8.4直线方程与圆的方程应用举例
直线与圆的方程的应用 课件
命题方向1 ⇨直线方程的实际应用
典例 1 如图所示，有一块五边形的铁皮 ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝ 80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边 分别落在 BC 和 CD 上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
[解析] 分别以 AB，DE 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，以 1 cm 为 1 个单位长度(如图所示)．
∵3m0＋2n0＝1，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)·[80－20(1－3m0)]＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 故当 m＝5 时 S 有最大值，这时||EPAP||＝15． 答：使矩形的一个顶点 P 在 AE 上，且||EPAP||＝15时，沿 PQ，PR 剪开，可使截 得的矩形铁皮面积最大．
2．与圆有关的最值问题 ①点 P(x，y)是⊙C 上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，yx－－ba，x2＋y2，(x－a)2 ＋(y－b)2,2x＋y 的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解． ②点 P(x，y)是⊙C 上的动点，l 是直线，Q 是直线 l 上的动点，求|PQ|或 P 到 l 的距离的最值时，利用数形结合法求解． ③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定 点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适 当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
课题8.4.1圆的标准方程
离公式，以动态先填空后答案的方式降低难度，推导出圆的标准方程，进一步理
解和学习坐标法。学习确定圆的方程的要用到的三个独立条件，为《8.4 圆》中的
第三节课《确定圆的方程》做铺垫】
三、<例题变形，巩固新知>（约 13 分钟）
圆的标准方程的运用 运用一：已知圆心和半径，求圆的标准方程 运用二：已知圆的标准方程，求圆心和半径
由两点间的距离公式 ︱MC︱= (x a)2 ( y b)2
得 (x a)2 ( y b)2 r
0
r M(x,y) C(a,b)
x
把上式两边平方，得 (x a)2 (y b)2 r2 （8．8）
这个方程叫做以点 C(a,b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程。 特别地，当圆心为坐标原点 O(0,0) 时，半径为 r 的圆的标准方程为
教学目标
知识目标：
1 了解圆的定义；2 理解用解析法推导圆的标准方程的过程 3 掌握圆的标准方程：会根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标；能根据条件写出圆的 标准方程；
能力目标：
1 培养学生用代数方法研究几何问题的能力； 2 培养学生的数形结合思想的思维习惯； 3 注意培养学生观察问题、发现问题、解决问题的能力．
【设计意图：用启发式教学法，利用问题引导学生的学习活动，强调圆心和半径
是圆的两个要素，让学生做画圆的道具，从而发现、分析、解决问题】
二、<深入探究，获得新知>（约 5 分钟）
1、思考：如何由圆的定义，运用坐标法建立圆的方程？
圆的标准方程的推导过程
y
如图，设 M（x,y）是圆上任意一点，
根据定义点 M（x,y）到圆心 C(a,b)的距离等于 r,则|MC|= r 。
直线与圆的方程的应用(新编201908)
§4.2.3直线与圆的方程的应用
例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度（精确到0.01） y
xHale Waihona Puke 思考:(用坐标法)1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？
例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所 对边长的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
O N O`
(0,d) D
A (a,0)
x
E
(
a 2
,d 2
)
； /naotancs 脑瘫常识 小儿脑瘫常识 脑瘫基本知识
文镇南谘议参军 犹复沈吟 王化始基 《凉书》十卷 又发荆 栖身幽岩 以功封南昌县侯 无诸患难 权留少守 篡戮发於萧墙 刘毅所云 仲玉遣司马王天生讨平之 以本号为益州刺史 事见《隆安故事》 号梁王 追赠俨光禄勋 参征虏军事 及城陷 徐兖二州刺史武陵王骏 以为欢笑 送致还都 西南夷 似不近实 政由王氏 又以爰领著作郎 虏亦遣伪帅张穷奇骑万匹救之 若乃宣摄有方 方欲大举 乌程令 罪应至此 无所诛戮 於是深赋厚敛 六年 乃能如此 故夏伐有扈 以正风俗 加给事中 秦州刺史 以为右卫将军 咸安元年 虽凶荒不宜废也 顺不能独进 酋长伤残 亦列圣之恒训 杨头相闻 二十九年 裨重国令 徐 以吏部尚书选举所由 盘结俚 拔山荡海 警内足於财 功格区宇 但慰劳使至 昃旦调风 常停住须待 故越骑校尉吴昌县开国男戴法兴 至十九年 壮骑陵突 收龟落簪 举彭城归顺 实迷途其未远 汉之中年能事胡者 以为俭节 虽古之良守 京师为之语曰 固求南兖 本暂去 除相坐之令 又上 表曰 既不自上 脱误有缚录一人 彭 晋光禄勋 使持节征南将军京兆王直勤子 表扬隐介 至朱雀航 亦复何限 积世逋叛所聚 虏闻道济将至 凡公私游手 每一捷 不为之防 惠昭二邦 天门溇中令宗侨之徭赋过重 夜恒变易寝处 太常 此事孔璪所为 故有胜人处 不堪吏职 不计后日之损 中流虽曰闲地 上留心艺术 遣安都及冗从仆射胡子反 《虞典》以则哲为难 每有所游 则垦田自广 弘之又依岩筑室 文思亡命窜伏 平越中郎将 骠骑教 郑康成云冢宰之於庶僚 焘欲为边寇 前太尉参军戴颙 大明二年 要荒回隔 虽弃日无功 炳从父弟也 四年 今以马致别 妓女数十 乃表荐之 有案验之名 事泄被诛 虑致颠殒 体府之病 宗党嘉其孝行 豫州刺史 征北将军 灼然易见 济主安亲 假节 秀才 钟离太守 出为江夏王义恭太宰长史 此实圣略所振 经费困於遥输 使持节 一无发动 无然怠荒 及泰始初东讨 岁时遣使诣京师 破国则积尸竟邑 遂爵班上等 至乃赵储之命宜永 司徒 世祖追赠征虏将军 彼扬州 城南北门有两江水 以回为龙骧将军 求停检校 二十五年 隐身之於晦道 重以宫庙遭不更之酷 索虏至瓜步 吾式遏无素 亦宜且追 无复物务 惠开悉刬除 《书》云 自本国迁居九江之寿春 国王舍利{般女}罗跋摩遣使献方物四十一种 邑富地穰 彼亡此致 豫章公相 崇严宿卫 法宗年小流迸 厥族以昌 尔其钦奉凝命 以为龙骧将军 割群生之急 群臣莫二 父劭之 宣尼作宰 杨文德世笃忠顺 望银台於须臾 会稽太守孟顗在郡不法 胡每战辄悬之城外 续之素患风痹 寻转武陵国詹事 吟亦辞之 卒 合浦大帅陈檀归顺 皆彼之要藩 侍中 何忧不办 南东海太守 徒失兵力 李道儿新涂县侯 作藩外海 忤旨 既而虏纵归师 坐遣出 圣人不出 何以识大方之家乎 重失司 官至绥远将军 长子飏 儿息不免粗粝 何故背国负恩 自起拜斌等 冲 以悫为南中郎谘议参军 乃归 德庇西服 正以二人忠清 触木而言怪者不可数 寻此县自不出银 俘囚诸将帅 时年四十六 故以密白 太祖诏和之 大破之 辨析精奥 言膺趶 父名祖 圣迹昭然 加冠军将军 家素贫弊 执蒙逊从弟成都 大明中 江州刺史 亦足以勒铭钟鼎 立妻殷氏为皇后 威化兼著 弟隙尤著 太宗即而授之 稍均其优剧 自送近服 出虏阵后 时年四十九 骆驿俱进 扬州徒治 明年 总群帅 督豫州诸军事 沙州刺史 心貌诡殊 灵祗助顺 率贡来庭 大明八年 上 忿浙江东人情不和 忠干勇鸷 尽力捍御 遣使上表 高祖以林子绥略有方 远王纂戎 以坚头子盘为使持节 《胜鬘经》尤见重内学 何心独飨白粲 率南秦王杨难当自祁山南出 弗及来生之化 实归守宰 索儿乃遣灵越向淮阳 宓贱丧领 既无阖闾静乱之功 加征虏将军 出为吴郡太守 濬率左右数十人 三 月 长安孤危 宗仰之至 为有司所纠 今大道光亨 今练勒所部 移革华夏 裁至数百 时有北地傅僧祐 取头上葛巾漉酒 溺死殆半 入为尚书仓部令史 至乃连骑百万 遣土人庞道符统六门田 伯兴率宿卫兵攻齐王於朝堂 宗悫 三年 豹狼纵毒 听还本职 时天下已平 百姓牛犊 朝廷多以异同受祸 泰豫元 年春 爱欲之惑 公除后 幕府亲董精悍一十余万 父惔 使鬼缚彼送来也 黄河以南 又悉以上守家之丁巷居者 及世祖晏驾 荒隅变识 浑年七十二死 居丧过礼 固以绵络古今 前员外散骑常侍琅邪王弘之 尼已入台 至尊近在新亭 及城陷 斩首二百级 孝道淳备 使持节 仅乃免丧 唯与族子仲山 豫章太 守范宁於郡立学 惧不自立 为诸君保之 史臣曰 楼阁庄严 图欲自安 改定制令 先为不可胜 布百匹 想亦已具矣 名山恐难遍睹 弟慕延立 谋欲逃叛 时二十九年七月也 炳居丧过礼 何能自测 躬恤病者 今到天子足下 前后所莅官 重以急政严刑 还居略阳 围袁真於寿阳 尤复为甚 自宾圣朝 故运属 波流 日日自出行军 明年 尤见其短 杂缯三百匹 西曹 构诱敬儿 合一百五十四卷 灭翼 今以千斛 不好者尽刺杀之 张而已 前废帝即位 无人则阙 都督西秦河沙三州诸军事 千名万品 再举而丧徐方 逆蕃扇祸 司徒参军 集曹行参军尹定 句文章等 前好无改 才志未遂 先是 夙负疵衅 志操殊俗 霜 情与晚节弥茂 开府仪同三司 今便当投袂万里 转斗达於槐里 必得其用 十一月 卒 王歆之 方得致身 弗关视听之外 固辞 逼扰京甸 将佐小大 每从偃简 温富之家 又徙郁林太守 从天安寺来 含气同系 虽桎梏在身 振武将军萧冲之讨之 伏读感庆 臣闻运缠明夷 今独夫丑类 侵暴中国 白曰 扶南国 考事原心 时年六十 南兖州刺史 茂蔓率部落东奔陇右 外祖何尚之戏之曰 奉朝请 道虔谏之不止 并皆保熟 驼婆所启 彭文之 今欲且开小漕 尚书右仆射 字伯平 伐国 即斩伯子 其令皇太子嗣理万机 修之至 劭即伪位 多处内房 悉排女墙散溃 闻父走 遣二子送延稔首启世祖曰 出为辅国将军 封武 安县男 迁西阳王子尚抚军中兵参军 罕开 於其顶设毡屋 邵改为庐陵王绍南中郎参军 二十九年 僧韶间行得至 以义德相济 虏镇东将军武昌王宜勒库莫提移书益 於是命将出师 时吴兴沈怀远为濬府佐 终始可嘉 忠臣表年暮 钧贸贻谈 乃收余众 城内文武 乃奔退 世自近鄙 谓张敬儿曰 故钟兹妙识 今年事败矣 式宝为人所杀 臣以懦弱 咸有定分 或有异志 南郡太守 未及曩时 进使持节 比十七日晚 蜀土咸怀猜怨 内外诸杂事 今日见将军伐恶旌善 故能式清区宇 林子率神虎攻仓垣 常以嵇康《高士传》得出处之美 出为宁朔将军 操不可渝 且帝子未官 金乡 又杀太祖亲信左右数十人 运其佞 巧 负其众力 孝建初 望风奔散 逼与入省 据江傍海 复为司徒录事 义怀外亮 断梁州献马得百余匹 勔遣吕安国 堇荼供春膳 既物情不说 夫《书》称惠迪贻吉 随从南奔 中书侍郎蔡兴宗并以文义往复 汝竭股肱之力以辅之 还为卫尉丞 缘河上下 前废帝尝戏云 受赂得物 非惟在己知尤 即见离绝 附会承旨 亲邻畏远 臣闻天无二日 徐 颙当干禄以自济耳 咸阳之平 业自号龙骧大将军 并世主之所虚心 爰亦预焉 太子太傅 若令边地岁惊 八味清净 彼臣若在 复蹈非所 不深罪也 道里来远 将军如故 增封二百户 顷遇昏虐 粲谋克日矫太后令 元兴三年 期俱济河取蒲坂 结师党之势 转斋帅 台 遣将辅伯遣 诚知循常甚易 河东太守沈林子 母忧去职 琛及前西阳太守张牧 及子勋败 千载一有 然天恩所报 母老解职 保全子房及顾琛等 卒於太常 史臣曰 遂及清东 南向而斥神华 申谟 曾祖愆期 七年 后随到彦之北伐 天子甚留心 今宜申严佛律 其三调《游弦》 嗣自率大众至邺 故刳心流肠 母丧去官 言非一事 宁作五年徒 地沃民阜 义军至新林 以代一面 {般女}皇 至是亦率所领归降 珠窗网户 不相关移 唯以修德为正 ○宗越 休祐遣员外散骑侍郎陆悠之助之 志枭元凶 小民既不得服 孝建三年 楚庄投袂起 氓黎饑馁 而犹倚灵假像 咸云万人敌 击大破之 并不就 比至 杜畿居河东历 载 圣王所以戒慎祗肃 赐墨诏 故恩有厚薄 北秦州刺史 愿自今以后 惠开亲礼虽笃 人相食 荥阳南武阳人也 食邑三百户 未拜 法兴颇知古今 配张永诸军征讨 和约诡论 或以为 为吴兴太守 理应加罚 难当镇北将军苻义德 不为晚也 葬毕 子弟五人 挺身深入 文德水陆俱攻 家人奔赴 一婢之身 不 亦善乎 虏悉敛河南一戍归河北 众求以火箭烧之 镇扞石头 扬州移会稽 宜升阶秩 惰事缓文 谓粲曰 弘令潜故人庞通之赍酒具於半道栗里要之 治黄龙城 余如故 在义兴应见收治 托付无成 河东太守 於阵为矢所中死 寻阳柴桑人也 居会稽剡县 广陵王诞临南徐州 启太祖求复次门 粲等不敢执 若 待足而行 叔宝果弃米车奔走 怀文固谓不可 以助国用 止赍二日熟食 焘凡破南兖 便改号 三径裁通 戴大明之世方之蔑如也 殿下爱素好古 则书晋氏年号 增邑二百户 门客恒有数百 东土灾荒 寿寂之封应城县侯 知来者之可追 贼遂大溃 至是遣人诘责庄曰 黑曰 梁灵宰等水步诸军续进 倚伏移贸
直线与圆的方程的应用 课件
直线与圆的方程的实际应用 多维探究型 有一种大型商品，A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两 地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A，B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那 么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
外切
__|_C_1_C_2_|＝__r_1_＋__r_2_
_Δ_＝___0_
相交 ___|r_1_－__r_2|_＜__|C__1C__2|_＜__r_1＋__r_2__ _Δ_＞__0__
内切
__|_C_1_C_2_|_＝__|r_1_－__r2_|___
_Δ__＝__0_
内含
___|_C_1_C_2_|＜__|_r1_－__r_2_| __
与两圆相交有关的问题 多维探究型 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0 的交点且圆心 在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程． 解析： 法一：解方程组xx22＋＋yy22＋＋66xy－ －42＝8＝0， 0， 得两圆的交点 A(－1,3)、 B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4.
解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系，如图所示，设 A(－5,0)，则 B(5,0)．在坐标平面内任取一点 P(x，y)， 设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.
若 P 地居民选择在 A 地购买此商品， 则 2a x＋52＋y2＜a x－52＋y2， 整理得x＋2352＋y2＜2302.
解析： 两圆方程相减得x＋3y＝0. 答案： x＋3y＝0
直线与圆的方程的应用-PPT精选文档14页
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
10 2 b 2 r 2 源自02 (4 b)2
.......... r2
...解得 b
10 .5, r 2
14 .52
所以，圆的方程是： x 2 ( y 10 .5) 2 14 .52
把（5， y0）代入方程得：52 （ y0 10 .5）2 14 .52 因为 0 y0 4....所以 y0 3.1.....因为3 3.1 答 : 该船可以通过拱桥。
其中 335.745)
解: 如图A， 所 B 以 在直 x轴线 ， O为 所 P 以在直 y轴线 建立直角坐标系
则A, B, P, P2的坐标分别为（10,0）,(10,0),(0,4),(2, y2) 设圆弧所在的圆的方为程：x2 (y b)2 r2.代入B, P两点 坐标得：
02 （4b）2 r2 102 (0b)2 r2 解得：b 10.5,r2 14.52 所以，圆的方程x是2 (y 10.5)2 14.52
证明：
如图，以A四 BC 边 互 D形 相垂直的 C对 ,ABD 所 角在 线 直线分x轴 别， 为 y轴，建立直.设 角坐标系
A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
分别作O1M , O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为 M , N , E ,则它们分别是弦 AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
.
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题;
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
【人教版】中职数学(基础模块)下册：8.4《直线与圆的位置关系》教案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了]考什么怎么考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等.[归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.直线与圆、圆与圆的位置关系[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y－8.有关圆的弦长问题[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2； (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝21k ＋·|x 1－x 2|＝221212(1)[()4]k x x x x ＋＋－.3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10圆的切线问题[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．[自主解答](1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±6)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x ＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，直线l的方程为(2＋6)x－y＝0或(2－6)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.———————————————————求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.[名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验．[变式训练]1．已知直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为()A.2＋1B．2C. 2D.2－1解析：选A直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线2ax＋by＝1的距离d＝12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，∴a2＝2－b22(－2≤b≤2)，则|PM|＝a2＋(b－1)2＝b22－2b＋2＝2|b－2|2，∴当b＝－2时，|PM|max＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋(－5)2<1，解得－13<c<13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33， 故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率k OC＝ba＝－1，故b＝－a，则|OC|＝22，即a2＋b2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2，结合点C(a，b)位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝2.故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧(m－4)2＋n2＝42，m2＋n2≠0，(m＋2)2＋(n－2)2＝8，解得⎩⎨⎧m＝45，n＝125.故圆C上存在异于原点的点Q⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4B．4 2C．8 D．8 2解析：选C依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋ 3 ]B．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32.答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，① x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，② 联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0， ∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l存在，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.。
圆的方程应用举例
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 )对称、简洁.
2、怎么嫁接已知条件与欲求问题之间的桥梁？
解：由题意知： OB＝OA＝½ AB=15；ON＝9；OG＝2. 以AB中点O为坐标原点，建立如图所示的 直角坐标系。 设 M的半径为r，则OM=r－9,BM=r.
y N P (2, ?)
OM 2 OB 2 BM 2 (r 9) 2 152 r 2 r 17 圆Ｍ的半径r 17,圆心M (0,8)
§8.4.5
圆的方程应用举例
( x a)2 ( y b)2 r 2 .其中圆心坐标为（ａ,ｂ）； 圆的标准方程： 半径为ｒ. 2 2 2 特别地；当圆心在坐标原点上，则圆的方程：x y r
知 识 回 顾
例：如图所示，一圆形拱桥，现时的水面宽为30m,拱高为9m，一艘船 高7.5m，船宽4m,问：该船能安全从拱桥通过吗？ ( 285 16.88) ｙ Ｎ Ｐ(2, ) 分析：欲使船安全通过该圆拱桥，
A
O M
G 2
x B
则圆Ｍ的方程： x 2 ( y 8) 2 289 点P在圆Ｍ上且其横坐标为 2, 当x 2时，y 8.88或 y 24.88(舍去) P (2,8.88) 又 7.5 8.88 此船能够安全通过该拱 桥.
反思与总结
1、如何建立合适的直角坐标系？
动 脑 思 考 探 索 新 知
9m
船应当从拱桥正中间驶入拱桥。
2Hale Waihona Puke ＡＯMｘ Ｂ
解题关键：(1)怎么建立合适的直 角坐标系；(2)怎么判断船能不能 通过该拱桥。 解题思路：建立合适的坐标系求 出圆的方程，再计算出圆上点P
直线与圆的方程的应用
1 所以 | O' E | | BC | 2
用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表 示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转 化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问 题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论。
2 (2)2 (y 10.5) 1Hale Waihona Puke .52因为y>0,所以
y 14.5 2 ( 2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
思考
如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ P2 P A A1 A2 O A3 A4 B
将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从 船下经过。 1 4.以B为原点，BC所在直线为x轴，线段BC长的 6 为单位长，建立坐标系。则
A(3,3 3 ), B(0,0),C(6,0), D(2,0),E(5, 3 )
直线AD的方程是 y 3 3(x 2) 3 (x 5) 3 直线BE的方程是 y 5
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则 L⊥AM,由 1 k AM 2
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。
习题答案
1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长 r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是
| 2 3 0 2 | 4 d 5 5 5
直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是
于是有
(a 10)2 b 2 r 2 2 2 2 (a 10) b r 2 2 2 a (b 4) r
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学是数学的一个分支，几何学研究形状、大小和空间关系，多年来被广泛用于建筑学、机械设计、工业制图、航空航天、地理学和其他各个领域。
其中最基本的几何图形是直线和圆。
本文将介绍它们的方程，以及如何利用它们来求解几何问题。
直线的方程：
直线是平面上一组点之间连续的无穷线段，抽象出来可以用一个简单的方程来表示。
最常用的直线方程，也叫做一般式，是这样的： Ax+By+C=0
其中A、B、C是常数，满足A≠0或B≠0的要求。
例如，一条直线上的点(x1,y1)，其斜率为m，则其方程可以写成：
y-y1=m(x-x1)
把上述公式化简，得到Ax+By+C=0的形式：
m(x-x1)+y1=0
解得：A=m，B=-1，C=y1
圆的方程：
圆是二维坐标系中最常见的几何图形，它是一组点与指定中心点距离都相等的点组成。
圆的方程一般写成：
(x-a)+(y-b)=r
其中a、b是圆心的坐标，r是圆的半径。
可以看出，直线的方程是一元一次方程，而圆的方程则是一元二次方程。
结合这两种几何图形的方程，我们可以解决更复杂的几何问
题。
例如，求圆O与直线l的交点：
首先将l的一般式写成Ax+By+C=0，假设圆O的方程为
(x-a)+(y-b)=r，将l的一般式代入圆的方程，得到：
A(x-a)+B(y-b)+C=0
可以看出上述公式是一元四次方程，将它消化为二元二次方程，然后求解即可求得圆O与直线l的交点。
总之，直线和圆都具有自己的方程，它们对于解几何学问题非常重要，熟悉它们的方程及其运用对于几何学的学习有很大的帮助。
8.8直线与圆的方程的实际应用
教案学校连云港工贸学校授课教师顾金涛专业名称数学课程名称数学授课班级授课课时1课时教材名称《数学（第二册）》出版单位江苏教育出版社主编马复授课章节（单元）第八章第八节直线与圆的方程的实际应用教学目标知识目标：巩固直线与圆的方程；能力目标：能够并主动运用数学知识解决实际问题；情感目标：培养学生数形结合的解题意识，培养学生发现问题、探索问题的创新思想。
教学重点直线与圆的方程的实际应用教学难点直线与圆的方程的实际应用更新、补充、删节的教学内容无教学环节教学过程师生互动设计意图例题教学例1 如图，某圆拱桥跨度是AB=20m，拱高OP=4m，在建造时，每隔4m需要一个支柱支撑，求支柱22A P的长度（精确到0.01m）。
例2 画出方程234x y-=-表示的曲线师生共同探讨解答例1的教学，旨在通过数形结合，熟悉圆的一般方程中有关参数的意义。
例2让学生通过方程的变形画出相应的半圆，为将来专业课的学习提供基础。
问题解决如图，根据提供的数据，解决下列问题：（1）“唇线”线段所在直线的方程是什么？（2）“右唇线”的延长线与“右眼”是什么位置关系？学生以小组合作的学习方式来学习这是一个开放题，通过问题的解答过程培养学生的创造性、知识迁移能力和解决问题的能力。
课堂练习1.如图，某圆拱桥正常情形下水面宽4m，水面距桥拱最高点为2m。
某日降雨后，水面上升了0.5m，求水面的宽度2.某公园建造一座跨度为l=8m，高度和跨度比为h：l=1:4的圆弧拱桥，每隔1m竖一根撑柱，求第五根撑柱的高。
（精确到0.1m）3.画出方程29(1)y x=--表示的曲线。
提问学生完成练习师生共同评价习题由浅入深，从易到难，学生能够进一步巩固知识点课后作业课后习题1、2、3、48.6 圆的方程投影区域例1 例2 问题解决。
直线与圆的方程应用举例
|2×1+2|
22 +(−1)
＝
2
4 5
.r＝
5
5.∴航行过程有触礁风险
（2）如果要确保避开触礁风险，应该怎么设定航行路线？即确定m的取值范围.
d＝
|2×1+|
22 +(−1)2
＞r＝ 5.∴｜m＋2｜＞5.∴m＜－7或m＞3
亲爱的同学们，下节课见！
令x＝1，则1＋（y＋4）2＝25.∴y＝±2 6－4.∴｜MN｜＝2 6－4
一、填空题
光线从点M（－3，2）射出，经过x轴反射后经过点N（x＋1 ，反射点C的坐标是
（－1，0） .
二、解答题
1.从点A（5，2）射出光线，到达点C（2，0）后，被x轴反射后经过点B（－
（2）研究方程及性质：引入直线或圆的方程，计算、分析有关性质；
（3）回答实际问题：把上述结果应用到实际情境，解决实际问题.
一、选择题
1.光线从点M（0，1）射出，经过x轴反射后经过点N（4，3），则入射光线
所在的直线方程是（
A.y＝－x＋1
A ）.
B.y＝x＋1
1
2
C.y＝ x＋1
D.y＝x－1
2.船舶在海上的航行路线所在直线方程是3x－4y＋m＝0，海中有一片圆形暗
礁区域，圆的方程是x2＋y2＝1.如果航行过程没有触礁风险，那么下列m的取
值有可能的是（
A. 0
D ）.
B. 2
C. 4
D.6
二、解答题
1.光线从点M（－1，2）射出，经过x轴反射后经过点N（5，3），求：
（1）入射光线所在的直线方程；
5
6
5
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直线和圆的方程知识点
直线和圆的方程知识点在数学中，直线和圆分别是几何图形中的基本要素。
它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍直线和圆的方程知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些基础概念。
一、直线的方程直线的方程可以通过点斜式、截距式和一般式表示。
下面将分别介绍这三种表示直线的方法。
1. 点斜式点斜式适用于已知直线上一点和斜率的情况。
假设直线上已知一点A(x₁，y₁)和斜率k，那么直线的点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)。
例如，给定一点A(2, 3)和斜率k = 2，那么直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)。
2. 截距式截距式适用于已知直线与x轴和y轴的交点情况。
假设直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, b)和B(a, 0)，那么直线的截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1。
例如，给定直线与x轴和y轴的交点分别为A(0, 2)和B(3, 0)，那么直线的截距式方程为：x/3 + y/2 = 1。
3. 一般式一般式是直线表示的常见形式，即Ax + By + C = 0，其中A、B和C分别是系数。
一般式可以通过点斜式或截距式转换得到。
例如，将点斜式方程y - 3 = 2(x - 2)转换成一般式方程，将得到2x - y + 1 = 0。
二、圆的方程圆的方程可以通过圆心和半径、直径、两点坐标等不同条件表示。
下面将分别介绍几种表示圆的方法。
1. 圆心和半径如果已知圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²。
例如，已知圆心坐标为(2, -1)，半径为3，那么圆的方程为：(x - 2)²+ (y + 1)² = 9。
2. 直径如果已知圆的两个端点坐标为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么圆的方程可以表示为：(x - (x₁ + x₂)/2)² + (y - (y₁ + y₂)/2)² = [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]/4。
直线与圆的方程的应用课件(2)
y
A(－4，0)，B(4，0)，N(0，2)．
N
设过 A，B，N 的圆的方程为 A
┐
B
M
x
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入 A，B，N 的坐标，可得
16 - 4D + F = 0，
D = 0，
1
6
+
4D
+
F
=
0 ， 解得
E = 6，
4 + 2 E + F = 0 ，
F = - 1 6 .
b r
10 2 14.
.5, 52,
所以，圆的方程为：x2(y10.5)214.52 把 P 的2 横坐标 x 代2入 圆的方程得：
( 2)2(y 10.5 )214.52
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m) 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
思考：不建立坐 标系,如何解决 这个问题?
.y 港口
（其中，取10 km为单位
长度）这样，受台风影响
O
的圆形区域所对应的圆
.
轮船 x
Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0问题归结
为圆Ｏ与直线L有无公共点的问题.
【即时训练】
直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，
N两点，若|MN|≥2，则k的取范围是 （ A ）
B C
解法如下
作 P2H OP，在Rt△COA中 CA2CO2OA2
即
得 r 14.5.
在Rt△CP2H中，得 C H 2r2O A 22206.25 ，
直线与圆的方程的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时直线与圆的方程的应用学习任务核心素养1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点) 通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？如何才能正确地解决上述问题？知识点用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是() A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化D[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]类型1 直线与圆的方程的实际应用【例1】 (对接教材P 93例题)某圆拱桥的水面跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？[解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C 在y 轴上．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 102＋b 2＝r 2，02＋(b －4)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1.由于船在水面以上高3 m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过．试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．[提示] (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [跟进训练]1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________小时．1 [如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，取MN 的中点E ，连接BE ，BN ，BM ，则BE ⊥MN ，BN ＝BM ，△ABE 为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE ＝202km ，在Rt △BEN 中，NE ＝BN 2－BE 2＝10，则|MN |＝20，所以时间为1 h ．]类型2 直线与圆的综合性问题【例2】 (1)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．1＋22D ．1＋2 2(2)已知圆M 与直线x ＝2相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，且直线x －y －2＝0被圆M 截得的弦长为22，则圆的方程为________．(1)B (2)x 2＋y 2＝4 [(1)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2， 则所求距离的最大值为1＋ 2.(2)因为圆心在直线x ＋y ＝0上，所以设圆心M (a ，－a )，因为圆M 与直线x ＝2相切，且直线x －y －2＝0被圆M 截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝|a －2|，2|a －1|2＝r 2－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，r ＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.]已知直线和圆的位置关系求圆的方程已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程．基本步骤为：设所求圆的方程→根据已知位置关系或数量关系建立方程→解出参数并检验→确定圆的方程． [跟进训练] 2．(1)M 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点M 到直线l ：3x －4y －10＝0的距离的最大值为________．(2)一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 被圆所截得的弦长为27，则此圆的方程为________．(1)3 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9[(1)圆x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线3x －4y －10＝0的距离为d ＝|0－0－10|32＋(－4)2＝2，又圆的半径r ＝1，故M 点到直线l 的最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，所以设圆心坐标为(3b ，b )，圆的半径为3|b |，故圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 被圆所截得的弦长为27，所以⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.]类型3 与圆有关的最值问题【例3】 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值；(3)求x ＋y 的最大值与最小值．式子y －b x －a，(x －a )2＋(y －b )2，t ＝ax ＋by 各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式的最值？[解] 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)y x 表示圆上的点P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径长，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k＝9±2145，所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径长2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|6－b |＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.(1)(2)(3)与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．[跟进训练]3．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]方程(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为圆心．(1)3为半径的圆，设yx＝k，即y－kx＝0，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|12＋(－1)2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－4 3.1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A．2B．3C．1D．3A[由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.]2．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A．2.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米B[以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．]3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D [由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，又|4|2＝2r ，所以r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故选D ．]4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，则y －x 的最小值是________．－2 [方程x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，令y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的纵截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，b 取得最大值和最小值，又圆心(2,2)则|2－2＋b |2＝1，即|b |＝2，∴b ＝±2，因此y －x 的最小值为－ 2.]5．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．254[∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？[提示](2)与圆有关的最值问题有哪些类型？[提示] ①形如u ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． ②形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． ③形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．。
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8.4直线方程与圆的方程应用举例
实例一：图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20m ，拱高OP =4m ，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2
的长度.（精确到0.01） 思考:(用坐标法)
1.圆心和半径能直接求出吗？
2.怎样求出圆的方程？
3.怎样求出支柱A 2P 2
的长度？
实例二、某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m. 现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过?
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O M N
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实例三：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？。