(完整版)§8.8.2直线与圆的方程应用举例
直线与圆的方程的应用 人教版数学必修二全册课件
yB P C
O
分析：建立适当的坐 标系，求出点 P所在 的圆的方程，再写出 点 P到顶点的距离的 平方和，用代数方法 求出最值. X A
例4 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距 为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|= |PN2|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
分析：许多平面几何问题常利用“坐标法”来 解决，首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系， 由于四边形的对角线互相垂直，以对角线为坐标轴 较好，进而设定四个顶点坐标，随后用坐标法验证 本题的结论.
y B
C
o O’
A
X
D
例3 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3， ∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
4.2.3
直线与圆的方程的 应用
1.平面几何、立体几何和解析几何在研究 问题时的本质区别是什么？
2. 坐标在几何学和代数学之间的联系起了 什么作用？
在平面直角坐标系下，与坐标有关的问题 1.两点间距离公式
2.直线的方程 点到直线的距离，平行直线间距离
3.圆的方程 点、直线、圆和圆的位置关系
4. 解决问题的出发点 1） 代数方法 譬如，用解方程组的方法判断直线与圆 的位置关系，圆与圆的位置关系
yP
分析：建立适当的坐
标系， 求出点P的轨
迹方程，在依据方程
M
N 判断点P的运动轨迹.
O1 o
O2
x
思想方法小结
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程 表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问 题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数 问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到 几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何 问题的“三步曲”.
直线与圆的方程的应用_图文
迹是什么曲线？
yP
M
Oo
1
N
O2
x
问题:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中, 接到气象台的台风预报:台风中心位于 轮船正 西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风 的影响?
分析:以台风中心为原点O,东 西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km 为单位长度.问题归结为圆O与直线l 是否有交点
讲授新课
1. 标准方程问题 例1. 求圆(x－2)2 ＋(y＋3)2＝4上的点到 x－y＋2＝0的最远、最近的距离.
2. 轨迹问题
充分利用几何图形的性质，熟练 掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式.
2. 轨迹问题
例2.过点A(4,0)作直线l交圆O: x2＋y2＝4 于B、C两点，求线段BC的中点P的轨迹 方程.
02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2
解得， b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
3. 弦问题
主要是求弦心距（圆心到直线的距 离），弦长，圆心角等问题.一般是构成 直角三角形来计算.
3. 弦问题
例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25 相交，截得的弦长为 ，求l的方程.
3. 弦问题 例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25 相交，截得的弦长为 ，求l的方程.
直线与圆的方程的应用 课件
命题方向1 ⇨直线方程的实际应用
典例 1 如图所示，有一块五边形的铁皮 ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝ 80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边 分别落在 BC 和 CD 上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
[解析] 分别以 AB，DE 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，以 1 cm 为 1 个单位长度(如图所示)．
∵3m0＋2n0＝1，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)·[80－20(1－3m0)]＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 故当 m＝5 时 S 有最大值，这时||EPAP||＝15． 答：使矩形的一个顶点 P 在 AE 上，且||EPAP||＝15时，沿 PQ，PR 剪开，可使截 得的矩形铁皮面积最大．
2．与圆有关的最值问题 ①点 P(x，y)是⊙C 上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，yx－－ba，x2＋y2，(x－a)2 ＋(y－b)2,2x＋y 的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解． ②点 P(x，y)是⊙C 上的动点，l 是直线，Q 是直线 l 上的动点，求|PQ|或 P 到 l 的距离的最值时，利用数形结合法求解． ③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定 点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适 当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线与圆是几何学中的基本概念，在解决几何问题时经常需要用到它们的方程。
本文将介绍直线与圆的方程的基本形式和求解方法，并通过实例加深理解。
一、直线的方程直线的方程可以使用点斜式、斜截式和两点式来表示。
下面逐一介绍这三种形式的方程表示方法。
1. 点斜式方程点斜式方程形式为 y-y₁=m(x-x₁)，其中 (x₁,y₁) 是直线上的某一点，m 是直线的斜率。
通过已知点和斜率，可以轻松写出点斜式方程。
例如，如果已知直线过点 (2,3)，斜率为 2/3，则点斜式方程为 y-3=(2/3)(x-2)。
2. 斜截式方程斜截式方程形式为 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y轴的截距。
通过已知斜率和截距，可以得到斜截式方程。
例如，如果已知直线斜率为 -1/2，截距为 2，则斜截式方程为 y=(-1/2)x+2。
3. 两点式方程两点式方程形式为 (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)，其中 (x₁,y₁)和 (x₂,y₂) 是直线上的两个不同点。
通过已知两个点，可以计算出两点式方程。
例如，已知直线经过点 (1,3) 和 (4,7)，则两点式方程为 (y-3)/(7-3)=(x-1)/(4-1)。
二、圆的方程圆的方程可以使用标准式和一般式来表示。
下面逐一介绍这两种形式的方程表示方法。
1. 标准式方程标准式方程形式为 (x-h)²+(y-k)²=r²，其中 (h,k) 是圆心坐标，r 是半径。
通过已知圆心和半径，可以直接写出标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则标准式方程为 (x-2)²+(y+3)²=25。
2. 一般式方程一般式方程形式为 x²+y²+Ax+By+C=0，其中 A、B、C 是常数。
通过已知圆心和半径，可以将一般式方程转化为标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则一般式方程为 x²+y²-4x+6y+20=0。
直线与圆的方程的应用 课件
直线与圆的方程的实际应用 多维探究型 有一种大型商品，A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两 地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A，B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那 么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
外切
__|_C_1_C_2_|＝__r_1_＋__r_2_
_Δ_＝___0_
相交 ___|r_1_－__r_2|_＜__|C__1C__2|_＜__r_1＋__r_2__ _Δ_＞__0__
内切
__|_C_1_C_2_|_＝__|r_1_－__r2_|___
_Δ__＝__0_
内含
___|_C_1_C_2_|＜__|_r1_－__r_2_| __
与两圆相交有关的问题 多维探究型 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0 的交点且圆心 在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程． 解析： 法一：解方程组xx22＋＋yy22＋＋66xy－ －42＝8＝0， 0， 得两圆的交点 A(－1,3)、 B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4.
解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系，如图所示，设 A(－5,0)，则 B(5,0)．在坐标平面内任取一点 P(x，y)， 设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.
若 P 地居民选择在 A 地购买此商品， 则 2a x＋52＋y2＜a x－52＋y2， 整理得x＋2352＋y2＜2302.
解析： 两圆方程相减得x＋3y＝0. 答案： x＋3y＝0
直线与圆的方程的应用
谢谢各位老师莅临指导
汇报人姓名
通过代数运算,解决代数问题;
3
把代数运算结果“翻译”成几何结论.
4
课堂小结：
1、熟悉直线、圆的方程；
2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
解:
01
建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量；
02
利用数学知识解出所要求的数学量；
03
将数学量回归实际量，下结论。
注意:(用坐标系解决实际问题)
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 )
01
分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
02
解：
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
1
分析:
2
证明：
用坐标法解决几何问题的步骤:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
4.2.1 直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节课我们将通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用
例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑.求支柱 的高度(精确到0.01;其中 )
直线与圆的方程公式大全一数
直线与圆的方程公式大全一数在数学中，直线和圆是基本的几何图形，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍直线和圆的方程公式，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、直线的方程公式直线是由无数个连续的点组成的，它具有方程的形式。
常见的直线方程有点斜式、一般式和截距式。
点斜式方程如果已知直线上的一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，那么可以使用点斜式方程来表示直线。
点斜式方程的一般形式为：(y - y₁) = k(x - x₁)其中，(x, y)是直线上的任意一点。
一般式方程一般式方程是直线的标准形式，它的一般形式为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C为常数，A和B不能同时为零。
斜截式方程斜截式方程也是直线的常用表示形式，它表示为：y = mx + b其中，m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
二、圆的方程公式圆是由平面上的一组点构成的，这些点到圆心的距离都相等。
圆可以用方程来表示，常见的圆方程有标准方程和一般方程。
标准方程圆的标准方程形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程圆的一般方程是以一般标准形式来表示，它可以表达为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为常数。
三、应用举例直线和圆的方程公式在几何问题和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些具体的示例：1.直线的方程可以用于求解两直线之间的夹角。
2.圆的方程可以用于计算圆的面积和周长。
3.圆与直线的方程公式可以用于求解直线与圆的交点。
这些应用仅仅是直线和圆方程公式广泛应用的一小部分示例，它们在几何学、物理学、工程学等领域都起着重要作用。
总结直线和圆是几何学中最基本的图形，它们的方程公式对于解决几何问题和实际应用都非常重要。
本文介绍了直线的点斜式、一般式和斜截式方程，以及圆的标准方程和一般方程。
第8章 直线与圆的方程 三稿
第八章直线与圆的方程现实世界中有许多美妙的曲线.纵横交错的立交桥，行星运动的轨迹……都呈现几何曲线形状，而在数学领域，几何曲线的问题常常用代数方法来研究，使得曲线与代数方程息息相关．例如研究行星运行的轨道需要建立方程，等等.诸如此类的例子体现了几何(曲线)与代数(方程)的互相结合，而这些结合是通过建立坐标系来实现的．本章我们将在平面直角坐标系中，用方程表示圆和直线，并研究他们的相互位置关系，了解直线、圆在现实生活中的应用.本章学习目标学完本章内容，你将能够知道两点间距离公式及中点公式理解直线的倾斜角与斜率建立直线的方程判断两条直线的位置关系了解点到直线的距离公式求解圆的方程判断直线与圆的位置关系进行直线的方程与圆的方程的应用本章目录§8.1两点间距离公式及中点公式§8.2 直线的倾斜角与斜率§8.3 直线的方程§8.4 两条直线的位置关系§8.5点到直线的距离公式§8.6 圆的方程§8.7直线与圆的位置关系§8.8直线的方程与圆的方程应用举例§8.1 两点间距离公式及其中点公式在平面几何中，用有刻度的尺子可以测出两点间距离，用直尺和圆规可以确定线段中点位置。
那么，如果在平面直角坐标系里，给出两点的坐标，如何求两点间距离以及确定线段中点呢？ 1. 两点间距离公式 探究如图8-1，大海中有2个小岛,其中一个在灯塔 东60海里偏北80海里1P 点处,另一个在灯塔西10 海里偏北55海里2P 点处(),那么如何确定这两岛之 间的距离呢?类似的问题可以通过建立数学模型来解决，即如何求直角坐标平面上两点间距离的问题.一般地，设点11,1()P x y ，22,2()P x y 为直角坐标平面上的任意两点，以1P 为始点,、2P 为终点，作向量12PP uuu r （如图8-3），其坐标12PP uuu r =（2x - 1x ，2y -1y ），那么1P ，2P 两点间的距离12PP 就是向量12PP uuu r的模.由向量数量积的性质，有212PP =12p p uuuu r 2==21212121(,)(,)x x y y x x y y --⋅-- =212212)()(y y x x -+-从而12PP =212212)()(y y x x -+-这就是平面上任意两点1P ，2P 间的距离公式，简称为两点间距离公式.用两点间距离公式，可以计算平面直角坐标系内任意两个点之间的距离.例1 已知点M （8，10）和N （12，22），求线段MN 的长度. 解 根据平面内两点间的距离公式，得图8-2图8-1MN === 即线段MN 的长为20.例2 已知三角形的顶点分别为A （2，6），B （-4，3），C （1，0），求ABC ∆三条边的长.解 根据两点间距离公式，可得ABC ∆三条边的长分别为5345)63()24(22==-+--=AB6BC ===AC ==问题解决大海中有2个小岛,其中一个在灯塔东60海里偏北80海里1P 点处,另一个在灯塔西10海里偏北55海里2P 点处(如图8-2)，以灯塔为坐标原点建立坐标系，求这两岛之间的距离.练习 1、 填空题（1）原点O （0，0）到点P （2，-2）的距离是________. （2）已知两点A(1,3)和B （2，0），则线段AB 的长度是_________. （3）点A 1（-6，-2）到点2A （-4，5）的距离是_____________. （4）已知点M （8，0）和N （2，-1），则线段MN 的长度为______________. 2、选择题（1）已知两点P （-2，0）和Q （0，5），则P,Q 间的距离是( )A 、29B 、7C 、3D （2）已知两点M 1(0,1)和2M (6,5)，则线段12M M 的长度是( )A 、132B 、52、C 、10D 、2. 中点坐标公式如图8-4，已知线段1P 2P 两个端点的坐标为1P 1,1()x y ，22,2()P x y ，设线段1P 2P 的中点为),(y x P ，那么中点P 的坐标能否用1P 和2P 的坐标表示出来呢？ 考察向量P 1和向量2PP ，有P 1=),(11y y x x --，2PP =),(22y y x x --因为P 1与2PP相等，从而⎩⎨⎧-=--=-y y y y xx x x 2121解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2,22121y y y x x x这样，中点P 的坐标就可以由点1P ，2P 的坐标表示出来了，这个公式叫作中点坐标公式，简称中点公式.中点公式告诉我们，线段1P 2P 中点的横坐标是两个端点1P 与2P 的横坐标和的一半，而中点的纵坐标是两个端点1P 与2P 的纵坐标和的一半.例3已知点A （9，-2）和B （-1，3），求线段AB 中点Q 的坐标. 解 设点Q 的坐标为(x,y)，根据中点坐标公式，有9(1)8422x +-===，21212=+-=y 所以，线段AB 中点Q 的坐标是1(4,)2例4已知线段MN ，它的中点坐标是(3，2)，端点N 的坐标是(1,-2)，求另一个端点M 的坐标.解 设端点M 的坐标为(x ,y )，根据中点坐标公式，有213x +=，2=22y-+ 解得3215,22(2)6x y =⨯-==⨯--=.图8-3所以，端点M 的坐标为（5，6）例5 已知三角形的三个顶点分别为A （12，2），B （-3，4），C （2，6），(1)画出该三角形；（2）求三角形中BC 边上的中线AD 的长.解 （1） 该三角形如图8-4（2）设BC 边上的中点D 的坐标为（x,y ），由中点坐标公式得21223-=+-=x ，5264=+=y D 点的坐标为 )5,21(- ，所以AD ===思考交流在例5中，如何求解AB 边上的中位线的长度. 练习 1、填空题（1） 已知原点O （0，0）和原点P （4，-2），那么线段OP 的中点坐标是___________.（2） 已知点M 1（-1，3）和2M （5，0），那么线段12M M 的中点坐标是_____________.（3） 已知点P （6，-2）和Q （3，-8）那么线段PQ 的中点坐标x图8-4是_____________.2、选择题已知两点A1（10，0）和2A（-2，4），则线段A12A的中点坐标是( )A．(4,2) B．（-1，4）C．（-6,2）D．（-1，2）习题1.已知两点P（2，-1）和Q（-3，-7），求线段PQ的长度.2.已知两点A（3，4）和B（5，-8），求线段AB的中点坐标.3.已知线段AB，它的中点坐标是(-1，2)，端点B的坐标是（-5，7），求另一个端点A的坐标.4.已知线段AB，它的中点坐标是(0，-4)，端点A的坐标是（12，-5），求另一个端点B的坐标.5.已知两点M（-3，m）和N（n，10），且线段MN的中点坐标是(3,-4)，求m，n.6. 在ABCD中，已知四点(3,0),(3,0),(0,4)A B C-，D（6，4）.求：（1）边BC的长；（2）ABCD的对角线中点.§8.2 直线的倾斜角和斜率日常生活中，我们也经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，即=升高量坡度前进量这里的“坡度”类似于倾斜角α图8-5）.探究如果一条直线仅过一个已知点，它就不能被确定，进一步地，再给定它的倾斜程度，就能被确定了．可见，确定直线位置的要素除了两点之外,还可以有直线上一点和直线的方向．通过建立直角坐标系,图8-5点可以用坐标来刻画，那么直线的方向用什么刻画呢？ 1.直线的倾斜角如图8-6，我们把一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒.设一条直线的倾斜角为α，则α的取值范围是0°≤α＜180︒.并且，任何一条直线都有唯一的倾斜角. 倾斜角的大小确定了直线的方向. 2.直线的斜率在直角坐标系中,我们也可以类似地利用这种方法刻画直线的倾斜程度.倾斜角不是90︒时，我们把倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示,即tan k α=（90α≠︒）例如，倾斜角α=60︒时，这条直线的斜率tan 60k =︒=冒泡：如果已知直线上2个点的坐标，能求直线的斜率吗？ 已知直线过两点1,1()P x y ，22(,)Q x y ，且12x x ≠(如图8-6）,那么直线PQ 的斜率为211221tan ()y y k x x x x α-==≠-即 211221()y y k x x x x -=≠-图8-6图8-7如果12x x =（图8-6（2）），那么直线PQ 的倾斜角为90︒，其斜率不存在.对于不垂直于x 轴的定直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的.直线的倾斜角α与其斜率k 之间有如下关系：表8-1例1.在同一坐标系中，画出过点A （-2，3），倾斜角α分别为下列各值的直线，并求其斜率（近似值精确到0.01）. （1）α=30︒; （2）α=0︒； （3）α=140︒. 解：所画图如图8-8. (1) tan 303k =︒=（2）tan00k =︒=； (3)tan1400.84k =︒≈-.图8-8例2. 分别求经过下列两点的直线的斜率， 并画图.（1）(3,2)Q ，1(1,3)P --； （2）(3,2)Q ，2(5,2)P -； （3）(3,2)Q ，3(3,2)P -. 解：（1）1325134k --==--； （2）222253k --==--；（3）322033k -==--.如图8-9.问题解决给出直线的倾斜角α，分别为零角、锐角、钝角，求直线的斜率.观察并结合表8-1，验证斜率的正负值. 练习1. 已知下列直线都经过点(0,1)-,倾斜角分别如下，求各直线的斜率k （近似值精确到0.01）并画图：（1）=35α︒； （2）=100α︒； （3）3=4πα. 2. 分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（1，-7），（3，0）； （2）（-3，4），（2，-1）；（3）（-1），.3. 填空：（1） 已知直线l 垂直于x 轴，则直线l 的倾斜角是__________，斜率____________；（2） 已知直线l 垂直于y 轴，则直线l 的倾斜角是____________，斜图8-9率_____________；（3） 直线l 倾斜角α的取值范围是________________； （4） 已知直线AB 的斜率为1，那么它的倾斜角是___________. 习题1．判断下列说法是否正确：（1） 在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个倾斜角； （2） 在直角坐标系中，每一条直线有且只有一个斜率； （3） 在直角坐标系中，任意一组平行直线具有相同的斜率； （4）在直角坐标系中，①当 0k >时，直线一定通过第一、三象限； ②当0k <时，直线一定通过第二、四象限；2．过点(1,3)A -和点(4,3)B -的直线的斜率为_____________． 3． 直线l 经过原点和点(4,4)-，则直线l 的倾斜角为（ ） A 、45︒ B 、135︒ C 、45︒或135︒ D 、4π-§8.3 直线的方程我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，如果把,x y 看作未知数，y kx b =+也是一个方程.为了更好的研究直线及其方程，我们先来考虑确定直线的要素. 如前所述，直线的位置既可以由两点确定，也可由一点和一个方向确定． 1. 直线的点斜式方程 探究如图8-9，直线l 经过点(1,3)A -，斜率 为-2，设点P (,)x y 为直线l 上点除A 以外 的任意一点，那么点P 的坐标(,)x y 满 足什么条件呢？这个条件可以用一个式子表示吗？设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线上1P 以外的任意一点P 的坐标是（,)x y ，则1PP 的斜率等于k ，即11y y k x x -=-， 故得到方程11()y y k x x -=-，显然，点111(,)P x y 也满足此方程.一般地，方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.例1．求满足下列条件的直线的方程： （1）直线经过点(2,3)P -，斜率为2；（2）求过点(2,P ，且倾斜角为45的直线方程. 解：（1） 由题意，得 1x =-2，1y =3，斜率k =2由直线的点斜式方程11()y y k x x -=-，得 32(2)y x -=+ 即 270x y -+=（2）由题意，得112,tan 451x y k ====，由直线的点斜式方程得()1(2)y x -=⨯- 整理得，所求直线方程为20x y --=例2.（1）直线经过点(1,4)P -；且平行于y 轴. （2）直线经过点1(10,)2P ，且平行于x 轴. 解：（1） 由题意，得 直线上每一点的横坐标都等于1-， 即 1x =- （2）解：由题意，得 1x =10，1y =12，斜率k =0，由直线的点斜式方程11()y y k x x -=-，得 10(10)2y x -=⋅- 整理得，所求直线方程为12y =思考交流当直线l 与x 轴垂直（倾斜角90a =）时，其方程能用点斜式表示吗？ 能表达它的方程吗？当直线l 平行于x 轴或与x 轴重合（倾斜角0a =）时，能表达它的方程吗？问题解决如图8-10，等腰梯形ABCD 中， （1）求线段AB 的斜率. （2）求线段AB 所在直线方程. （3）求线段AB 的方程. 练习根据下列条件，写出直线的方程； （1）经过点（1，-2），斜率为7； （2）经过点（-6，1），斜率为-4； （3）经过点（3，-8）倾斜角为60︒； （4，与x 轴交点的横坐标为-6； （5）经过点（13，-1），且平行于x 轴.2. 直线的斜截式方程 探究小萌和小华以相同速度k 分别在前后在相隔10米处同时出发，沿相同线路前行，经过t 时间他俩走过路程s后分别在哪里？如何用函图8-10数关系刻画这一过程？已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，能求出直线l 的方程吗？根据直线的点斜式方程，将（0，b ），k 代入，得直线l 的方程为(0)y b k x -=- 即 y k x b=+ 我们称b 为直线l 在y 轴上的截距，这个方程由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定.方程y kx b =+叫作直线的斜截式方程．例3．求下列直线的方程（1）在y 轴上的截距为8，斜率为3.5； （2）经过点（0，-5），倾斜角为135︒；（3）在y 轴上的截距为-1，过点B （-2，）.解:（1）由题意，得 73.5,82k b ===，由斜截式方程，得782y x =+整理，得 7280x y -+=（2）由题意，得 tan1351,5k b =︒=-=-，由斜截式方程，得5,50y x x y =--++=整理，得.例4．已知三角形的顶点为(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C （图8-11），试求这个三角形三边所在直线的方程.解: 因为直线AB 过点(5,0),(3,3)A B --，由斜率公式， 得3033(5)8k --==---，再由点斜式方程，得30[(5)]8y x -=---整理，得38150x y ++=因此，直线AB 的方程为38150x y ++= 因为直线BC 在y 轴上的截距为b =2，斜率是2(3)5033k --==--， 由斜截式方程，得523y x =-+整理，得 5360x y +-=因此，直线BC 的方程为5360x y +-=.同理，对于直线AC (b = 2)，求斜截式方程并整理，得直线AC 的方程为25100x y -+=.思考交流如何解释直线的斜截式方程与一次函数的关系？任何一条直线都有y 轴上的截距吗？ 练习1． 根据下列条件，写出直线的方程； （1）斜率为-3，在y 轴上的截距为-4； （2）经过点（0，-2），倾斜角为135︒； （3）经过两点（1，3），（-2，5）.2．已知一条直线经过点(1,5)P ，且与直线31y x =-+的斜率相等则该 直线的方程是_____________.3. 直线的一般式方程 探究关于x 、y 的二元一次方程0(Ax By C A B ++=、不全为0）都可以表示直线吗？直线方程的两种特殊形式（点斜式，斜截式）都可以整理成方程0(Ax By C A B ++=、不全为0）的形式.显然，它们都是关于x 和y 的二元一次方程.在平面直角坐标系中，任何关于x 、y 的二元一次方程0Ax By C ++=(0)A B 、不全为叫做直线的一般式方程.例5．写出下列图8-12中直线的方程，并化为一般式方程.（1） 解：如图（1），18030150α︒=-=，所以1tan tan1502k α===-，由点斜式方程，得11.522y x -=--（），得一般式方程为250x y +-=.（3）（2）（1）图8-12（2） 解：如图（2），已知直线上两点(4,1)-，(1,3)，得3121(4)5k -==--由点斜式方程，得 23(1)5y x -=-，整理得，一般式方程为 25130x y -+=.（3） 解：如图（3），直线在y 轴上的截距为3b =-，且直线过点（1，0），（0，-3），由斜率公式得30301k --==-，再由斜截式方程，得33y x =-，整理得，一般式方程为 330x y --=.冒泡：本章如无特别说明，所求直线方程均化为直线的一般式方程.例6．直线5100l x y +-=的方程为2，求直线的斜率以及它在y 轴上的截距，并作图.解：将直线l 的方程25100x y +-=写成22,5y x =-+因此直线l 的斜率为 25k =-；在方程25100x y +-=中，令0x =，得2y =；令0y =，得5x =，所以，直线l 在y 轴上的截距为3.且通过点（0，2），（5，0）画直线.注：以后如不特别说明，求直线方程的结果均指一般方程. 练习1．直线2360x y +-=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有图8-13（ ）A 、3,32k b =-=B 、2,23k b =-=-C 、3,32k b =-=-D 、2,23k b =-=2．求经过点(-1,3)，(4,-2)的直线的方程.3．写出过点P （2，-1），且分别满足下列条件的直线方程： (1) 直线l 垂直于y 轴； (2)直线l 过原点. 习题 1.填空（1）直线倾斜角α的取值范围是____________；若α是平角，则斜率k =_______;若已知两点A （1，-2 ），B （0,3 ），则斜率k =_________. （2）直线的点斜式方程是__________________；直线的斜截式方程是_______________；直线的一般方程是_____________________.2. 经过点)2,4(-F ，倾斜角是23π的直线方程是 （ ）（A ）)4(32--=-x y ； （B ）)2(34+-=-x y （C ）)4(32-=-x y ； （D ）)4(32--=+x y 3.根据下列条件，写出直线的方程； （1）斜率为2，在y 轴上的截距为-9； （2）经过点（8，-6），倾斜角为120︒； （3）经过两点（5，5），（-3，0）. （4）斜率是-3,且在y 上轴的截距为4； （5）过点(-π,0)，且与y 轴垂直.4．已知一条直线经过点(1,5)P ，且与直线31y x =-+的斜率相等，求该直线的方程.5．已知菱形的两条对角线长分别为8和6，试建立适当的直角坐标系， 求出菱形各边所在的直线方程．6．直线l 经过点（3，－1），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程．§8.4 两条直线的位置关系我们知道，平面内两条直线有相交、平行、重合三种位置关系。
直线与圆的方程应用举例教案
直线与圆的方程应用举例教案引言直线与圆是高中数学中常见的几何概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本教案将通过一些具体的实例，帮助学生更好地理解直线与圆的方程，并学习如何应用这些知识解决实际问题。
例题1：判断点在直线上的方法问题描述在直角坐标系中，给定直线的方程为2x−3y=6，判断点P(4,−2)是否在直线上。
解题思路要判断点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的方程，若等式成立，则点在直线上。
具体步骤如下：1.将点的坐标代入直线的方程：$2 \\cdot 4 - 3 \\cdot (-2) = 6$。
2.计算等式左边的值：8+6=14。
3.判断等式是否成立：14=14，因此点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
结论点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
例题2：求直线与圆的交点问题描述在直角坐标系中，给定圆的方程为x2+y2=25，直线的方程为y=2x+1，求直线与圆的交点。
解题思路要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，求解方程组得到交点的坐标。
具体步骤如下：1.将直线的方程代入圆的方程：x2+(2x+1)2=25。
2.化简方程：x2+4x2+4x+1=25。
3.组合同类项：5x2+4x−24=0。
4.求解方程：可以使用因式分解或二次方程公式求解方程5x2+4x−24=0，得到x1=2和x2=−2.4。
5.将x的值代入直线的方程，求解y的值：$y = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$ 和$y = 2 \\cdot (-2.4) + 1 = -3.8$。
6.得到两个交点的坐标：交点1为P1(2,5)，交点2为P2(−2.4,−3.8)。
结论直线y=2x+1与圆x2+y2=25相交于两个点，分别为点P1(2,5)和P2(−2.4,−3.8)。
例题3：利用圆的方程求解实际问题问题描述一个游乐场的中央有一座圆形喷泉，喷泉周围有一圈供游客休息坐椅的位置。
已知坐椅到喷泉的距离为10米，并且坐椅到喷泉的连线垂直于坐椅到游乐场中心的半径。
直线方程与圆的方程应用举例教案
直线方程与圆的方程应用举例教案引言在数学中，直线和圆是常见的几何图形。
直线通过两个点来确定，而圆则由一个中心点和半径来确定。
直线方程和圆方程是描述这两类图形的重要工具。
本教案将通过一些具体的应用举例，帮助学生理解和应用直线方程与圆的方程。
一、直线方程应用举例1. 汽车行驶问题假设一辆汽车的初始位置是坐标原点 (0, 0)，车辆以速度 v 向着 x 轴正方向行驶。
现在要求学生根据这些信息来推导出汽车的运动方程。
解答思路：汽车在 x 轴上的位置可以用直线方程 y = 0x + 0 表示，其中斜率为0，截距为 0。
由于速度 v 表示的是单位时间内汽车在 x 轴上的移动距离，所以坐标点 (x, y) 表示汽车的位置可以表示为 (x, y) = (vt, 0)，其中 t 表示时间。
2. 电费问题某市居住用电计费采用两阶梯计费，每月电量低于200度的部分电费按0.5元/度计算，超过200度的部分电费按0.8元/度计算。
假设一个家庭每月用电量为 x 度，要求学生根据这些信息来推导计费公式。
解答思路：当用电量低于200度时，电费总额为 0.5x；当用电量超过200度时，电费总额为 0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200)。
综合起来，可以得到计费公式为：电费总额 =\\begin{cases}0.5x, & \\text{if } x \\leq 200 \\\\0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200), & \\text{if } x > 200\\end{cases}二、圆的方程应用举例1. 池塘中的青蛙一个半径为10 米的圆形池塘中有一只青蛙。
青蛙可以跳跃的最大距离为r 米，要求学生根据这些信息来判断青蛙是否能够跳出池塘。
解答思路：青蛙能够跳出池塘的条件是能够找到一条直线，其长度大于圆的半径。
根据勾股定理，直线的长度可以用直角三角形的两条边的平方和的开根号表示。
高中数学课件直线与圆的方程的应用
圆的性质
深入研究圆的基本性质，包括圆心、半径、直 径、弦和切线，并了解它们的应用。
圆与直线的交点
研究圆与直线的交点问题，并学习如何求解这 类问题。
第三部分：综合应用
1
求解直线和圆的交点
掌握求解直线与圆的交点的方法和策略，并应用于实际问题中的求解。
们在直线方程中的作用。
3
直线的点斜式和两点式
学习如何使用直线的点斜式和两点式方
直线的垂直平行
4
程，并掌握它们在实际问题中的应用。
探索直线的垂直和平行关系，并学习如 何确定两条直线之间的关系。
第二部分：圆的方程的应用
圆的标准方程和一般方程
了解圆的标准方程和一般方程，并学习如何确 定圆的各个特征。
圆心角和圆周角
2
求解两个圆的公切线和外公切线
深入研究两个圆的公切线和外公切线问题，并学会如何求解这类问题。
3
求解平面内的最短路径问题
解决平面内的最短路径问题，包括圆与直线之间的最短路径和图形在坐标系中的位置关系。
4
总结
总结直线和圆的方程在数学和物理等领域的应用，并强调数学应用能力在解决实际问题中的 重要性。
高中数学课件直线与圆的 方程的应用
本课程将带您深入了解直线和圆的方程，并展示它们在数学和物理等领域中 的实际应用。掌握这些知识将增强您的数学应用能力和解决实际问题的能力。
第一部分：直掌握直
直线的斜率和截距
2
线的基本性质和特征。
深入研究直线的斜率和截距，并了解它
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应用举例
小河同侧有相距5km的两个村庄A、B，两村到河沿的距离分 别是3km和7km， 欲在河上建一个泵站供两村使用. 问泵站建 在何处，工程所需的水管长度最省？
解：以M为原点O，建立直角坐标系， 设B(n,7)，由|AB|= n2 (7 3)2 5, 解得n=3， 则B(3,7)，易知A′(0,–3) 直线A′B的方程为 y 10 x 3,
如图，海中有一个小岛P，该岛四周12海里内暗礁. 今有货 轮四由西向东航行，开始在A点观测P在北偏东60°处，行驶 10海里后到达B点观测P在北偏东45°处. 你认为货轮继续向东 航行途中会有触礁的危险吗?
y P
60° 45° o
AB
x
已知P {(x, y) | y 25 x2 , x, y R}和Q {(x, y) | y x b, x, y R}
3
令y=0，得 x 0.9.
故泵站建在距离M点右侧0.9米处.
y
A MP O A′
B
N x
P在何处 |PB–PA|最大？
已知点A(4,3)，B(–1,2)，在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小.
一艘轮船A在沿直线返回港口B的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长 为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：建立如图直角坐标系， 单位长度为10km，
∵航线所在直线AB的斜率k 4 0 4 ,
07 7 y
直线AB在y轴上的截距为4， ∴直线AB的方程是 y 4 x 4,
7
即4x+7y–28＝0.
港口B O
∵点O与直线AB的距离是
台风轮船A x来自28 3.47 3. 42 72
∴这艘轮船不改变航线不会受到台风的影响.
直线l2与圆相切,则
b 5, 得b 5 2
2.
b的取值范围是 5 2 b 5.
已知直线2x y c 0与曲线 y 1 x2有两个公共点，求c的取值范围.
用坐标法解决几何问题的步骤：
➢第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化 为代数问题；
➢第二步：通过代数运算，解决代数问题；
➢第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
➢今天你学了哪些知识？ ➢哪些你认为值得注意？
若P I Q ,求b的取值范围. 解：由y 25 x2 , 得x2 +y2 25 ( y 0)
集合P表示圆x2 +y2 25 的下半圆， 集合Q表示一条斜率为1的动直线，
y l1
l2
–5
5
O
x
P I Q 表示下半圆与动直线有公共点.
由图可知，动直线介于l1和l2之间时满足.
直线l1经过(5, 0), 得b 5.