4.2.3直线与圆的方程的应用
人教版高中数学必修二4.2.3直线与圆的方程的应用(一)1
复习引入
1. 直线方程有几种情势? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种情势?分别是哪些? 3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
什么条件下用一般方程? 4. 直线与圆的方程在生产生活实践中有广
泛的应用，想想身边有哪些呢?
复习引入
5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？
4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.
例4.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2) 对称的圆的方程.
练习.求圆(x－1)2 ＋(y－1)2＝4关于直线 l：x－2y－2＝0对称的圆的方程.
作业讲评
《习案》P.182第4、5题； 《习案》 P.183第6题.
课后作业
1. 阅读教材P.130到P.132； 2. 《课后限时检测》二十七 .
4.2.3直线与圆 的方程的应用
复习引入
1. 直线方程有几种情势? 分别是什么?
复习引入
1. 直线方程有几种情势? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种情势?分别是哪些?
复习引入
1. 直线方程有几种情势? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种情势?分别是哪些? 3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
复习引入
5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？
6. 如何根据圆的方程，判断它们之间的位 置关系?
讲授新课
1. 标准方程问题 例1. 求圆(x－2)2 ＋(y＋3)2＝4上的点到 x－y＋2＝0的最远、最近的距离.
2. 轨迹问题
充分利用几何图形的性质，熟练 掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式.
2. 轨迹问题
例2.过点A(4,0)作直线l交圆O: x2＋y2＝4 于B、C两点，求线段BC的中点P的轨迹 方程.
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
4.2.3直线与圆的方程的应用
M O’
D
利用解析法(坐标法)解决平面问题的“三步曲”：
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程 第一步： 表示问题中的几何元素，将平面几何问题 转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
作业: P144 练习2、3 A组11 B组1、5
ห้องสมุดไป่ตู้
4.2.3直线与圆的方程的应
用
例4:图4.2-5是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)
y
P2
P
A
A1
A2
O A3
A4
B
x
C
例5:已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边 所对边长的一半.
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用
一、课前准备：讲评上节课作业
二、新课导学
1．直线方程有几种形式? 分别是?
2．圆的方程有几种形式? 分别是?
3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
※ 典型例题
探究一：交点问题
例1、讨论直线y =x +m 与曲线y .
变式：讨论直线4)2(+-=x k y 与曲线y =.
例2、已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2
-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.
探究二：轨迹问题
例3、 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切
线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =.试建立适当的坐标系，并求动点P 的
轨迹方程.
变式：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 3
1=，问点M 的轨迹是什么？
探究三：与圆有关的最值问题
例4、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，求22PB PA +的最小值
变式：已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实
数m 的取值范围．
例5、已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
基 础 梳 理
练习 1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示圆心在__________，半 径为________的圆．
答案：(a，b)
2
r
栏 目 链 接
练 习 2 ： y ＝ 1－x 表 示 圆 心 在 __________ ， 半 径 为 ________的半圆．
答案：(0,0)
1
练习 3：y＝b－ r2－x－a2表示圆心在__________，半径 为________的下半圆．
)
栏 目 链 接
解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线 x＋y＝0 上， 故关于直线 x＋y＝0 对称． 答案：D
自 测 自 评
2．若直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 为( A．0 或 2 B．2 C. 2 D．无解
栏 目 链 接
)
|m| 解析：圆心(0,0)到直线 x＋y＋m＝0 的距离 d＝ 2 ＝ m，m＝2. 答案：B
自 测 自 评
3 3．一直线经过点 P－3，－2被圆 x2＋y2＝25 截得
的弦长为 8，求此弦所在的直线方程．
3 解析：当斜率存在时，设直线方程为 y＋ ＝k(x＋3) 2 3 即 kx－y＋3k－ ＝0， 2 由已知得，弦心距|OM|＝ 52－42＝3. 3 |k · 0－0＋3k－ | 2 3 ∴ ＝3，解得 k＝－ . 2 4 k ＋1
答案：(a，b)
r
思 考 应 用
用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
解析： 用坐标方法解决平面几何问题的基本思
栏 目 链 接
想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系
的主要工具就是平面直角坐标系．
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学
4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。
【人教A版】高中数学必修二：课时提升作业(二十八) 4.2.3
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课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.圆x2+y2-4x+2y+c=0,与直线3x-4y=0相交于A,B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则c的值为( )A.8B.2C.-3D.3【解析】选C.由题意得C<5,圆心P(2,-1),r=,圆心到直线的距离d==2,由于∠APB=90°,所以r=d=2,从而=2,c=-3.【补偿训练】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】选A.已知圆心为O(1,0),根据题意:又k AB·k OP=-1,所以k AB=1,故直线AB的方程是x-y-3=0.2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2=,那么的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值为,所以=.3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区域,城市B在A的正东40千米处,B城市处在危险区域的时间为( ) A.0.5小时 B.1小时C.3.6小时D.4.5小时【解析】选B.受影响的区域长度=2=20千米,故影响时间是1小时.4.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为( ) A.0 B.1C.2D.无法确定【解析】选A.因为+<r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d=>r,故直线与圆相离.【延伸探究】若将本题改为“点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选C.因为+>r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d =< r,故直线与圆相交,所以公共点的个数为两个.5.已知集合M={(x,y)|y=,y≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠ ,则实数b的取值范围是( )A.[-3,3]B.[-3,3]C.(-3,3]D.[-3,3)【解题指南】解得本题的关键是注意到y=,即x2+y2=9(y>0),图形是半圆.【解析】选C.由于M∩N≠ ,说明直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)相交,画图探索可知-3<b≤3.【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用直线与圆的一部分有交点时,如果采用代数法去研究,则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题,求解过程相对复杂,而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解,先找出边界,然后结合直线或圆的变化特征求解,相对来说就简单多了.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32.答案:32【补偿训练】过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2, 由可得答案:(,)7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2. 答案:-2【补偿训练】(2015·保定高一检测)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2【解析】选A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.8.已知x+y+1=0,那么的最小值是.【解析】表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系. 【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得x=,y=.所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k PC=-,因为k AP·k PC=3×=-1,所以,AP⊥CP.10.如图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).【解析】建立如图所示直角坐标系,使圆心在y轴上,只要求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程组解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度约为3.86m.【补偿训练】设有半径为3公里的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇?【解析】如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系,又设A向东走到D 转向到C恰好与B相遇,设CD方程为+=1(a>3,b>3),设B的速度为v,则A的速度为3v,依题意有解得,所以B向北走3.75公里时相遇.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )A.2B.2C.4D.4【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以S△ABC=×4×=2.【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.2.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线l:y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若点P(x,y)满足x2+y2=25,则x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,即-5≤x+y≤5,所以x+y的最大值是5.答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y联想直线的截距.4.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为.【解析】曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在△MPC中,CM⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.答案:4【补偿训练】圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+3=0的最远的距离为. 【解析】圆心C(2,-3)到直线的距离d==4>2,所以直线与圆相离.过圆心C作直线x-y+3=0的垂线,垂足设为H,则圆上的点A到直线的距离最远为4+2.答案:4+2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=得M.所以|AM|·|AN|=·=·=6为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N,又直线CM与n垂直,由得M.所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|==6,为定值.6.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N 两点.(1)求k的取值范围.(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数. 【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2),又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
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第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
2019-2020学年人教A版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 课时作业
课时作业(二十八)1．若函数y＝f(x)的图像与函数y＝3－2x的图像关于坐标原点对称，则y＝f(x)的表达式为()A．y＝2x－3B．y＝2x＋3C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3答案 D解析以－x，－y代替y＝3－2x中的x，y，得－y＝3＋2x，∴y＝－3－2x，选D.2．已知曲线C：y＝－x2－2x与直线l：x＋y－m＝0有两个交点，则m的取值范围是()A．(－2－1，2) B．(－2，2－1)C．[0，2－1) D．(0，2－1)答案 C解析曲线C是圆x2＋y2＋2x＝0位于x轴上方的半圆，m是直线l：x＋y－m＝0在y轴上的截距，利用数形结合可得m的取值范围是[0，2－1)．故选C.3．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为()A．4 B．3C．2 D．1答案 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2答案 C5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 b<－1006．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|＝3，则OA →·OB →＝________． 答案 －12解析 由于圆的半径为1，|AB|＝3，所以O 到直线的距离为12，∠AOB ＝120°，OA ＝OB ＝1. 所以向量OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos120°＝－12.7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3， ∴d>r ，直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．8.如图所示，过圆外一点P(a ，b)作圆x 2＋y 2＝k 2的两条切线，切点为A 、B ，求直线AB 的方程．思路分析 结合两切线PA 、PB 过公共点P(a ，b)，列方程组用观察法求解．解析 设切点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则切线AP 、BP 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝k 2，x 2x ＋y 2y ＝k 2. ∵这两条切线都过点P(a ，b)， ∴ax 1＋by 1＝k 2，ax 2＋by 2＝k 2.由以上二式可以看出：A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的坐标都适合方程ax ＋by ＝k 2.它是一条直线方程，而过A 、B 的直线只有一条． ∴直线AB 的方程为ax ＋by ＝k 2.9．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离；并写出过点P 的切线方程．解析 设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则过点P 的直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.又圆心到直线的距离d ＝|－4k| k 2＋1＝|4k|1＋k2，(1)相切：则d ＝4⇔4|k|1＋k2＝22，∴k 2＝1，k ＝±1，∴α＝π4或α＝3π4.即当α＝π4或α＝3π4时直线与圆相切， 切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (2)相交：则d<r ⇔4|k|1＋k2<22，∴k 2<1，∴－1<k<1，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，π. 此时，直线与圆相交． (3)相离：d>r ⇔4|k|1＋k2>22，∴k 2>1，∴k>1或k<－1.∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π4.又当α＝π2时，直线x ＝4与圆相离，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，3π4 时，直线与圆相离． 10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP→·OQ →＝0(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 解析 将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5. ∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2， ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，解得m ＝3.此时Δ>0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.11．若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解析 方法一：(1)圆方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)max＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为3，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.方法二：设x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[0，2π)， (1)设yx ＝u ，则u ＝3sin θ2＋3cos θ.∴2u ＋3ucos θ＝3sin θ，∴3sin θ－3ucos θ＝2u. sin (θ－φ)＝2u 3·u 2＋1，⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin φ＝uu 2＋1，cos φ＝1u 2＋1 ∵|sin (θ－φ)|≤1，∴2|u|3·u 2＋1≤1. 解之得－3≤u ≤ 3.(2)y －x ＝3sin θ－2－3cos θ＝－2＋6si n(θ－π4)．∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4≤1， 故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋4 3. (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1．自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线方程．解析 设光线l 所在的直线的斜率为k ，由光学原理可知，反射光线所在的直线的斜率为－k ，且反射光线所在的直线经过点A 关于x 轴的对称点A(－3，－3)，故反射光线所在直线的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3k ＋3＝0，依题意，它与圆(x －2)2＋(y －2)2＝1相切，所以|2k ＋2＋3k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或－34，故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.2．已知A(－2，0)，B(2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)，求点D 的轨迹方程．解析 设C 坐标为(x 1，y 1)，D 坐标为(x ，y)， 由|AC →|＝2，得(x 1＋2)2＋y 12＝4.① 又由向量AD →＝12(AB →＋AC →)，可得 (x ＋2，y)＝（4，0）＋（x 1＋2，y 1）2， 即(2x ＋4，2y)＝(6＋x 1，y 1)， 则有2x －2＝x 1，2y ＝y 1.②把②式代入①式得，(2x)2＋(2y)2＝4化简得x 2＋y 2＝1，即为点D 的轨迹方程．3．平面上两点A(－1，0)，B(1，0)，在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4上取一点P ，求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P 的坐标． 解析 因为P 在圆上，所以可设P(3＋2cos θ，4＋2sin θ)． 又因为A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(3＋2cos θ＋1)2＋(4＋2sin θ)2＋(3＋2cos θ－1)2＋(4＋2sin θ)2＝60＋32sin θ＋24cos θ＝60＋40sin (θ＋φ)(tan φ＝34)．当sin (θ＋φ)＝－1，(|AP|2＋|BP|2)min ＝20.此时60＋24cos θ＋32sin θ＝20，即3cos θ＋4sin θ＝－5. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－35，sin θ＝－45，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，165.4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t ＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程；(4)若点P(3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解析 原方程可整理为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－7t 2＋6t ＋1. (1)r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，解得－17<t<1.(2)设圆心坐标为P(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝4t 2－1，消t 可得y ＝4x 2－24x ＋35，此即为圆心轨迹方程． (3)求圆面积最大即求圆半径最大，半径的平方最大．r 2＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，所以当t ＝37时，r 2最大为167，此时圆方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋36492＝167.(4)要使点P(3，4t 2)恒在所给圆内，那么把P 点坐标代入圆方程应满足[3－(t ＋3)]2＋[4t 2＋(1－4t 2)]2＋7t 2－6t －1<0，即8t 2－6t<0，解得0<t<34.5.如图，已知定点A(2，0)，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．解析 由三角形角平分线性质，得 |QM||MA|＝|OQ||OA|＝12，∴QM MA ＝12.设M ，Q 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝x 0＋12×21＋12，y ＝y 0＋12×01＋12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x －1，y 0＝32y.因为Q 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 02＋y 02＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2＝1，所以动点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心(－1，2)，r ＝ 2.设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，①当a ＝b ＝0时，切线方程可设为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由点到直线的距离公式，得2＝|－k －2|k 2＋1⇒k ＝2±6. 所以切线方程为y ＝(2±6)x.②当a ＝b ≠0时，切线方程为x a ＋y b ＝1，即x ＋y －a ＝0.由点到直线的距离公式，得2＝|－1＋2－a|12＋12⇒a ＝－1，a ＝3. 所以切线方程为x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0.综上，所求切线方程为y ＝(2±6)x ，x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0.(2)连接MC ，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2，∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－|MC|2＝|PO|2.即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2.整理得x ＝2y －32.∴|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －322＋y 2＝5y 2－6y ＋94. 当y ＝－－610＝35时，|PM|最小，此时x ＝－310， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.。
2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用课件
[变式训练 2] 已知圆 O：x2＋y2＝25 和圆 C：x2＋y2－4x －2y－20＝0 相交于 A，B 两点，求公共弦 AB 的长．
解： 两圆方程相减得弦 AB 所在直线的方程为 4x＋2y－5＝ |－5| 5 2 2 0.圆 O：x ＋y ＝25 的圆心到直线 AB 的距离 d＝ ＝ ，所 20 2 5 2 2 以公共弦 AB 的长为|AB|＝2 r －d ＝2 25－4＝ 95.
判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种，几何法比代 数法简便，因此解题时常用几何法，用几何法判断两圆位置关 系的步骤如下： 1将两圆的方程化为标准方程. 2求出两圆的圆心距 d 和半径 r1，r2. 3根据 d 与|r1－r2|、r1＋r2 的大小关系作出判断.
[变式训练 1] 圆 x2＋y2＋4x－4y＋7＝0 与圆 x2＋y2－ 4x＋10y＋13＝0 的公切线的条数是( A．1 B．2 C．3 D．4 )
解法 2：(1)设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、 B
2 2 x ＋y ＋2x＋8y－8＝0， 的坐标满足方程组 2 2 x ＋y －4x－4y－2＝0.
两式相减得 x＋2y－1＝0. 此方程即为过 A，B 两点的直线方程． 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 x＋2y＋1＝0. (2)圆 C1 可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25， 圆 C1 的圆心为(－1，－4)，半径长 r1＝5. 10 C1(－1，－4)到直线 x＋2y－1＝0 的距离 d＝ ＝2 5. 5
故 E(m,0)是 CD 的中点，即 E 是 CD 的中点．
坐标法解决几何问题，一般建系时要坚持如下原则： 1若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为 x 轴和 y 轴； 2充分利用图形的对称性； 3让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； 4关键点的坐标易于求得.
4.2.3《直线与圆的方程的应用》课件(1)
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
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P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
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5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
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台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
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2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
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4.2.3 直线与圆的方程的应用（一）教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.（二）教学重点、难点重点与难点：直线与圆的方程的应用.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引你能说出两点间的距学生思考后作答启入离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.发并引导学生回顾，从而引入新课.应用举例3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？例4图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.生：自学例4，并完成练习题1、2.师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间.指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.圆心在y 轴上.设圆心的坐标是(0，b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2 + (y – b )2 = r 2.下面确定b 和r 的值.因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2 + (y – b )2 = r 2.于是，得到方程组2222220(4),10(0)b r b r⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得b = –10.5，r 2 = 14.52所以，圆的方程是x 2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点P 2的横坐标x = –2代入圆的方程，得(–2)2+ (y+ 10.5)2= 14.52，取2210.514.5(2)y+=--(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以2214.5(2)10.5y=---≈14.36 – 10.5=3.86(m)4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.使学生加深对圆的方程的认识.5．你能利用“坐标法”解决例5吗？例 5 已知内接于圆的四边形的对角线互师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得2O Ma cx x'+==2O Nb dy y'+==,22E Ea dx y==所以2222||()()22222212a c ab d dO Eb c'=+-++-=+又22||BC b c=+所以1||||2O E BC'=.决问题的能力.6．完成教科书第140教师指导学生阅读教材，使页的练习题2、3、4.练习 2 赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.练习3 某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m.现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？练习4 等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且1||||3BD BC =，|CE | =13|CA |，AD 、BE 相交于点P .求证AP ⊥CP .并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP | = 7.2m ，|AB | = 37.4m.即有A (–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .设所求圆的方程是(x –a )2 + (y –b )2 = r 2.于是有222222222(18.7),(18.7),(7.2)a b r a b r a b r⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解此方程组，得a = 0，b = –20.7，r = 27.9.学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x 2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y ≤7.2)练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有A (–10，0)，B (10，0)，P (0，4)，D (–5，0)，E (5，0).设所求圆的方程是(x –a )2 + (y –b )2 = r 2.于是有222222222(10),(10),(4)a b r a b r a b r⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解此方程组，得a = 0，b = –10.5，r = 14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y ≤4).把点D 的横坐标x = –5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m ，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.练习4解： 以B 为原点，BC边所在直线为x 轴，线段BC 长的16为单位长，建立如图所示的坐标系.则(3,3),(0,0),(6,0)A B C .由已知，得D (2,0)，(5,3)E . 直线AD 的方程为33(2)y x =-.直线BE 的方程为3(5)35y x =-+. 解以上两方程联立成的方程组，得53,377x y ==. 所以，点P 的坐标是153(,3)77. 直线PC 的斜率39pc k =-. 因为333()19AD pc k k =⨯-=-， 所以，AP ⊥CP .练习题 直角△ABC 的斜边为定长m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为长定长n 的圆，BC 的延长线交此圆于P 、Q 两点，求证|AP |2 + |AQ |2 + |PQ |2为定值.7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.证明：如图， 以O 为原点，分别以直线PQ 为x 轴，建立直角坐标系.于是有(,0),(,0)22m m B C -，(,0)2n P -，(,0)2n Q设A (x ，y )，由已知，点A 在圆2224m x y +=上.AP 2 + AQ 2 + PQ 2= 22222()()22n n x y x y n +++-++ 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.知识备选例题例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C (–11，0 )，D (11，0)，M (0，9)可求得过C 、D 、M 三点的圆的方程是22220101()()99x y ++= 故A 点坐标是(2，y 1)，则22120101()()499y +=- 得y 1≈8.82，(取y 1＞0)∴y 1＞7.5，因此船不能从桥下通过.例2 设半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3:1，问A 、B 两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别的为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3av ，0)Q (0，(a + b )v )，则|PQ | = 3bv ，|OP | = 3av ，|OQ | = （a + b ）v在Rt △OPQ 中|PQ |2 = |OP |2 + |OQ |2 得5a = 4b 0()30PQ v a b k av -+=- ∴34PQ k =- 设直线PQ 方程为34y x b =-+ 由PQ 与圆x 2 + y 2 = 9相切，22343=+解得154b = 故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km. 例3 有一种商品，A 、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍.已知A 、B 相距10km ，问这个居民应如何选择A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系. |AB | = 10，所以A (–5，0)，B (5，0)设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则运住A 地的运费|PA |·3a当运费相等时，就是|PB |·a = 3a ·|PA | ，即22223(5)(5)x y x y ++=-+整理得2222515()()44x y ++= ① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买.。