《概率论》课件：1-5条件《概率论》课件：

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概率论与数理统计第五节条件概率.ppt5(最新版)

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一项用乘法公式
代入数据计算便可得结果，我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率（）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：

概率论与数理统计1-5

25
（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；（7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。
26
§1.2 随机事件的概率一、事件的频率
定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发
生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生

6

另一个在概率论史上的代表人物是法国数学家泊松（1781—1840 ），他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出一种新的分布，即泊松分布。概率论即他们之后其中心课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。 1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶， 1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。1806年任该校教授，1812年当选为巴黎科学院院士。
件又可记为 A 。
结论：A、B互逆 A、B互不相容 A、B互不相容； A、B互逆。
23
（7）事件的运算规律
交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 分配律：(AB)∪C＝(A∪C)· (B∪C) ， (A∪B)C＝(AC)∪(BC) 德摩根公式： A B A B
是任意无穷多个互不相容的事件，有

P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：
32
性质1. 不可能事件的概率为0，即 P( ) 0.
性质2.有限可加性 : A1 , A2 , , An两两互不相容，则有 P( Ai ) P( Ai )
中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的

概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)

E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);

《条件概率》课件

答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，这可以表示为在事件B发生的条件下，事件A发生的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如，在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设

概率论第一章ppt课件

i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：

概率论第一章PPT课件

2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲甲甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲甲乙甲甲乙
甲甲乙乙甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲乙甲
甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙
2021/3/24
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8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生，即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机试验。
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§1.1.2 样本空间随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本结果
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样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确定，二是结果不确定。

概率论课件-条件概率

则 B1, B2, B3 是样本空间的一个划分,
且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05,
P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
P( AC) 1 P( AC) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由貝葉斯公式得所求概率為
P(C A)
P( AC)P(C)
P( AC)P(C) P( AC)P(C)
0.087.
即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人患有癌症.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的
概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
解设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.
證明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
引例4：一班與二班各有40人分班上課，其中一班有 20名女生，二班有18名女生。現從兩個班中任選一名學生，假設每人被選到的可能性相同，每班被選到的可能性也相同。已知選到了一名女生，問她來自一班的可能性是多少？
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t

概率论与数理统计条件概率PPT课件

（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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结束
§1.4.1 条件概率
一、条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)

《概率论》ppt课件

xi R, i 1, 2, , n.
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次（n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对任意正整数 n 可取定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),

1-5 条件概率

(二)乘法定理
(二)乘法定理对于两个事件A,B，若P(A)>0，则若P(B)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(B)P(A|B)
对于三个事件A,B,C，若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：由于ABA，故P(A)P(AB)，从而必有 P(A)>0 对于n个事件A1,A2,„,An (n≥2)，且P(A1A2„An-1) > 0，则 P(A1A2„An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)„P(AnA1A2„A
例题2
法一：由条件概率定义
6 12 9 12 2 3
P(B|A)

P ( AB ) P ( A)

法二：在缩减的样本空间SA=A中，直接得
P(B|A)=6/9=2/3
法三：第一次抽取的样本空间为：S1={1,2,3,4} 当A发生，即第一次抽取一只一等品后，其样本空间S2只剩下3个元素，而其中只有两个元素是一等品，因此 P(B|A)=2/3。
P (Bi A) P(A)
B1 B2
Bn A

P ( A Bi )P (Bi )
P ( A B j )P (B j )
j1
n
i 1,2 , , n
P(Bi)>0(i=1,2,„,n)
全概率公式和贝叶斯公式的应用
在很多实际问题中，P(A)不易直接求得，但却容易找到样本
空间S的一个划分B1,B2,„,Bn，且P(Bi)和P(A|Bi)或为已知，或易
随机地取一只元件，求它是次品的概率； 3 0.03 0.05 (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2,3)表示解： “所取到的产品是由第i家工厂提供的”，则B1,B2,B3是样本空间S的一个划分。由题意 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05 P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03

概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式

3
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
解设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，

条件概率、全概率公式PPT课件

-
14
设 A1,A2,,An 满足上面的两S 条件，则对任何事件 B 有
B B S B ( A 1 U A 2 U L U A n ) B A 1 U B A 2 U U B A n
于是 P (B ) P (B A 1 U B A 2 U U B A n )
P (B A 1 ) P (B A 2 ) P (B A n )
“点落在圆形区域B内”，
在已知事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率为
A
AB B
S
p B
A
AB的面积 A的面积
AB的面积 A的面积 S的面积
S的面积
p AB pA .
-
3
条件概率 P ( • A ) 的性质
（1）非负性对任意事件B，有 pBA0;
（2）规范性对必然事件 S ，有 pS A 1;
-
12
2.2 全概率公式
如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和
设 S 为样本空间，若事件 A1,A2,,An满足：
A1,A2,,An 两两不相容，即
A iA j ( i j,i,j 1 ,2 ,,n ) 通常要求
A 1 U A 2 U U A n S ( 或 A 1 U A 2 U P U (A A i)n 0 B ,) i1,2,,n
解设Ai表示事件“任取的1件产品是第i组生生产的” (i=1,2,3,4)，B表示“任取的1件产品是次品”.
P A1 0 .1 5 ,
P B A1 0 .0 5 ,
P A 2 0 .2 0 ,
P B A 2 0 .0 4 ,
P A 3 0 .3 0 ,
P B A 3 0 .0 3,

概率论-1-5条件概率

为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
同理可得 P( A B) P( AB) P(B)
为在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率
3、条件概率的假设同概率一样，条件概率也满足3条文档.doc
4 条件概率的计算
1) 用定义计算
P( A
B)
P( AB) P(B)
, P(B)
0.
4 条件概率的计算
实际中还有另一类问题，即“已知结果求原因”。
例7 在例6中将问题改为：某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是从1号箱取出的概率（或该球取自哪号箱的可能性最大）。
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率. 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式.
例将7这的里求得解到：的公式一般P化(，B1就A得) 到贝P叶P( A(斯AB公)1)式
(*)例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
解以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 因为 B A1 A2 A3 , 所以 P(B) P( A1 A2 A3 )
该公式于1763年由贝叶斯给出。它是在观察到事件A已经发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以
帮助人们确定某结果（事件A）的最可能原因.
例8 某地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？

《概率论讲义》PPT课件

(2) 规范性 : Fn 1;
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广有限可加性：若A1，A2，, Ak 两两互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概率
1 统计定义：频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件，对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三条公理：
故有
P(i )

1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)

P(i1 )

P(i2 )

P(ik
)

k n
于是，P
( A)

k n

A包含的样本点数样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得

概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-第3-5节

(1). 有放回地抽取设A：取到的两张都是中奖券
n : 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是
从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是有 6 张券可供抽取，故有：
P61 P61 36 (种)
k : 中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,
第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
P21 P21 4 (种)
即, 10个球中的任一个被取出的机会是相等的，
均为1/10.
10个球中的任一个被取出的机会都是1/10
所以称这类概率模型为古典概型.
概率统计
在此示例中, 若记 A={ 摸到2号球 } 2
则 P(A)=?
显然： P(A)= 1/10
若记 B={ 摸到红球 } 1 2 3 4 5 6
则 P(B)=?
从而: P( A) k 4 1 0.111 n 36 9
概率统计
nn:
（2). 不放回地抽取
n : P61 P51 30
k : P21 P11 2
从而: P( A) k 2 1 0.067 n 30 15
注 ▲ 若在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” ，
其它条件不变则有:
概率统计
P(e1) P(e2) L L P(en)
又由于基本事件是两两互不相容的，于是：
P(S) P(e1Ue1UL L en)
P(e1) P(e2) L L P(en)
nP(ei)
而 P(S) 1
又由已知，
P(ei )
1 n
,
i 1, 2,L n
A ei1 U ei2 UL U eik , (1 i1 i2 L ik n)
(2)．若首位数 2, 4, 6, 8 则有: P41 P41 P84

概率论ppt

当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称事件Ａ发生．
实例抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件由一个样本点组成的单点集实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件随机试验中必然发生的事件．实例上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件随机试验中不可能发生的事件. 实例上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
例如只包含两个样本点的样本空间
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的结果。根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！
Ω
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T }.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.

概率论课件(总)

则称P(A)为事件A的概率。
3.概率的性质
• • • • • • • • (1) 加法公式:若A与B为互斥事件，则有： P(AB)=P(A)+P(B ) (2)求逆公式: 设A、 A 互为对立事件，则有： P( A)=1－P( A ) (3)减法公式: 若AB,则 P(A－B)=P(A)－P(B) P(A)P(B) (4)广义加法公式:P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
§1 概率论的基本概念
• 必然现象: 在一定条件下必然发生或必然
不发生的现象.
•随机现象: 在一定条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,结果的出现呈现出一定的偶然性.
统计规律性
:
联想举例？
某一随机现象,其结果的出现就个别试验而言好象没有规律性,但在大数次试验的情况下又呈现出某种规律性。
二.随机事件
随机事件：随机试验的结果叫事件。因为结果的出现是随机的，故也称为随机事件。随机事件常用大写字母A、B、C、…等表示。随机事件包括基本事件和复合事件。基本事件：仅包含一个样本点的事件。复合事件：包含两个及两个以上样本点的事件。以掷一枚骰子为例，观察下列随机事件：
A=｛1｝（表示掷出的点数是1） B= ｛1,2,3｝； C={5,6} 样本空间S：S={1,2,3,4,5,6} 结论：随机事件可看作是样本空间的子集。
第一章概率论基础
统计规律性必然现象和随机现象概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科．概率论问题的起源: 1654年 De Mere Pascal(1623-1662) Fermat(1601-1665) 两赌徒各出32枚金币作为赌金，以先得3分为赢。第一人现得2分，第二人仅得1分，设赌局因故中断，问怎样分配赌金才算公平？