二次函数的最值问题

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

典型中考题(有关二次函数的最值)

屠园实验 周前猛

一、选择题

1. 已知二次函数y=a (x-1)2+b 有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关( )

A. ab D 不能确定 答案:C

2.当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( )

A 、-

74 B C 、2或 D 2或或-74

答案:C

∵当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4, ∴二次函数在-2≤x≤l 上可能的取值是x=-2或x=1或x=m.

当x=-2时,由 y=-(x-m )2+m 2+1解得m=-74 ,2

765y x 416⎛⎫=-++

⎪⎝

⎭此时 ,它在-2≤x≤l 的最大值是

65

16

,与题意不符. 当x=1时,由y=-(x-m )2+m 2+1 解得m=2 ,此时y=-(x-2)2+5 ,它在-2≤x≤l 的最大值是4,与题意相符.

当x= m 时,由 4=-(x-m )2+m 2+1解得 m=当m=.它在-2≤x≤l

的最大值是4,与题意相符;当,2≤x≤l 在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符.

综上所述,实数m 的值为2或 . 故选C .

3. 已知0≤x≤

1

2

,那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是( ) A C . D. -6

答案:C

解:∵y=-2x 2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x <2上y 随x 的增大而增大.又∵0≤x ≤

12,∴当x=12时,y 取最大值,y 最大=-2(1

2

-2)2+2=.故选:C .

4、已知关于x的函数.

下列结论:

①存在函数,其图像经过(1,0)点;

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;

③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;

④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。

真确的个数是()

A,1个B、2个 C 3个D、4个

答案:B

分析:①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;

②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;

③根据二次函数的增减性,即可作出判断;

④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点

的纵坐标表达式,即可作出判断.

解:①真,将(1,0)代入可得:2k-(4k+1)-k+1=0,

解得:k=0.运用方程思想;

②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;

③假,如k=1,

b5

-=

2a4

,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;

④真,当k=0时,函数无最大、最小值;

k≠0时,y最=

22

4ac-b24k+1

=-

4a8k

∴当k>0时,有最小值,最小值为负;

当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.

二、填空题:

1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB 上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是

答案:12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为 时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是

答案:4、4,8

解:设直角三角形得一直角边为x ,则,另一边长为8-x ;设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0

∴当x=4时,S 最大=8.

及两直角边长都为4时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8.

3、函数2y=24x-x (0x 4)

-≤≤的最大值与最小值分别是

答案:2,0

解:24x-x 最小值为0,当4x-x 224x-x 最大,即x=2时,2

4x-x 最大为4,

所以,当x=0时,y 最大值为2,当x=2时,y 取最小值为0

4、已知二次函数y=x 2+2x+a (0≤x ≤1)的最大值是3,那么a 的值为 答案:0

解:二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1,当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大,当x=1时最大值为3,代入y=x 2+2x+a 得a=0.

5、如图,在△ABC 中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB 、AC 上分别取点D 、E ,使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分,则这样线段的最小长度 .

三、解答题:

1某产品第一季度每件成本为50元,第二、第三季度每件产品平均降低成本

的百分率为x

⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本;

⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元,试求x 的值

⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于48元,设第三季度每件产品获得的利润为y 元,试求y 与x 的函数关系式,并利用函数图象与性质求y 的最大值(注:利润=销售价-成本)

解:(1)()x -150 ⑵

()5.9501502

-=-x 解得1.0=x (3)(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0φx ,∴2.00≤x π

而()()2

150160x x y ---=

=1040502++-x x =

()184.0502

+--x ∵当4.0≤x 时,利用二次函数的增减性,y 随x 的增大而增大,而2.00≤x π, ∴当2.0=x 时,y 最大值=18(元)

说明:当自变量取值范围为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范围为某一区间时,二次函数的最值应注意下列两种情形:

若抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内,则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.

⑴求二次函数的解析式;

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+PD 最小,求出点P 的坐标;

⑶在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似如果存在,求出点Q 的坐标;如果不