二次函数的最值问题
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典型中考题(有关二次函数的最值)
屠园实验 周前猛
一、选择题
1. 已知二次函数y=a (x-1)2+b 有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关( )
A. ab D 不能确定 答案:C
2.当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( )
A 、-
74 B C 、2或 D 2或或-74
答案:C
∵当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4, ∴二次函数在-2≤x≤l 上可能的取值是x=-2或x=1或x=m.
当x=-2时,由 y=-(x-m )2+m 2+1解得m=-74 ,2
765y x 416⎛⎫=-++
⎪⎝
⎭此时 ,它在-2≤x≤l 的最大值是
65
16
,与题意不符. 当x=1时,由y=-(x-m )2+m 2+1 解得m=2 ,此时y=-(x-2)2+5 ,它在-2≤x≤l 的最大值是4,与题意相符.
当x= m 时,由 4=-(x-m )2+m 2+1解得 m=当m=.它在-2≤x≤l
的最大值是4,与题意相符;当,2≤x≤l 在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符.
综上所述,实数m 的值为2或 . 故选C .
3. 已知0≤x≤
1
2
,那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是( ) A C . D. -6
答案:C
解:∵y=-2x 2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x <2上y 随x 的增大而增大.又∵0≤x ≤
12,∴当x=12时,y 取最大值,y 最大=-2(1
2
-2)2+2=.故选:C .
4、已知关于x的函数.
下列结论:
①存在函数,其图像经过(1,0)点;
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;
③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。
真确的个数是()
A,1个B、2个 C 3个D、4个
答案:B
分析:①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;
②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;
③根据二次函数的增减性,即可作出判断;
④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点
的纵坐标表达式,即可作出判断.
解:①真,将(1,0)代入可得:2k-(4k+1)-k+1=0,
解得:k=0.运用方程思想;
②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;
③假,如k=1,
b5
-=
2a4
,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;
④真,当k=0时,函数无最大、最小值;
k≠0时,y最=
22
4ac-b24k+1
=-
4a8k
,
∴当k>0时,有最小值,最小值为负;
当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.
二、填空题:
1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB 上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是
答案:12
2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为 时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是
答案:4、4,8
解:设直角三角形得一直角边为x ,则,另一边长为8-x ;设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0 ∴当x=4时,S 最大=8. 及两直角边长都为4时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8. 3、函数2y=24x-x (0x 4) -≤≤的最大值与最小值分别是 答案:2,0 解:24x-x 最小值为0,当4x-x 224x-x 最大,即x=2时,2 4x-x 最大为4, 所以,当x=0时,y 最大值为2,当x=2时,y 取最小值为0 4、已知二次函数y=x 2+2x+a (0≤x ≤1)的最大值是3,那么a 的值为 答案:0 解:二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1,当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大,当x=1时最大值为3,代入y=x 2+2x+a 得a=0. 5、如图,在△ABC 中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB 、AC 上分别取点D 、E ,使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分,则这样线段的最小长度 . 三、解答题: 1某产品第一季度每件成本为50元,第二、第三季度每件产品平均降低成本 的百分率为x ⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本; ⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元,试求x 的值 ⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于48元,设第三季度每件产品获得的利润为y 元,试求y 与x 的函数关系式,并利用函数图象与性质求y 的最大值(注:利润=销售价-成本) 解:(1)()x -150 ⑵ ()5.9501502 -=-x 解得1.0=x (3)(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0φx ,∴2.00≤x π 而()()2 150160x x y ---= =1040502++-x x = ()184.0502 +--x ∵当4.0≤x 时,利用二次函数的增减性,y 随x 的增大而增大,而2.00≤x π, ∴当2.0=x 时,y 最大值=18(元) 说明:当自变量取值范围为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范围为某一区间时,二次函数的最值应注意下列两种情形: 若抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内,则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。 2、如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+PD 最小,求出点P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似如果存在,求出点Q 的坐标;如果不