a -b 二人—h - y ? ②右 A x i , y i , B X 2, y 2，则 AB = X 2 - X i , y 2 - y i③若 a 二 X i , y i ,b =冷，y ?，贝卩 a//b= X i y 2 - 刈屮=00与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量（共线向量） :方向相同或相反的非零向量 2、向量加减法:XS +ic=AC 吗空 BC=AC-AB注縄注中的籾庠是先屋1,眈T T T T a -b = a +(-b )；方向与a 的方向相反；当 ■ =0时，，a=0，方向是任意的。
④两个向量共线定理：向量 b 与非零向量a 共线=有且只有一个实数•，使得b = a 。
3、平面向量的坐标表示(1) 平面向量的坐标表示: 平面内的任一向量a可表示成a 二xi yj ,记作a =（x,y ）。
(2) 平面向量的坐标运算: 若 A(X 1, y 1) , B (X 2, y 2),则 |AB|= U (X 2 — X 1 f + (y 2 — y i j . ①求两个向量和的运算,④若 a = x 1,y 1 ,b =屜，y 2，则 a b = %x 2 % y 2；若 a _ b ，则 x i x ? % y 2 =0注意：与x 轴、y 轴方向相同两个单位向量i 、j 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 入1,入2使a = ^ ii +入2 j我们把不共线向量i 、j 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线；由定理可将任一向量 a 在给出基底i 、j 的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一 •入1,入2是被a , i 、j 唯一确定的数量。
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平面向量及其运算 Prepared on 22 November 2020
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
2、向量加减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量→
a 加上→
b 的相反向量，叫做→
a 与→
b 的差。
即：→
a →
b = →
a + (→
b )；
b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b
有共同起点。
③实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方
向规定如下：
（Ⅰ）a a
⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0
<λ时，λa 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
④两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
3、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作
a =(x,y)。
（2）平面向量的坐标运算：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝
x 2－x 12＋y 2－y 12.
① 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= ④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅；若
a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x
注意：与x 轴、y 轴方向相同两个单位向量i 、j 是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ1i +λ2j 我们把不共线向量i 、j 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线；
由定理可将任一向量ａ在给出基底i 、j 的条件下进行分解；
基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，i 、j 唯一确定的数量。
⑤向量运算运算律：
2
2
||
a a a a ⋅==；
()()2
2
2
2
a b a b a b a b +⋅-=-=-；
()()()
()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈
()
2
2
2
2a b a a b b ±=±⋅+2
2
2a a b b
=±⋅+ ；
()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 4、平面向量的数量积：
（1） “投影”的概念：|b |cos 叫做向量b 在a
方向上的投影
（2）()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤；规定00a ⋅=；
几何意义：数量积a b 等于a
的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 （3）设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，
a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．
（4）运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③
()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
（5）坐标运算：若(),a x y =，则2
22a x y =+，或2a x y =+ 设非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+ ；
12120a b x x y y ⊥⇔+=．
1.已知()()a
b →
→
==cos sin cos sin ααββ，，，，其中0<<<αβπ。
⑴ 求证：a b →
→
＋与a b →
→
－互相垂直；⑵ 若k
a b →→+与k a b →→
-（k ≠0）的长度相等，求βα-。
2.(2013·江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 3. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－
1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
cos 2A 2，cos 2A ，且m·n ＝72.
(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 的形状。
4. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R . (1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π
3]，求x ；
(2)若y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π
2)平移后得到y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值。
5. 已知向量OA → =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量。
（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值。
1．下列命题中正确的是（ ）
A ．OA O
B AB -= B ．0AB BA +=
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
2．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）
A ．(3,1)
B ．(1,1)-
C ．(3,1)或(1,1)-
D ．无数多个
3．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(-
4．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于 A ．2- B ．2 C ．
21
D ．12
- 5．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6
π B ．3π C ．32π D ．6
5π
6．设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）
A ．030
B ．060
C ．075
D ．045
7．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 8．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→
c ，则
→
c =____。
9．若1a =,2b =，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥()ma b -，则m 的值为 ．
10．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。
11．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→
b 上的投影为________________。
12．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。