(完整版)§8.8.2直线与圆的方程应用举例
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§8.8.2 直线与圆的方程
应用举例
小河同侧有相距5km的两个村庄A、B，两村到河沿的距离分 别是3km和7km， 欲在河上建一个泵站供两村使用. 问泵站建 在何处，工程所需的水管长度最省？
解：以M为原点O，建立直角坐标系， 设B(n,7)，由|AB|= n2 (7 3)2 5, 解得n=3， 则B(3,7)，易知A′(0,–3) 直线A′B的方程为 y 10 x 3,
➢第二步：通过代数运算，解决代数问题；
➢第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
➢今天你学了哪些知识？ ➢哪些你认为值得注意？
如图，海中有一个小岛P，该岛四周12海里内暗礁. 今有货 轮四由西向东航行，开始在A点观测P在北偏东60°处，行驶 10海里后到达B点观测P在北偏东45°处. 你认为货轮继续向东 航行途中会有触礁的危险吗?
y P
60° 45° o
AB
x
已知P {(x, y) | y 25 x2 , x, y R}和Q {(x, y) | y x b, x, y R}
3
令y=0，得 x 0.9.
故泵站建在距离M点右侧0.9米处.
y
A MP O A′
B
N x
P在何处 |PB–PA|最大？
已知点A(4,3)，B(–1,2)，在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小.
一艘轮船A在沿直线返回港口B的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长 为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
直线l2与圆相切,则
b 5, 得b 5 2
2.
b的取值范围是 5 2 b 5.
已知直线2x y c 0与曲线 y 1 x2有两个公共点，求c的取值范围.
用坐标法解决几何问题的步骤：
➢第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化 为代数问题；
若P I Q ,求b的取值范围. 解：由y 25 x2 , 得x2 +y2 25 ( y 0)
集合P表示圆x2 +y2 25 的下半圆， 集合Q表示一条斜率为1的动直线，
y l1
l2
–5
5
O
x
P I Q 表示下半圆与动直线有公共点.
由图可知，动直线介于l1和l2之间时满足.
直线l1经过(5, 0), 得b 5.
解：建立如图直角坐标系， 单位长度为10km，
∵航线所在直线AB的斜率k 4 0 4 ,
07 7 y
直线AB在y轴上的截距为4， ∴直线AB的方程是 y 4 x 4,
7
即4x+7y–28＝0.
港口B O
∵点O与直线AB的距离是
台风
轮船A x
28 3.47Fra Baidu bibliotek 3. 42 72
∴这艘轮船不改变航线不会受到台风的影响.
应用举例
小河同侧有相距5km的两个村庄A、B，两村到河沿的距离分 别是3km和7km， 欲在河上建一个泵站供两村使用. 问泵站建 在何处，工程所需的水管长度最省？
解：以M为原点O，建立直角坐标系， 设B(n,7)，由|AB|= n2 (7 3)2 5, 解得n=3， 则B(3,7)，易知A′(0,–3) 直线A′B的方程为 y 10 x 3,
➢第二步：通过代数运算，解决代数问题；
➢第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
➢今天你学了哪些知识？ ➢哪些你认为值得注意？
如图，海中有一个小岛P，该岛四周12海里内暗礁. 今有货 轮四由西向东航行，开始在A点观测P在北偏东60°处，行驶 10海里后到达B点观测P在北偏东45°处. 你认为货轮继续向东 航行途中会有触礁的危险吗?
y P
60° 45° o
AB
x
已知P {(x, y) | y 25 x2 , x, y R}和Q {(x, y) | y x b, x, y R}
3
令y=0，得 x 0.9.
故泵站建在距离M点右侧0.9米处.
y
A MP O A′
B
N x
P在何处 |PB–PA|最大？
已知点A(4,3)，B(–1,2)，在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小.
一艘轮船A在沿直线返回港口B的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长 为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
直线l2与圆相切,则
b 5, 得b 5 2
2.
b的取值范围是 5 2 b 5.
已知直线2x y c 0与曲线 y 1 x2有两个公共点，求c的取值范围.
用坐标法解决几何问题的步骤：
➢第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化 为代数问题；
若P I Q ,求b的取值范围. 解：由y 25 x2 , 得x2 +y2 25 ( y 0)
集合P表示圆x2 +y2 25 的下半圆， 集合Q表示一条斜率为1的动直线，
y l1
l2
–5
5
O
x
P I Q 表示下半圆与动直线有公共点.
由图可知，动直线介于l1和l2之间时满足.
直线l1经过(5, 0), 得b 5.
解：建立如图直角坐标系， 单位长度为10km，
∵航线所在直线AB的斜率k 4 0 4 ,
07 7 y
直线AB在y轴上的截距为4， ∴直线AB的方程是 y 4 x 4,
7
即4x+7y–28＝0.
港口B O
∵点O与直线AB的距离是
台风
轮船A x
28 3.47Fra Baidu bibliotek 3. 42 72
∴这艘轮船不改变航线不会受到台风的影响.