用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于-1

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的

斜率的乘积等于-1”

证明：如图，直线y1=k1x和直线y2=k2x互相垂直，

过直线y1=k1x上任意一点A做AC⊥x轴于点C，

在直线y2=k2x上取一点B使OB=OA，过B点做BD⊥x轴于点D，

则∠ACO=∠BDO=90

又∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90

∵∠ACO=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90

∴∠OAC=∠BOD，

∴△AO C≌△BOD（

设OC=a，则BD=OC=a

∵点B在第二象限，

∴点B的坐标是（-k1a，a），

把点B坐标代入直线y2=k2x，

得：a=k

×（-k1a），

2

∴k1k2=-1.

应用举例：

如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足

()()042

2=-++a b a .若点C 坐标为（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点

P ，试求点P 坐标.

解：由()()042

2

=-++a b a 易得：a=4，b= -4，

∴点B 坐标为（0，-4）， ∵点C 坐标为（-1,0），

∴线段BC 的解析式为y=-4x-4， ∵AH ⊥BC ， ∴线段AH 的斜率为

4

1

， 因为点A 坐标为（4，0）， 易得线段AH 的解析式为14

1

-=

x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）.

当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.