高二上学期期末考试数学(理)试题(及答案)
江苏省徐州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的X围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值X围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为a≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值X围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，f′（x）＜0，f（x）是减函数，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，，∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f （e）≥1．可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，解得a≥．综上：实数a的取值X围为：a≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，某某数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，某某数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值X围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利用向量法能求出AC．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线BC1与AB1所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=60°，∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∴==，解得a=．∴AC=．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值X围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。
广西钦州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．242．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=07．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．22．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过左视图，判断几何体的数据，然后求解侧面积．【解答】解：∵正三棱柱的左视图为：，正三棱柱的底面是正三角形，由图知底面正三角形的高为，∴易求得正三角形的边长为2，∴正三棱柱的侧面积为：2×2×3=12．故选：B．【点评】本题考查三视图侧面积的求法，考查学生的视图能力以及计算能力．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断．B．根据线面平行的判定定理进行判断．C．根据线面垂直的性质定理进行判断．D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．根据线面平行的性质可知，l∥a不一定成立，有可能是异面直线．B．当b⊄α，结论成立，当b⊂α，则结论不成立．C．根据线面垂直和线面平行的性质可知，若a∥α，b⊥α，则a⊥b成立．D．若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，∴结论不成立．故选：C．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直定理的内容及应用．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P 的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程．【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x﹣2y=0；②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y﹣5=0．故选C【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题7．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍【考点】球的体积和表面积．【专题】规律型；空间位置关系与距离．【分析】根据“球的体积V=πr3”进行推导，进而得出结论．【解答】解：设球的半径为r，则原来的体积S=πr3，当半径变为原来的2倍时，即半径为2r，则体积V=π（2r）3=πr3×8，即这个球的体积就变为原来的8倍．故选B．【点评】解答此题要明确球的半径扩大n倍，其周长扩大n倍，面积扩大n2倍，体积扩大n3倍．8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】由幂函数的性质可判断α的取值，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求【解答】解：由幂函数的性质可知，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求∵f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数∴a＞0故选A【点评】本题主要考查了幂函数的单调性的应用，解题中要注意α的符号对函数单调性的影响．属于基础试题9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B⊆A，而集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．故选A【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集，同时要求学生会求一个集合的子集．10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【考点】平面图形的直观图．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断选项的正确性即可．【解答】解：对于A，三角形的直观图仍然是一个三角形，命题A错误；对于B，平行四边形的直观图还是平行四边形，命题B正确；对于C，正方形的直观图不是正方形，应是平行四边形，命题C错误；对于D，菱形的直观图不是菱形，应是平行四边形，命题D错误．故选：B．【点评】本题考查了斜二侧画直观图的应用问题，注意平行x，y轴的线段，仍然平行坐标轴，不平行坐标轴的线段，只看它们的始点和终点，是基础题．12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用三视图的画法，判断选项即可．【解答】解：应用可知几何体的正视图为：．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基础题．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】令x8=16，利用指数知识求得x=，再代入解析式右端求出即可．【解答】解：令x8=16，x8=24=8，解得x=，所以f（16）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数值求解，要对函数的概念及表示方法有准确的理解和掌握．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是b＜a＜d＜c．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】先应用诱导公式化简sin2008°=﹣sin28°，cos2008°=﹣cos28°=﹣sin62°，从而a=﹣sin（sin28°），b=﹣sin（sin62°），c=cos（sin28°），d=cos（sin62°），再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b，c，d的大小．【解答】解：∵2012°=5×360°+208°，∴a=sin（sin2008°）=sin（sin208°）=sin（﹣sin28°）=﹣sin（sin28°）＜0，b=sin（cos2008°）=sin（cos208°）=sin（﹣cos28°）=﹣sin（cos28°）＜0，c=cos（sin2008°）=cos（sin208°）=cos（﹣sin28°）=cos（sin28°）＞0，d=cos（cos2008°）=cos（cos208°）=cos（﹣cos28°）=cos（cos28°）＞0，∵cos28°=sin62°，∴＜sin32°＜＜sin62°，∴c＞d，﹣b＞﹣a，∴b＜a＜d＜c故答案为：b＜a＜d＜c．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性及应用，注意单调区间，同时考查诱导公式的应用，是一道中档题．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．【解答】解：∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，又∵糖水会更甜，∴故答案为：【点评】本题考查生活常识中出现的不等式及运用不等式求解，易错点是得到加糖后糖的质量和糖水的质量．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其对数的运算性质即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列 {log2（a n﹣1）}，（n∈N*）的公差为d．由且a1=3，a3=9，可得：log2（9﹣1）=log2（3﹣1）+2d，∴3=1+2d，解得d=1．∴log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）=n，∴a n=2n+1．（2）由a n=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+n=2n+1﹣2+n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：由题意，的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于又===综上知，从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于故答案为【点评】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应，用代数方法求解物理问题是一个学科之间结合的问题，在近几个的高考改革中，此类问题渐成热点18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．【解答】解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：【点评】本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）设M（x，y）根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．（2）直线l1与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），利用韦达定理可求得x1+x2的表达式，进而求得x0，代入直线方程求得y0，两直线方程联立根据直线l2的斜率求得x=x0，y=y0进而判断出E为CD的中点；（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值X围．【解答】解：（1）设M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M点坐标为（，﹣）（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为k2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点E（﹣，），2°求出直线OE的斜率k2==，3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，4°从而得直线P1P2的方程：y﹣=（x+），5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以+＜1，化简得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值X围是（0，+arcsin）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，得到，然后利用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解（Ⅰ）由a n+1=（1+）a n+，得，∴，，，…，累加得：=．∴；（Ⅱ）=，令，则，=，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用，属基础题．寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）完成频率分布表如下：分组频数频率100～200 20 0.10200～300 30 0.15300～400 80 0.40400～500 40 0.20500～600 30 0.15合计200 1（2）完成频率分布直方图如下：（3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65（4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性转化为求y=sin （x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．【解答】解：y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），要求函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．即求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+，+4kπ]（k∈Z），又x∈[﹣2π，2π]，∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）求得y=sin（﹣x）的递增区间是关键，也是易错点，属于中档题．。
宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2022高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．
【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，
当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，
因为 或 ，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题.
即2个真命题.
故选B
【点睛】本题考查命题的四种形式的真假判断，属于较易题.
2.命题“若 ，则 ”的否命题为（）
A.若 ，则 且 B.若 ，则 或
C.若 ，则 且 D.若 ，则 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 为原命题条件, 为原命题结论,则否命题:若非 则非 ,即可求得答案.
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式 ，得 或 .当 时， 或 成立，原命题成立.当 或 时， 不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.
【详解】因为 ，所以 或 .
因为 或 ，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.
【分析】
首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果.
【详解】由题意可得：
，
回归直线 过样本中心点，
则 ，解得 ，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属于简单题目.
4.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）
江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题-含答案解析
江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知复数z满足z⋅i=1+i(其中i是虚数单位)，则z=______．【答案】1−i【解析】解：由z⋅i=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i．故答案为：1−i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．2.过抛物线y2=4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．【答案】4【解析】解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)，可得：y2=4，解得y=±2．可得：对称轴垂直的弦长为：4．故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.命题“∀x>0，x2+3x+1>0“的否定为______．【答案】∃x∈R，x2+3x+1≤0【解析】解：∵命题“∀x>0，x2+3x+1>0”，∴命题“∀x>0，x2+3x+1>0”的否定为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．命题“∀x∈R，2x2−3x+4>0”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．对命题“∃x∈A，P(X)”的否定是：“∀x∈A，￢P(X)”；对命题“∀x∈A，P(X)”的否定是：“∃x∈A，￢P(X)”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．4.点P(2,0)到双曲线x29−y216=1的渐近线的距离为______．【答案】85【解析】解：双曲线x29−y216=1的渐近线方程为y=±43x，即4x±3y=0，则点(2,0)到4x−3y=0的距离d=√42+(−3)2=85，故答案为：85先求出渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出．本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5. 已知直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)，则其倾斜角为______． 【答案】π3【解析】解：直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)， 消去参数t ，化为普通方程是y −1=√3(x −1)， 则该直线的斜率为√3，倾斜角为π3． 故答案为：π3．把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小． 本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题．6. 已知命题p 为真命题，命题q 为假命题，则在下列命题中：①￢q ；②p ∧q ；③p ∨q 是真命题的有______个. 【答案】2【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题， 则￢q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， 则真命题的是①③，有2个， 故答案为：2根据复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断，根据￢p 与p 真假性相反，p ∧q 同真为真，其他为假，p ∨q 同假为假，其余为真的结论是解决本题的关键．7. p ：“复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”是q ：“m =1”的______条件.(请在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充分必要”选择一个最为恰当的答案填写在横线上) 【答案】充要【解析】解：若复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数，则{m ≠0m2−m=0，即{m ≠0m=1或m=0，得m =1，即p 是q 的充要条件， 故答案为：充要根据纯虚数的定义求出m 的取值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合纯虚数的定义求出m是解决本题的关键．8.已知直线a，b和平面α满足：①a//b，②a⊥α，③b⊥α，若从其中选出两个作为条件，余下一个作为结论，可以得到______个真命题．【答案】3【解析】解：构成的命题有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，若a//b，a⊥α，则b⊥α成立，即①②⇒③是真命题，若a//b，b⊥α，则a⊥α成立，即①③⇒②是真命题若a⊥α，b⊥α，则a//b成立，即②③⇒①是真命题，故可以得到3个真命题，故答案为：3根据条件可以构成三个命题①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，根据空间直线和平面平行和垂直的性质进行判断即可．本题主要考查命题的真假关系，结合空间直线平行于直线平面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9.从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，记取出白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=1)的值为______．【答案】0.6【解析】解：从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，则P(ξ=1)=mn =610=0.6．故答案为：0.6．基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，由此能求出P(ξ=1)．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，则四棱锥A1−EFGH体积为______．【答案】43【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，∴EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，∴四棱锥A1−EFGH体积为：V A1−EFGH =13×d×S正方形EFGH=13×2×√2×√2=43．故答案为：43．推导出EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，由此能求出四棱锥A1−EFGH体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知抛物线y2=16x上任意一点到双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的距离比到左准线的距离大1，则a2=______．【答案】12【解析】解：抛物线y2=16x中，p=8，焦点为F(4,0)，准线方程为x=−4；由题意知双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点为F(4,0)，左准线方程为x=−3，∴c=4，且−a2c=−3，解得a2=12．故答案为：12．利用抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，由题意知双曲线的右焦点坐标与左准线方程，由此求出c和a2．本题考查了抛物线方程与双曲线方程的应用问题，是基础题．12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，则该椭圆的离心率为______．【答案】√5−√2【解析】解：∵以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，∴N(13c,23c)∵PF1+PF2=√(c3−c)2+(2c3)2+√(c3+c)2+(2c3)2=2a．2√2c 3+2√5c3=2a，∴e=ca =√5+√2=√5−√2．故答案为：√5−√2．可得N(13c,23c)，利用PF 1+PF 2=√(c 3−c)2+(2c 3)2+√(c 3+c)2+(2c 3)2=2a.可得2√2c 3+2√5c3=2a ，即可求解．本题考查了椭圆的离心率，属于中档题．13. 在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍. 【答案】3【解析】解：在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G ， 在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13， 所以MN//AB ，AB =3MN ， 所以AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍， 故答案为：3由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13，即MN//AB ，AB =3MN ，即AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，得解． 本题考查了类比推理及线线平行的判定及运用，属中档题．14. 已知椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F ，A 为椭圆在第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆于点B ，连接AO(O 为坐原点)并延长交椭圆于点C ，若S △ABC =3，则点A 的坐标为______． 【答案】(1,32)【解析】解：由题意可得F(1,0)，设AB 的方程为x =my +1， 联立椭圆方程可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2， 由O 为AC 的中点，且△ABC 的面积为3， 可得△ABO 的面积为32，S △ABO =S △AOF +S △BOF =12⋅|OF|⋅|y 1−y 2|=32， 即有|y 1−y 2|=3， 可得36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2=9， 化为9m 4+m 2=0，即m =0，则AB⊥x轴，可得A(1,32)，故答案为：(1,32).求得F(1,0)，)，设AB的方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及完全平方公式，结合题意可得S△ABO=S△AOF+S△BOF=12⋅|OF|⋅|y1−y2|=32，即有|y1−y2|=3，平方.后由韦达定理，解方程可得m=0，可得A的坐标本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共130.0分）15.已知直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．【答案】解：(1)∵直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，∴直线l的普通方程为2x−y−1=0，∵曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−8y+15=0．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=12√64−60=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=|2×0−4−1|√4+1=√5，∴曲线C上的点到直线l距离的最小值为√5−1．【解析】(1)直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=√5，由此能求出曲线C上的点到直线l距离的最小值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．(1)求证：BN//平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.【答案】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB//A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB//A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M//BN.又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN//平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C.【解析】(1)欲证明BN//平面A1MC，只需推知A1M//BN；(2)根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．17.设f(x)=x2−2ax+1，g(x)=sinx．(1)若∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(2)若∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2【答案】解：(1)∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，故x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，①x=0时，1≥0恒成立，故a∈R，②x∈(0,1]时，2a≤x+1对∀x∈(0,1]恒成立，x故2a≤2(当且仅当x=1时“=”成立)，故a≤1，综上，a≤1；]，g(x)=sinx，(2)∵x2∈[0,π2故g(x2)的最大值是1，]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，∵∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2∴∃x1∈(0,1]，使得f(x1)≥1恒成立，即∃x1∈(0,1]，使得x12−2ax1+1≥1恒成立，故∃x1∈(0,1]，使得x1≥2a成立，即2a≤1，解得：a≤1．2【解析】(1)问题转化为x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，通过讨论x的范围，结合不等式的性质求出a 的范围即可；(2)求出g(x)的最大值，问题转化为∃x∈(0,1]，使得x2−2ax+1≥1恒成立，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．18. 设(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．(1)求n ；(2)求最大的系数a i ；(3)是否存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即C n 3=C n 4，则n =7． (2)设(1+2x)7展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，则T r+1=C 7r 2r x r ， 由不等式组{C 7r 2r≥C 7r−12r−1C 7r 2r≥C 7r+12r+1，解得{r ≤163r≥133，且r ∈N ，∴r =5，所以a i =C 7525=672．(3)因为(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，所以a m =C 7m 2m ， 因为a m+2+4a m =4a m+1，所以C 7m+22m+2+4C 7m 2m =4C 7m+12m+1， 所以7!(m+2)!(5−m)!2m+2+47!m!(7−m)!2m =47!(m+1)!(6−m)!2m+1， 由此方程可得：1(m+1)(m+2)+1(6−m)(7−m)=2(m+1)(6−m)， 解得：m =1或4．综上：存在m =1或4，使得a m+2+4a m =4a m+1成立． 【解析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值．(2)展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，列出不等式组求得r 的值，可得最大的系数a i ． (3)假设存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立，解出m 的值，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式，属于中档题．19. (请用空间向量求解)已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点，且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1． (1)求异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值； (2)求面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．【答案】解：(1)在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 所以AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，……………………………………………………………………(2分)又因AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点， 且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1AB =1，AA 1=3，所以D(0,0，0)，E(1,0，2)，C 1(0,1，3)，B(1,1，3)，A(1,0，0)，F(0,1，2)，B 1(1,1，3)，所以EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)，…………………………………………………(4分) 设异面直线EC 1，DB 1所成角为θ,θ∈(0,π2], 所以cosθ=|cos〈EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|−1+1+3|√3√1+1+9=√3311，………………………………(7分) 所以异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值为√3311. ………………………………………………(8分)(2)EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 设平面EB 1C 1的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ ， 则{EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，所以{−x 1+y 1+z 1=0y 1+z 1=0，令z 1=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，……(10分)平面FAD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ ，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，所以{y 2+2z 2=0x 2=0，令z 2=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，…………(12分) 所以cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=|0+2+1|√2√5=3√1010，………………………………………………(14分) 所以面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值为3√1010.………………………(15分) 【解析】(1)推导出AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值．(2)求出平面EB 1C 1的一个法向量和平面FAD 的一个法向量，利用向量法能求出面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望． 【答案】解：(1)乙在前3次投篮中，恰好投进2个球为事件A ，则P(A)=C 32(12)2(1−12)=38；……………………………………(3分)答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为38；………………………………(4分) (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ， 则ξ的取值为0，1，2，3；设前3轮投篮中，甲进球个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3，计算P(X =0)=(1−12)3=18，P(X =1)=C 31⋅12⋅(1−12)2=38， P(X =2)=C 32⋅(12)2⋅(1−12)=38，P(X =3)=(12)3=18；所以P(ξ=0)=(18)2+(38)2+(38)2+(18)2=516，………………………………(6分) P(ξ=1)=2×18×38+2×38×(18+38)=1532，……………………………………(8分) P(ξ=2)=4×18×38=316，………………………………………(10分) P(ξ=3)=2×18×18=132；………………………………………(12分)所以ξ的分布列为； ξ 0 12 3 P5161532316132数学期望为E(ξ)=1532+38+332=1516.………………………………………………(15分) 【解析】(1)利用n 次独立重复实验恰有k 次发生的概率公式计算即可； (2)由题意知随机变量ξ的取值，计算对应的概率值， 写出分布列，再求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．21. 已知点P(1,2)是抛物线y 2=4x 上的一点，过点P 作两条直线l 1与l 2，分别与抛物线相交于异于点P 的A 、B 两点．(1)若直线AB 过点(2,0)且△PAB 的重心G 在x 轴上，求直线AB 的斜率； (2)若直线AB 的斜率为1且△PAB 的垂心H 在x 轴上，求直线AB 的方程．【答案】解：(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)因为△PAB的重心G在x轴上，所以y1+y2=−2，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4my−8=0，所以y1+y2=4m=−2，解得：m=−12，所以直线AB的斜率是−2．(2)若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是y−2=−(x−1)，所以H(3,0)，若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为x=y+t，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4y−4t=0，所以y1+y2=4，y1y2=−4t，且△=16+16t>0，因为BH⊥AP，所以y2x2−3⋅y1−2x1−1=−1(∗)，将x1=y1+t，x2=y2+t代入(∗)得2y1y2+(t−3)(y1+y2)+t2−4t+3=0，将y1+y2=4，y1y2=−4t代入上面方程可得：t2−8t−9=0，由此方程解得：t=9或t=−1(舍)，所以直线AB的方程是x−y−9=0．【解析】(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出，(2)分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．22.已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶点和上顶点，且直线AB的斜率为−√22，右焦点F到直线AB的距离为√6−√33．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=kx+m(m>1)与椭圆交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)∵k AB=ba =√22，∴a=√2b，则b=c，直线AB：bx+ay−ab=0，∴|b−√2b|√3=√6−√33，∴a=√2，b=1．因此，椭圆C的方程为x22+y2=1；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 并整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∴△>0，由韦达定理得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1． ∵k BM +k BN =2kx 1x 2+(m−1)(x 1+x 2)x 1x 2=1，∴(2k −1)x 1x 2+(m −1)(x 1+x 2)=0，∴2k =m +1>2，∴k >1，又∵△>0，∴2k 2>m 2−1，综上所述，0<k <2．因此，实数k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先由直线AB 的斜率得出a =√2b ，于是得出c =b ，再由点F 到直线AB 的距离，得出b 的值，从而可求出a 的值，从而可写出椭圆C 的方程；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由直线BM 、BN 的斜率之和为1，结合韦达定理得出k 与m 所满足的关系式，结合m 的范围，可得出k 的范围，再由△>0，得出k 的另一个范围，两者取交集可得出实数k 的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．23. 已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n 个圆最多可以将平面分成f(n)个部分．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)的表达式并证明；(3)证明：2n ≥f(n)．【答案】解：(1)由已知有：f(3)=8，f(4)=14，(2)f(n)=n 2−n +2下面用数学归纳法证明：①当n =1时，f(1)=12−1+2=2结论成立；②假设n =k 时，结论成立，即平面上k 个圆最多可以将平面分成k 2−k +2个部分，那么当n =k +1时，第k +1个圆与前k 个圆最多有2k 个交点，即此第k +1个圆最多被这2k 个交点分成2k 条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第k +1个圆使平面增加了2k 个区域，所以f(k +1)=f(k)+2k =k 2−k +2+2k =(k +1)2−(k +1)+2，综合①②得：即平面上n 个圆最多可以将平面分成n 2−n +2个部分，即命题得证(3)证明：①当n =1或2或3时，2n −n 2+n −2=0，即2n ≥f(n)，②n ≥4且n ∈N ∗时，设a n =n 2−n+22n ，则a n+1−a n=(n+1)2−(n+1)+22n+1−n2−n+22n=−n2+3n2n+1，设g(n)=−n2+3n=−(n−32)2+94，因为n≥4，所以g(n)≤−42+3×4=−4<0，所以a n+1−a n=−n2+3n2n+1<0所以n≥4时，数列{a n}是单调递减数列，所以a n=n2−n+22n ≤42−4+224=1416<1，所以2n>n2+n−2，综合①②得：2n≥n2+n−2．故不等式得证．【解析】(1)由题意可知：f(3)=8，f(4)=14，(2)猜想f(n)=n2−n+2并用数学归纳法证明可得解：(3)证明：讨论①当n=1或2或3时，2n−n2+n−2=0，②n≥4且n∈N∗时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可本题考查了归纳推理、数学归纳法及数列单调性的证明，属难度较大的题型．。
2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线 ： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
【详解】∵直线方程 可整理为
∴定点为
∵点A在直线 上
∴
∴ ，当且仅当 时取等号
故答案为：
16.过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 和 ，又直线 经过拋物线 的焦点 ，那么 的最小值为_________．
16
【分析】设 ，写出以 为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以 为切点的切线方程，同理求出以 为切点的切线方程，结合 在两条切线上得直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．
【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
9.已知 ， ，若不等式 恒成立，则正数 的最小值是（）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数
相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案
高二年级理科数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点(0,2)-，且与已知直线0x y +=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++=D ．20x y -+=2．若一个圆的标准方程为221)4x y +(-=，则此圆的圆心与半径分别是 A ．1,0)4(-； B ．1,0)2(； C ．0,1)4(-；D ．0,1)2(；3．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则x = A ．2 B ．3 C ．4D ．54．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是 A ．简单随机抽样 B ．先用分层抽样，再用随机数表法 C ．分层抽样D ．先用抽签法，再用分层抽样 5．若x ∈R ，则“44x -<<”是“22x x <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题*1:2p x x x∀∈+R ，…，则p ⌝为 A ．*00012x x x ∃∈+R ，… B ．*00012x x x ∃∈+<R ， C ．*00012x x x ∃∉+<R ，D ．12x x x∀∈+<R ， 7．下列命题正确的是A ．若0a b <<，则11a b<B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若22ac bc >，则a b >8．已知双曲线的上、下焦点分别为120,5)0,5)F F ((-，，P 是双曲线上一点且满足126||PF ||PF ||-=，则双曲线的标准方程为A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．221916y x -=9．已知O e 的圆心是坐标原点O 0y --=截得的弦长为6，则O e 的方程为A ．224x y +=B ．228x y +=C ．2212x y +=D ．22216x y +=10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a b ，分别为39，27，则输出的a = A ．1 B ．3 C ．5D ．711．若两个正实数x y ，满足311x y+=，则3x y +的最小值为A ．6B ．9C ．12D ．1512．直线l 过抛物线220)y px p =(>的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果2|4|PF |QF |==，，M 为RS 的中点，则|MF |=A ．BC ．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
高中数学选择性必修二 北京市昌平区新学道临川学校高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高二数学理科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列 中，若 ， ，则 ＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列通项公式可求得 ，由 可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， .
【详解】抛物线 ( )的准线为： ，
因为准线经过点 ，可得 ，即 ，
所以抛物线为 ，焦点坐标为 ，
故选：B.
11.椭圆 内有一点 过点 的弦恰好以 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设弦的两个端点为 ，
即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过 ，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），
（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积 ×2×1＝1，
故选：C.
2.在等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出 的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【详解】由已知可得 ，由等比中项的性质可得 ，
因此， 与 的等比中项是 .
故选：A.
3.若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线 ： 的右焦点为 ， 由 ,可得直线 的方程为 ， , 设直线 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ，
由 , 解得 （4舍去），
可得 到直线 的距离为 ，
即有 的面积Байду номын сангаас最小值为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝ －4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即 －1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得 ，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得 或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离 简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）
2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．在等比数列{}n a 中，66a =，99a =，则3a 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．169D ．32【答案】B【分析】由等比数列的性质进行求解即可.【详解】由等比数列的性质，2639a a a =⋅，∴3369a =，∴34a =. 故选：B.2．若,,a b c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc > B ．2()0a b c ->C ．11a b＜D ．22a b -<-【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立； 对于B ，若0c ，则不等式不成立； 对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确； 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】C【分析】由已知可求出,,a b c ，即可得出渐近线方程.【详解】因为22,24a c ==，所以1,2,a c b ===C 的渐近线方程为y =. 故选：C.4．已知命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是 A ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0 【答案】C【详解】全称命题的的否定是存在性命题,因为，命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,所以，⌝p 是∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0，故选C. 【解析】全称命题与存在性命题.点评：简单题，全称命题的的否定是存在性命题.5．设0a >，m =n ）. A ．m n < B ．m n =C ．m n >D ．m ，n 的大小不定【答案】A【分析】利用作差法即可比较大小.【详解】由已知m =225m a =++n 225n a =++又因为0,0m n >>，且220n m ->，所以n m >. 故选：A6．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的向量是( ) A ．OA B ．OB C ．OC D ．OA 或OB【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出． 【详解】111()()()222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-，∴OC 与a 、b 不能构成空间基底；故选：C ．7．在ABC 中，若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC 是（ ）. A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将()()3a b c b c a bc +++-=化简并结合余弦定理可得A 的值，再对sin 2sin cos A B C =结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由()()3a b c b c a bc +++-=，得22()3b c a bc +-=，整理得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 又由sin 2sin cos A B C =，得22222a b c a b ab+-=⋅化简得b c =，所以ABC 为等边三角形， 故选：B8．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）.A ．2B ．3C ．8D ．12【答案】C【分析】画出可行域及目标函数，利用几何意义求出最值.【详解】画出可行域，如图所示，当2z x y =+经过点A 时，取得最大值，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，此时2268z x y =+=+=， 故2z x y =+的最大值为8. 故选：C9．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅的值为（ ）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．12【答案】D【分析】在正四面体-P ABC 中，由中点性质可得()12PD PA PB =+，则PD PC ⋅可代换为()12P PA B C P ⋅+，由向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+， ()()1122PD PC P P C P A PB PA P C PC B ⋅=⋅⋅⋅+=+， 由正四面体得性质，PA 与PC 的夹角为60°，同理PB 与PC 的夹角为60°，1PA PB PC ===，111cos602PA PC P PB C ⋅⋅==⨯⨯︒=， 故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭，故选：D.10．命题p ：若1y x <<，01a <<，则11x y a a<，命题q ：若1y x <<，a<0，则a a x y <.在命题①p 且q ②p 或q ③非p ④非q 中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】C【分析】先判断命题,p q 的真假，再根据或、且、非命题的真值表判断真假求解即可. 【详解】命题p 中，01a <<，则指数函数1y x a =单调递增，111x yy x a a <<⇒>，所以p 为假命题，命题q 中，a<0则幂函数y a x =在(0,)+∞上单调递减，由1y x <<，知a a x y <， 所以q 为真命题，所以①p 且q 为假命题 ，②p 或q 为真命题，③非p 为真命题，④非q 为假命题． 故选：C11．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1260F PF ∠=︒，则C 的离心率为（ ）.A ．33B ．13C ．12D ．36【答案】A【分析】()20F c ，，把x c =代入椭圆方程解得y ，可得p y ﹐在12Rt PF F △中，由1260PF F ∠=︒建立等式进而得出结论. 【详解】如图所示，由()20F c ，，212PF F F ⊥，把x c =代入椭圆方程可得 22221c y a b += ，解得 2b y a=±， 取 2P b y a=在12Rt PF F △中，22b PF a =，由1260F PF ∠=︒，∴212b PF a=，由椭圆定义可得22212232b b b PF PF a a a a +=+==，得2223a b =， ∴222212c a b b =-=，则有22223a c =，2213c a =则C 的离心率3c e a ==. 故选：A.12．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n++++=为数列{}n a 的“匀称值”.已知数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，则该数列中的9a 等于（ ） A ．83B ．125C ．2110D ．199【答案】D【分析】由已知得12323(2)n a a a na n n +++⋯+=+，由此推导出21n n a n+=，从而能求出9a . 【详解】解：12323nn a a a na G n+++⋯+=，数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，12323(2)n a a a na n n ∴+++⋯+=+，①2n ∴时，123123(1)(1)(1)n a a a n a n n -+++⋯+-=-+，②①-②，得21n na n =+，21n n a n+∴=，2n ， 当1n =时，113a G ==满足上式，21n n a n+∴=， ∴9199a =． 故选：D二、填空题13．已知向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，()1,,2c x =-，若()a b c +⊥，则x =____________. 【答案】4-【分析】首先求出a b +的坐标，再根据向量垂直得到()0a b c +⋅=，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，()1,,2c x =-，所以向量()2,1,3a b x +=-+，因为()a b c +⊥，所以()0a b c +⋅=，即()()211230x x -⨯+⨯-++=，解得4x =- 故答案为：4-14．已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【答案】{|23}x x <<【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且a<0，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<， 所以不等式20x bx a --< 的解集是{|23}x x <<. 故答案为：{|23}x x <<15．若a ，b ，c 均为实数，试从①2b ac =；②b ③a bb c=中选出“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件的序号______. 【答案】①③【分析】依次判断“a ，b ，c 成等比数列”是否能推出序号中的条件即可.【详解】设1p 为“2b ac =”，2p 为“b ，3p 为“a bb c=”， q 为“a ，b ，c 成等比数列”，由于a ，b ，c 成等比数列，故0a ≠，0b ≠，0c ≠， 若i q p ⇒（1i =，2，3），则i p 是q 的必要条件，对于①，由等比中项的定义，“a ，b ，c 成等比数列”⇒“2b ac =”， ∴“2b ac =”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件，故①正确； 对于②，令1a =，2b =-，4c =，则a ，b ，c 成等比数列，此时“a ，b ，c 成等比数列”“b ，∴“b 不是“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件，故②错误； 对于③，由等比数列的定义，“a ，b ，c 成等比数列”⇒b c a b =⇔a b b c=， ∴“a ，b ，c 成等比数列”⇒“a bb c=”， ∴“a bb c=”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件，故③正确. 综上所述，“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件的序号为：①③. 故答案为：①③.16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点)0My 在抛物线C 上，074y MF =，则MAF △的面积为______.【分析】由抛物线的性质以及07||4y MF =，可得p 的值，进而解出三角形MFA △的面积． 【详解】解：由抛物线的定义及其性质可知，007||24y p MF y =+=，023py ∴=，∴2223p p =⨯， 32p ∴=，即23x y =， 3(0,)4A ∴-，M 1)，3(0,)4F ，∴1322MFAS=⨯，三、解答题 17．求解下列问题： (1)解不等式3521x x->+； (2)已知1a >，0b >，2a b +=，求141a b+-的最小值. 【答案】(1)()(),17,∞∞--⋃+ (2)9【分析】（1）根据分式不等式的求法求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）不等式3521x x->+可化简为701x x ->+， 即()()710x x -+>，解得1x <-或7x >. 故原不等式的解集为()(),17,∞∞--⋃+.（2）∵2a b +=，∴()11a b -+=，且10a ->，0b >，∴()()4114141559111a b a b a b a b a b -⎛⎫+=-++=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭， 当且仅当()411a ba b-=-，即43a =，23b =时等号成立.故141a b+-的最小值为9.18．在ABC sin sin 2C c A =.(1)求角A 的大小；(2)若a =b =ABC 的面积. 【答案】(1)π6A =【分析】(1)根据题意，结合正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解；(2)结合（1）的结论，利用余弦定理求出5c =或1c =，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1sin sin 2C c A =，sin 2sin sin cos A C C A A =，因为,(0,π)A C ∈，所以sin 0A ≠，sin 0C ≠，则有cos A = 又0πA <<，所以π6A =.（2）因为a =b =，由（1）知：π6A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即(2222c =+-⨯， 化简得2650c c -+=，解得5c =或1c =（经检验符合题意），当1c =时，111sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=△当5c =时，111sin 5222ABC S bc A ==⨯⨯=△19．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n+++-++++==++()44n n a n a n +==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.20．已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，C 于()11,A x y ，()()2212,B x y x x <两点，16AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，D 为C 上一点，若OD OA OB λ=+，求λ的值. 【答案】（1）212y x =；（2）0λ=或53λ=.【分析】（1）设直线AB 的方程2p y x⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，由于直线AB 过焦点，故121622A p px x B =++=+，代入即得解；（2）设()33,D x y ，由OD OA OB λ=+，可得)331931x y λλ=+⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程即得解【详解】（1）直线AB 的方程可表示为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线方程22y px =联立可得方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩， 消去y 得22122030x px p -+=，解得16px =，232p x =.由于直线AB 过焦点，故121622A p p x x B =++=+， 得31626p p p ++=，解得6p ， 所以抛物线C 的方程为212y x =.（2）由（1）知()1,23A -，()9,63B .设()33,D x y ，由OD OA OB λ=+，得()()()33,1,239,63x y λ=-+，所以()33192331x y λλ=+⎧⎪⎨=-⎪⎩. 因为点D 在C 上，所以()()212311291λλ-=+，化简得2350λλ-=，解得0λ=或53λ=. 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AF ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，2AD =，21AB AF EF ===，点P 为DF 的中点，请用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：BF ∥平面APC ；(2)求直线DE 与平面APC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)102163【分析】（1）证明BF ⊥平面APC 的法向量m 即可求解；（2）根据线面角的正弦公式带入即可求解.【详解】（1）证明：易知AB ，AD ，AF 两两相互垂直，∴以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，1,0,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1F ，10,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1BF =-，10,1,2AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,2,0AC =， 设平面APC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即10220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，取1y =，解得212x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故平面APC 的法向量为()2,1,2m =--，易知0BF m ⋅=，则BF m ⊥，又BF 平面APC ，∴BF ∥平面APC .（2）1,2,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设直线DE 与平面APC 所成角为θ， 则51021sin cos ,2194DE mDE m DE m θ-⋅====⋅⋅故直线DE 与平面APC 1021. 22．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M 为C 上的动点，其中M 到1F的最短距离为1，且当12MF F △的面积最大时，12MF F △恰好为等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的动直线l 过点2F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，那么，2||PF AB 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）2||PF AB 为定值，证明见解析 【分析】（1）当点M 在椭圆的左顶点时，M 到1F 的距离最短，可得1a c -=，当点M 在椭圆的上顶点（或下顶点）时，12MF F △的面积最大，此时12MF F △为等边三角形，可得2a c =，从而可求出,,a b c ，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）易知直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理，可求得AB 的中点的坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线的方程，令0y =，可求出点P 的坐标，从而可得到2PF 的表达式，然后根据弦长公式AB =，可求出AB 的表达式，从而可求得2||PF AB 为定值，经验证当0k =时，2||PF AB 为相同的定值. 【详解】（1）由题意，当点M 在椭圆的左顶点时，M 到1F 的距离最短，则1a c -=，当点M 在椭圆的上顶点（或下顶点）时，12MF F △的面积最大，此时12MF F △为等边三角形，则2a c =，联立22212a c a c a b c ⎧-=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a c b ===故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）2||PF AB 为定值. 证明：由题意可知，动直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()()2222348430k x k x k +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，()21224334k x x k -=+， 设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+.当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2234k x k =+，即22,034k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以()222223113434k k PF k k +=-=++.AB()2212134k k +=+. 所以()()2222231134||412134k PF k AB k k ++==++. 当0k =时，l 的方程为0y =， 此时，24AB a ==，21PF c ==，21||4PF AB =. 综上，2||PF AB 为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．命题“N,3sin x x x ∀∈>”的否定是（ ） A ．N,3sin x x x ∀∈≤B ．N,3sin x x x ∀∈<C ．000N,3sin xx x ∃∈>D ．000N,3sin xx x ∃∈≤【答案】D【分析】由全称命题的否定的定义即可得出结果.【详解】由全称命题的否定的定义可知，N,3sin x x x ∀∈>的否定为000N,3sin xx x ∃∈≤.故选：D.2．直线0x y -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角.【详解】由0x y -+=得斜率1tan 4k π==，故选：B.3．抛物线236y x =的准线方程是（ ） A ．9y = B ．9y =- C ．9x = D ．9x =-【答案】D【分析】根据抛物线方程()220y px p =>的准线方程为2px =-求解. 【详解】由236y x =得18p =，∴准线方程为92px =-=-， 故选：D4．在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '关于（ ）对称. A ．xOy 平面 B ．yOz 平面 C ．xOz 平面 D ．原点【答案】B【分析】根据空间直角坐标系的定义求解.【详解】因为点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '两点的横坐标互为相反数，其余坐标相等， 所以两点则关于yOz 平面对称， 故选:B ．5．若x ，y 满足约束条件580?2310032110x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,4-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解． 【详解】画出可行域如图，()1,4A ，()2,2B -，()3,1C ，y x 表示点(),x y 与()0,0O 连线的斜率，13OC k =，1OB k =-， ∴y x 的取值范围是(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：C.6．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．260【答案】C【分析】直接运行程序框图即可求解. 【详解】由图可知,初始值2,1S k ==；第一次循环，112,3228k S =+==⨯+=，23k =>不成立； 第二次循环，213,38327k S =+==⨯+=，33k =>不成立； 第三次循环，314,327485k S =+==⨯+=，43k =>成立； 退出循环，输出S 的值为85. 故选：C.7．已知命题p ：直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，命题:3q a =-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】判断命题p 与命题q 间关系可得答案.【详解】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则()233a a a +=⇒=-或1a =， 又当1a =或3a =-时，两直线均不重合，即命题p 等价于3a =-或1a =， 则由命题p 不能得到命题q ，但由命题q 可得命题p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.8．下列命题是真命题的是（ ）A ．“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”的逆否命题B ．“偶函数的图象关于y 轴对称”是特称命题C ．“1x >且1y >”是”2x y +>”的充要条件D ．若0xy ≠，则x ，y 只有一个不为0 【答案】A【分析】根据命题的定义一一判断即可求解. 【详解】A 选项，原命题与逆否命题等价，原命题“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”为真命题， 则逆否命题为真命题，A 正确；B 选项，原命题可改写为“所有偶函数的图象关于y 轴对称”是全称命题，B 错误；C 选项，x >且1y >可得到2x y +>，但2x y +>，如取1,4x y =-=得不到x >且1y >，所以“1x >且1y >”是”2x y +>”的充分不必要条件，C 错误； D 选项，若0xy ≠，则x ，y 都不为0，D 错误. 故选:A.9．若直线20x y m -+=与椭圆22152x y +=交于,A B 两点，且AM MB =，则点M 的坐标可能是（ ）A ．11,210⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(5,1)-C ．11,210⎛⎫⎪⎝⎭D ．(5,1)【答案】A【分析】利用中点弦问题的点差法求解. 【详解】因为AM MB =，所以M 为AB 中点， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，因为,A B 在椭圆上，所以22112222152152x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()052x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()1212121225y y y y x x x x +-=-+-，即25OM AB k k ⋅=-，因为直线20x y m -+=过点,A B ，所以2AB k =， 所以0015OM y k x ==-，经检验C 、D 不满足0015y x =-， A 、B 选项均满足0015y x =-，但(5,1)-在椭圆外，不符合条件，故选：A.10．已知直线()100,0x my n m n ++-=>>与圆()2219x y +-=相交于A ，B 两点，且AB 的长度始终为6，则4n mmn+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9【答案】D【分析】由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，结合基本不等式即可求解. 【详解】圆()2219x y +-=的圆心()0,1，半径为3，由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，而0,0m n >>，所以()4141441559n m m n m n mn m n m n n m +⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯+=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4m nn m=且1m n +=，即12,33m n ==时等号成立.故选：D.11．已知动点P 在双曲线22215x y a -=的右支上，过点P 作圆22:1C x y +=的切线，切点为M ，切线长|PM | ）A ．32B ．52C D 2【答案】A【分析】由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，即可求出,a c 进而求出离心率.【详解】解：由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，当|OP |取得最小值时，P 为双曲线右顶点（a ，0），则2a =，则2223459,3,2c c a b c e a =+=+====. 故选：A.12．已知直线1x my =+与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，M 为抛物线上一动点，OM 与线段AB 交于点N ，且3OM ON =，则ABM 面积的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】A【分析】联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长AB ，进而求出ABOS，由3OM ON =，得2ABMABO SS =△，根据表达式求出最值即可．【详解】由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，2(4)160m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y y y m =-+=，()241AB m =+，O 到直线1x my =+的距离d =，∴12ABO S AB d =⨯⨯=△∵3OM ON =，∴2ABM ABO S S ==△△ ∴当0m =时，ABM S △取最小值4． 故选：A ．二、填空题13．双曲线22152x y -=的实半轴长为___________.【分析】根据实半轴定义求解.【详解】由题可得25a =，所以a =所以实半轴长为a =故答案为:14．粮食安全是国之大者，解决吃饭问题，根本出路在科技.某科技公司改良试种了A ，B ，C 三类稻谷品种，今年秋天分别收获了A 类稻谷1200株，B 类稻谷1500株，C 类稻谷2100株.现用分层抽样的方法从上述所有稻谷中抽取一个容量为320株的样本进行检测，则从B 类稻谷中应抽取的株数为___________. 【答案】100【分析】先求出A 、B 、C 株数之比，然后按比例抽取.【详解】A 、B 、C 株数之比为457：：，则B 类抽取的株数为532010016⨯=. 故答案为：10015．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：则表中a 的值为___________. 【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解. 【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.三、双空题16．已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MB MA -=，(N ，则MNB 周长的最小值为______，此时点M 的坐标为______.【答案】 10 54⎛- ⎝⎭【分析】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹方程，根据双曲线定义及三点共线求得MNB 周长的最小值，将直线AN 的方程代入双曲线方程可求得M 的坐标．【详解】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，则2,1,c a b ===M 的轨迹方程为()22103y x x -=<，∵4NB =，∴MNB 的周长最小时，MN MB +最小，2MN MB MN MA +=++，又4MN MA AN +≥=，当且仅当N ，M ，A 三点共线且M 在线段AN 上时，等号成立， ∴MNB 的周长为24610MN MB NB MN MA AN ++=+++≥+=，直线AN 的方程为)2y x =+，将其代入到2213y x -=，化简得：441x --=，54x =-，则524y ⎫-+=⎪⎭，M 的坐标为54⎛- ⎝⎭.故答案为：10，54⎛- ⎝⎭.四、解答题17．已知直线1:20l x y -+=和2:0l x y +=相交于点P .(1)若直线l 经过点P 且与3:220l x y +-=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线l '经过点P 且与4:2310l x y --=平行，求直线l '的方程. 【答案】(1)230x y -+= (2)2350x y -+=【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，设l 的方程为20x y m -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数m 的值，即可得解；（2）依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数n 的值，即可得解；【详解】（1）解：由200x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以1:20l x y -+=与2:0l x y +=的交点P 为()1,1- 设与3:220l x y +-=垂直的直线l 的方程为20x y m -+=， 将()1,1P -代入20x y m -+=，即()2110m ⨯--+=解得3m =， 则l 的方程为230x y -+=；（2）解：依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入230x y n -+=，即()21310n ⨯--⨯+=解得5n =， ∴l '的方程为2350x y -+=.18．成都电视台在全市范围内开展创建全国文明典范城市知识竞赛，随机抽取n 名参赛者的成绩统计如下表：成绩分组 频数 频率[)50,60 10 0.10[)60,70 25a[)70,80 35 0.35[)80,90b0.20[]90,100100.10(1)请求出n ，a ，b 的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这n 名参赛者成绩的中位数和平均值（结果均保留一位小数） 【答案】(1)100n =，0.25a =，20b =，频率分布直方图见解析 (2)中位数为74.3，平均值为74.5【分析】（1）根据频率计算公式求出n ，a ，b 的值，进而画出频率分布直方图；（2）由中位数左边和右边的直方图的面积相等，求出中位数；由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均值. 【详解】（1）由[)70,80组数据可得：351000.35n ==， 则250.25100a ==，1000.220b =⨯=， 画出频率分布直方图如图，（2）设中位数为x ，则()0.10.250.035700.5x ++⨯-=，解得74.3x ≈， 平均值为550.1650.25750.35850.2950.174.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19．已知m ∈R ，命题p ：[]0,2x ∀∈，22m x x ≤-，命题q ：()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立. (1)若p 是真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范围. 【答案】(1)1m ≤- (2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据恒成立的思想可知()2min 2m x x ≤-，由二次函数最值可求得结果；（2）根据基本不等式可求得44x x+≥，由能成立的思想可知4m ≥时；由题意可知,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况即可.【详解】（1）若p 是真命题，则22m x x ≤-在[]0,2上恒成立， ∵()22211x x x -=--，[]0,2x ∈，∴当1x =时，()2min 21x x -=-，∴1m ≤-；（2）对于q ，当0x >时，4424x x x x +≥⋅=，当且仅当2x =时取等号， 若()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立，只需4m ≥即可，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 和q 一真一假，当p 真q 假时，114? m m m ≤-⎧⇒≤-⎨<⎩， 当p 假q 真时，144? m m m >-⎧⇒≥⎨≥⎩综上，m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.20．已知直线:30l x y λλ+--=和圆22:6210C x y x y +--+=(1)证明：无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；(2)若l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）注意到直线l 过定点，再证该定点在圆C 内部即可；（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，即可得答案.【详解】（1）()130：l λx y -+-=，恒过点M （1，3），22:6210C x y x y +--+=化简为()()22319：C x y -+-= 将M （1，3）代入圆的方程得()()2213319-+-<，则M （1，3）在圆内，∴无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；..（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，则CM ==C 半径r 为3，得22AB ==⨯=.21．已知动点M 到点()1,0F 的距离等于它到直线=1x -的距离，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求动点M 的轨迹方程C ；(2)已知()2,0A -，()0,1B ，过点B 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，求PAB 的面积.【答案】(1)24y x =(2)1或18或12【分析】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，则2p =，即可得出答案；（2）分三种情况讨论：①当l 斜率不存在时；②当l 斜率为0时；③当l 斜率存在且不为0时，根据题意求出点P 坐标，即可得出PAB 的面积.【详解】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，故2p =，动点M 的轨迹方程C ：24y x =；（2）①当l 斜率不存在时，点P 与原点()0,0O 重合，12112PABS =⨯⨯=； ②当l 斜率为0时，直线l ：1y =与抛物线C ：24y x =交于点1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111248PAB S =⨯⨯=△； ③当l 斜率存在且不为0时，设l ：()10y kx k =+≠，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，得：()222410k x k x +-+=，① 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，则()22Δ24416160k k k =--=-=，解得1k =，将1k =代入①可得2210x x -+=，解得1x =，此时解得()1,2P ， 直线AP ：()20212y x -=++，即()223y x =+， 则直线AP 与y 轴交于点40,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故111112123232PAB BQA BQP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△. 综上，PAB 的面积为：1或18或12． 22．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点()2,0A -，斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P ，Q 均异于点A ），且满足()3AP AQ k k k +=-，设点A 到直线l 的距离为d ，若d λ<恒成立，求实数λ的最小值.【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）根据题意求出,,a b c ，写出椭圆方程即可；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理与()3AP AQ k k k +=-得,m k 的关系，可得直线l 恒过点()1,0B -，则1d AB <=，即可得出答案．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为()21,0F ，∴1c =，∵椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，∴2a =，∴b =∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=. （2）设直线l 的方程为y kx m =+， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：()()222438430k mk m x x +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122843mk x x k -+=+，()21224343m x x k -=+ ()121212122222AP AQ y y kx m kx m k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫++∴+=+=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212121222424kx x k m x x m k x x x x ++++=+++()()()2222224382244343438244343m mk k k m m k k k m mk k k --⋅+++++=--+⋅+++2221224341616mk k m mk k -==--+， 化简得：22032m mk k -+=，即()()20m k m k --=，则2m k =或m k =， 当2m k =时，()22y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()2,0A -，不合题意， 当m k =时，()1y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()1,0B -，此时点A 到直线l 的距离1d AB <=，∵d λ<恒成立，∴λ的最小值为1.。
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈工大附中2021~2022学年度第一学期期末考试试题高二理科数学一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部.【详解】，所以，的虚部为，故选：C.2. 已知直线和直线互相平行，则等于（ ）A. 2 B. C. D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得，即可求出.【详解】显然时，两直线不平行，不符合，则，解得.经检验满足题意故选：C.3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ）① 若 ，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则13i1iz +=-z 122-1-z z ()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+12i z =--z 2-10x ay +-=410ax y ++=a 2-2±1141a a -=≠0a =1141a a -=≠2a =±,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂//,//m n βα//αβm β⊥αβ⊥//αβ//,//m n βααβ⊥,m n βα⊥⊥A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.故选：C.4. 已知双曲线：（的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果．【详解】∵双曲线的离心率，∴．又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A,m n C 22221x y a b-=0,0a b >>C 2y x =±y =12y x =±y x=±2b a =22220x y a b-=b y x a =±c e a ===2ba=22220x y a b-=b y x a =±22221x y a b-=0,0a b >>b y x a =±2y x =±5. 已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a 和纵截距b，面积为．【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为．令，得；令，得．故所求三角形的面积为．故选：B6. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）A. B. 椭圆的焦距为C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A 错误；2()e (1)x f x x =++()y f x =(0,(0))f 12231212ab ()()()02e 21xf f x x '＝，＝＋＋()03f '＝32y x ＝＋0x ＝2y ＝0y ＝23x -＝1222233⨯⨯＝22191x y k k +=--C ()1,9k ∈C C x ()1,5k ∈C x ()5,9k ∈90k ->10k ->91k k -≠-()()1,55,9k ∈焦点在轴上时，，解得，D 错误，C 正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C7. 已知抛物线的焦点为F ，准线为，过点F与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作于点N ，连接交抛物线C于点Q ，则（ ）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线，得 ，则，与抛物线联立得，即，解得x 910k k ->->()1,5k ∈x ()291102c k k k =---=-y ()219210c k k k =---=-2:2(0)C y px p =>l l 'MN l ⊥NF ||||=NQ QF MF M 2M pMN NF MF x ∴===+FQ ||||NQ QF 2:2(0)C y px p =>(,0)2pF :)2p MF y x =-22y px =22122030x px p -+=()()6230x p x p --=3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=， 又则为等边三角形，，由抛物线的对称性可得，故选：D.8. 若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为（ ）A. 0B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的（ ）60NMF ︒=∴∠MN MF=NMF V 22M pMN NF MF x p ∴===+=60OFA NFO ︒=∠=∠ 6Q A p x x ==24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=2ln y x x =-1y x =-121y x =- P 2ln y x x =-()1,,2(0)P x y y x x x∴=->'121y x x'=-=x =12x =-1x ∴=1y x =-()1,1P P 1y x =-min d ()y f x =A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f （x ）单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC.10. 已知曲线：，则（ ）A. 时，则的焦点是，B. 当时，则的渐近线方程为C. 当表示双曲线时，则的取值范围为D. 存在，使表示圆()1,3-()y f x =()3,5()y f x =()y f x =5x =()y f x =0x =()y f x =1x <-()0f x '<()f x 13x -<<()0f x '>()f x 35x <<()0f x '<()f x 5x >()0f x '>()f x (),1-∞-(3,5)(1,3)-(5,)+∞()f x 1x =-5x =3x =C 22142x y m m+=-+2m =C (1F (20,F 6m =C 2y x =±C m 2m <-m C【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D 选项，求出曲线表示圆时m 的值.【详解】当时，曲线：，是焦点在y 轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A 正确；当时，曲线：，是焦点在在y 轴上的双曲线，则的渐近线为，B 正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C 错误；当，即时，，表示圆，D 正确故选：ABD11. 已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（ ）A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】由给定条件判断圆O 与圆M 的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，，，于是得圆O 与圆M 相交，圆O 与圆M 有两条公切线，A 正确；由得：，则直线的方程为，B 正确；圆心O 到直线：的距离，则，C 不正确；m C ()()420m m -+<C 2m =C 22124x y +=2422c =-=(1F(20,F6m =C 22182-=y x C2yx =±C ()()420m m-+<4m>2m <-42m m -=+1m =223x y +=22:4O x y +=22:4240M x y x y +-+=+A B AB 24y x =+AB 65O E M F EF 3+22:4O x y +=(0,0)O 12r =22:(2)(1)1M x y ++-=(2,1)M -21r =||OM ==1212||r r OM r r -<<+222244240x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩4280x y -+=AB 24y x =+AB 240x y -+=d ==||AB ===，当且仅当点E ，O ，M ，F 四点共线时取“=”，如图，因此，当点E ，F 分别是直线OM 与圆O 交点，与圆M 交点时，，D 正确.故选：ABD12. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）A. 若，则；B. 若，则满足题意的点有四个；C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20；D. 若为钝角三角形，则；【答案】BCD 【解析】【分析】由题可得，，结合选项利用面积公式可得可判断ABD ，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.【详解】∵椭圆：，∴，∴，设，则，，若，则，所以不存在，故A错误；12||||||||||||||3EF EO OF EO OM MF r OM r ≤+≤++=++=+E 'F 'max ||3EF =C 221169x y +=P 1F 2F 12F PF θ∠=12PF F △S S 9=90θ=︒3S =P C 12PF F △S ⎛∈ ⎝4,3a b ==c =11(,)P x y 1y C (4cos ,3sin )(02πααα<<C 221169x y +=4,3a b ==c =12128,PF PF F F +==11(,)P x y 12112S F F y =⋅⋅13y ≤S 9=13y =>12PF F △若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C 正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时当为钝角三角形时，，所以，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 椭圆：的离心率为_____﹒【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求解即可﹒【详解】∵椭圆为，∴，∴﹒﹒14. 已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.3S =11y y ==1x =P C (4cos ,3sin )(0)2πααα<<C 4(4cos 3sin )20sin(),αααϕ+=+43sin ,cos 55ϕϕ==02πα<<(,)2παϕϕϕ+∈+C (20sin(),20sin ]22ππϕ+(12,20]θ12PF F ∠12PF F ∠194y =12112S F F y =⋅⋅=12PF F △194y <S ⎛∈ ⎝C 22132y x +=22132y x +=1a c ===c e a ==()4,9A ()6,3B AB【答案】【解析】【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标，且由题意可知，进而根据向量的坐标运算求出，再根据向量的数量积求得，从而可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，抛物线的焦点坐标，且，由于是抛物线上一点，则，，，，且，解得：，所以的取值范围是.故答案为：.()()225610x x -+-=AB 2AB ()4,9A ()6,3B AB ()5,6AB ==()()225610x x -+-=()()225610x x -+-=()00,M x y 24y x =F ()1,0P -0MF MP ⋅< 0x )2⎡-⎣()1,0F ()200040y x x =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→=--=---200410MF MP x x →→⋅=+-<0x 24y x =()1,0F()1,0P -()00,M x y 24y x =()200040y xx =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-0MF MP →→⋅< 200410x x ∴+-<00x ≥002x ≤<-0x )2⎡-⎣)2⎡-⎣16. 已知函数，若，且恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.【详解】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.所以恒成立，即，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）17. 在中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若，的面积为，求.1ln ,1(){11,122x x f x x x +≥=+<12x x ≠()()12122,2f x f x x x a +=+-≥12ln 2a ≤-121x x <<12()()2f x f x +=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>()g x 1≥x ()f x min ()(1)1f x f ==1x <()1f x <12x x <121x x <<1212121113()1(ln ln 2222)2f x f x x x x x +=+++=++=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>22()1x g x x x+'-=-=12x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x min ()(2)g x g ==12ln2232ln2-+=-12x x +32ln2-122x x a +-≥122a x x ≤+-12ln 2a ≤-12ln 2a ≤-ABC V ,,A B C ,,abc cos sin C c B =C 2b =ABC V c【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），进而得在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】，，因为，，即因为，所以.小问2详解】解：因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.18. 1.已知圆：，其中．（1）如果圆与圆外切，求的值；（2）如果直线与圆相交所得的弦长为的值．【答案】（1）20 （2）8【解析】【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.【3C π=c =cos sin sin B C C B =tan C =8ab =2b =4a =cos sin C c B =cos sin sin B C C B =()0,,sin 0B B π∈≠sin C C =tan C =()0,C π∈3C π=ABC V 3C π=1sin 2S ab C ===8ab =2b =4a =2222201cos 2162a b c c C ab +--===c =c =C 22(3)(4)36x y m -+-=-m ∈R C 221x y +=m 30x y +-=C m C 30x y +-=m【小问1详解】圆的圆心为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，【小问2详解】圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1求参数a ，再根据直方图求均值.C ()3,4C 221x y +=1=+20m =C 30x y +-=d 222d =-8m =x [)50,60[)60,70[)80,90[)80,9074710（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】根据频率分布直方图得：∴，根据频率分布直方图得：，【小问2详解】由，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析[)50,60[)60,70[)80,90()0.0050.0120.045101a +++⨯=0.02a =()550.01650.02750.045850.02950.00510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯74=[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60a [)60,70b c [)80,90A B(),a b (),a c (),a A (),a B (),b c (),b A (),b B (),c A (),c B (),A B [)80,90710P =P ABCD -ABCD PA ⊥,60ABCD ABC ∠= E BC F PC AEF ⊥PAD 2PA AB ==AEF CEF（2）【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，所以平分，所以，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为，所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，因为，则，即，取，则，，所以，又因为，则，即，取，则，所以，所以AE AD ⊥PA AE ⊥AE ⊥PAD ABCD 60ABC ∠=︒ABC AE BAC ∠()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒AE AD ⊥PA ⊥ABCD PA AE ⊥PA AD A ⋂=AE ⊥PAD AE ⊂AEF AEF ⊥PAD 2PA AB ==())())0,0,0,,0,0,2,,A EP C1,12⎫⎪⎪⎭F AEF ()1111,,n x y z = EFC ()2222,,n x y z =)1,,12AE AF ⎫==⎪⎪⎭，01100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020y z =++=12y =10x =11z =-()10,2,1n =-()10,1,,,12EC EF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭0 2200EC n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩22x =220,y z ==(2n =u u r121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为21. 已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用是椭圆上一点，满足轴，．列出方程组，求出，即可得到椭圆方程．（2）由（1）可知，设直线为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到，从而得到，再根据，即可得到，再利用基本不等式求出最值即可；【小问1详解】()2222:10x y C a b a b+=>>O 12,F F P C 2PF x ⊥212PF =C C C 1F x l ,A B 2ABF V 2214x y +=12P C 2PF x ⊥21||2PF =a b 28ABF C =V l x my =-()11,A x y ()22,B x y 12y y -2121212ABF S F F y y =⋅-V 2182ABF S R =⨯⨯V R =解：由题意是椭圆上一点，满足轴，所以，解得所以．【小问2详解】解：由（1）可知，，设直线为，消去得，设，，则，所以所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；22. 已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当函数有两个极值点，，且.证明：P C 2PF x ⊥21||2PF =222212c a b a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2214x y +=()1F 222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==V l x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩x ()22410m y +--=()11,A x y ()22,B x y 12y y +=12214y y m -=+12y y -===2121212ABFS F F y y =⋅-=V R 2182ABF S R =⨯⨯V R =t =12R ==≤=3t t =t =m =m =R 12()21ln 2f x x ax x =-+-a R ∈1a =()f x 1x =()f x ()f x 1x 2x 12x x <()()124213ln 2f x f x -≤+【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据一元二次方程根判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；（3）根据极值定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质， 新函数的单调性进行证明即可.【小问1详解】当时，.∴.，..∴在处的切线方程.小问2详解】的定义域.；①当时，即，，此时在单调递减；②当时，即或，（i ）当时，∴在，单调递减，在单调递增.（ii ）当时，的的【2230x y +-=1a =()21ln 2f x x x x =-+-()11f x x x'=-+-()'11f =-()111221f =-+=()()11122302y x x y -=--⇒+-=()f x 1x =2230x y +-=()f x ()0,∞+()211x ax f x x a x x-+'=-+-=-240a -≤22a -≤≤()0f x '≤()f x ()0,∞+240a ->2a >2a <-2a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()f x 2a <-∴单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，有两个极值点，，且满足：，由题意知，.∴令.则.在单调递增，在单调递减.∴.即.在()f x ()0,∞+2a ≤()f x ()0,∞+2a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()fx 2a >()f x 1x 2x 12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩1201x x <<<()()221211122211424ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫-=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+()()221112122122244ln 22ln x x x x x x x x x x =-++-+-++2222226ln 2x x x =-++()()2226ln 21g x x x x x=-++>()3462g x x x x'=--+=()g x ()+∞()2max 213ln 2g x g==-++=+()()124213ln 2f x f x -≤+。
四川省成都市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1）2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A． 10 B． 21 C． 35 D． 463．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（） A．﹣2 B． 2 C．﹣ D．4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 105．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=06．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（）A．++ B．++ C．++ D．﹣﹣8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC． l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 410．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．17．（12分）（2014秋•某某期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 218．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．19．（12分）（2014秋•某某期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x ﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．20．（13分）（2014秋•某某期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．21．（14分）（2014秋•某某期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），故选：A．点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题．2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A． 10 B． 21 C． 35 D． 46考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．解答：解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，故选：C．点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（） A．﹣2 B． 2 C．﹣ D．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案．解答：解：∵A（﹣1，2），B（1，3），∴，又直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为．故选：D．点评：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题．4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值．解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当x=2时，y=2×（2+1）=6．故选：B．点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题．5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=0考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选：A．点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＞R+r得到两圆的位置关系为相离．解答：解：由圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，化为（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心C1（﹣1，2），R=2圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，﹣1），r=1，∴两圆心间的距离d==5＞2+1，∴圆C1和圆C2的位置关系是相离．故选：B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（）A．++ B．++ C．++ D．﹣﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．解答：解：，，，∴=+=．故选：C．点评：本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则，属于基础题．8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC． l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，α∩β=l，m与α，β所成角相等，当m∥α，β时，m∥l，得不到l⊥m；对于B，α⊥β，l⊥α，得到l∥β或者l⊂β，又m∥β，所以l与m不一定垂直；对于C，l，m与平面α所成角之和为90°，当l，m与平面α都成45°时，可能平行，故C错误；对于D，α∥β，l⊥α，得到l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；故选D．点评：本题考查了直线垂直的判断，用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理，熟练运用相关的定理是关键，属于中档题目．9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：举例说明①错误；由点到直线的距离公式求得（0，0）到直线的距离判断②；求出三角形面积公式，结合三角函数的有界性判断③；由②说明④正确．解答：解：直线l：xsinα﹣ycosα=1，当α=时，直线方程为：x=﹣1，直线的倾斜角为，命题①错误；∵坐标原点O（0，0）到直线xsinα﹣ycosα=1的距离为，∴无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，命题②正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S=≥1，故③正确；∵无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，∴④正确．∴正确的命题是3个．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的值域等，是中档题．10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有θ的三角函数求得最值．解答：解：如图，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，则（0），过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，则HG=CH﹣CG=asinθ﹣bcosθ，∴d=|AB|====．∴当，即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值．故选：B．点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：直接利用空间两点间距离公式求解即可．解答：解：空间直角坐标系中，P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段|PQ|==．故答案为：．点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为20 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据题意，求出抽取样本的比例，计算抽取的人数即可．解答：解：根据题意，得；抽样比例是=，∴在35～50岁年龄段应抽取的人数为400×=20．故答案为：20．点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x≤4，输出y的值为4．解答：解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x≤4，x=2，y=2满足条件x≤4，x=4，y=3满足条件x≤4，x=8，y=4不满足条件x≤4，输出y的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有 4 条．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：作出正方体，利用正方体的空间结构，根据异面直线的定义进行判断解答：解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与A1B异面而且夹角为60°的有：AC，AD1，CB1，B1D1，共有4条．故答案为：4．点评：本题考查异面直线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的概念．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：①•（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，可得⊥（﹣）；②当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，即可判断出正误；③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，可得OD⊥CD，可得AC=1=OC=OA，可得θ=60°，即可判断出正误；④补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，可得OM=，OP=，MP=．即可得出动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆．解答：解：①∵•（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，∴⊥（﹣），正确；②当时，直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，因此不正确；③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，∴OD⊥CD，又OD=DA==CD，∴AC=1=OC=OA，则θ=60°，正确；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，OM==，∵向量与++（即与）的夹角的余弦值为，∴=，∴=．∴动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆，因此正确．其中，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）只要证明MP∥BD，NP∥DD1，利用面面平行的判定定理可证；（Ⅱ）由已知容易得到NP⊥底面ABCD，利用射影定理，只要证明MP⊥AC即可．解答：证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，∴MP∥BD，NP∥DD1，∴平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，∴NP⊥底面ABCD，∴MN在底面ABCD的射影为MP，∵M，N是AB，A1D1的中点，∴MP∥BD，又BD⊥AC，∴MP⊥AC，∴MN⊥AC．点评：本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用．17．（12分）（2014秋•某某期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 2考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率、频数与样本容量的关系，结合频率分布直方图中小矩形的高，求出a、b的值；（2）求出该年级中男生身高不低于170cm的频率，计算对应的频数即可．解答：解：（1）身高在[160，165）的频率为=0.15，∴==0.03，即a=0.03；身高在[170，175）的频率为=0.25，∴==0.05，即b=0.05；（2）该年级中男生身高不低于170cm的频率为0.25+0.036×5+0.02×5+0.004×5=0.55，∴估计该年级中男生身高不低于170cm的人数是1000×0.55=550．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．考点：平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A1（0，0，z），得到•=4﹣=0，解出即可．（Ⅱ）分别求出，，的坐标，设平面A1EF的法向量=（x，y，z），得到方程组，求出一个，从而求出直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：，∴C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），设A1（0，0，z），则E（0，2，），B1（0，2，z），∴=（﹣1，2，z），=（0，2，﹣），∴•=4﹣=0，解得：z=2，∴||=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=（0，0，2），=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣），设平面A1EF的法向量=（x，y，z），∴，令z=2，∴=（3，，2），设直线AA1与平面A1EF所成的角为θ，∴sinθ===．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，考查了线面角问题，是一道中档题．19．（12分）（2014秋•某某期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x ﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．考点：直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（Ⅰ）直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，可得，即可得出直线l1恒过定点，及该点的坐标；（Ⅱ）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1．解答：（Ⅰ）证明：直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，∴，∴x=y=﹣2，∴直线l1恒过定点D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）解：l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2联立可得交点坐标C（1，﹣1），求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1，∵|CD|==，∴|AB|的最小值为2=2．点评：本题考查直线l1恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20．（13分）（2014秋•某某期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．解答：解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC∵△PAB为边长为2的正三角形，∴PO⊥AB又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB∴PO⊥平面ABCD，又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC∴AB⊥平面POC又∵OC⊂平面POC∴AB⊥OC以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，则A（﹣1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），B（1，0，0），∵PD=3PE，∴E（，，）则=（2，0，0），=（，﹣，），则||=，则cos＜，＞===﹣，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为．（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），∵=（1，，0），=（0，﹣，），∴由，即，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），平面ABCD的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===，故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．21．（14分）（2014秋•某某期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由P在圆上，且•=0，可知直线l过圆心O，由此求出b的值；（2）由|AB|=2得到原点O到直线l的距离，再由面积为得另一关于k和b的等式，联立方程组求得满足条件的k值；（3）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，由|PA|•|PB|=4得到A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到直线l的斜率和截距的关系，由点到直线的距离公式求出P到直线l的距离为定值，由此可得存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．解答：解：（Ⅰ）∵点P（0，2）在圆C：x2+y2=4上，且直线l：y=kx+b与圆C交于A，B 两点，当•=0时，，∴直线l过圆心O（0，0），则b=0；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过原点O，不妨设k＞0，b＞0，由|AB|=2，得，①取x=0，得y=b，取y=0，得x=﹣，∴，②联立①②解得：或k=，由对称性可得满足条件的直线l的斜率的值为或；（Ⅲ）联立，消去y，得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵|PA|•|PB|=4，∴，∴=16，即（2﹣y1）（2﹣y2）=1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+3=0，则（kx1+b）（kx2+b）﹣2（kx1+b+kx2+b）+3=0，k2x1x2+（kb﹣2k）（x1+x2）﹣4b+3=0，∴k2•+（kb﹣2b）•（﹣）﹣4b+3=0．化简得：化简得k2=b2﹣4b+3，即k2+1=（b﹣2）2，∴．∵点P（0，2）到直线l：y=kx+b的距离d==1，∴存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．点评：本题考查了平面向量的应用，考查了直线与圆的位置关系，考查了定值的应用问题，综合性强，属难题．。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥m D ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线l ：x ＋y －7＝0上任意一点，过点P 作两条直线与圆C ：()2214x y ++=相切，切点分别为A ，B .则｜AB ｜的最小值为（ ）A ．14B ．142C ．23D ．3【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，||AB 的值最小，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，进而可求此时||14AB =【详解】圆C 是以(1,0)C -为圆心，2为半径的圆，由题可知，当ACP ∠最小时，||AB 的值最小. ||2cos ||||AC ACP PC PC ∠==，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，ACP ∠最小，点C 到直线l 的距离|8|422d -==，故当||42PC =时，cos ACP ∠最大，且最大值为24，此时||||14sin 2||44AB AB ACP AC ∠===，则||14AB =.故选：A12．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ，下列命题错误的是（ ）A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值 B ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD EC ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值D ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面1EBD 【答案】D【分析】由111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+结合线面平行的定义，即可判断选项A ，由线面垂直的判定定理即可判断选项B ，由面面平行的性质和对称性，即可判断选项C ，由特殊位置即可判断选项D.【详解】对A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，又11//CC BB ，1CC ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，所以1//CC 平面11BB D ，同理1//AA 平面11BB D ，所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值，则四棱锥11B BED F -的体积为定值，故选项A 正确；对于B ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形，所以11B D BD ⊥，由DC ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，所以DC BE ⊥，若1BE B C ⊥，则1B CDC C =，1,B C DC ⊂平面1B DC ，所以BE ⊥平面1B DC ，由1B D ⊂平面1B DC ，所以1B D BE ⊥，又11,,BD BE B BD BE ⋂=⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ，故B 正确；对于C ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故选项C 正确.对于D ，当E 点在C 处时，对于AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交，故选项D 错误. 故选：D二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=.故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||AB =所以圆心到直线的距离为d ===,=1k =±， 故答案为：1±.15．已知E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，过A 、C 、E 三点作平面α与平面1111D C B A 相交，交线为l ，则直线l 与1BC 所成角的余弦值为______. 【答案】12【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可 【详解】因为过,,A C E 三点的平面α与平面1111D C B A 相交于l ， 平面α与平面ABCD 相交于AC ，平面1111D C B A 与平面ABCD 平行， 所以//l AC ,又11//A C AC ，故11//AC l所以直线l 与1BC 所成的角就是直线11A C 与1BC 所成的角， 也即是11AC B ∠（或补角） 又易知11A C B △为等边三角形，所以直线l 与1BC 所成角的余弦值为1cos602︒=， 故答案为：1216．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB 面积的最大值是_________． 【答案】52【详解】试题分析：易知A （0，0），B （1，3）两直线互相垂直，故222221510222PA PB PA PB AB S PA PB ++==∴=≤=为所求．【解析】基本不等式．三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料. 日期第一年 第二年 第三年 第四年优惠金额x （千元） 10 11 13 12 销售量y （辆） 22243127(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn iii i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =- （2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上． (1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为34-的直线l 过点B 且与圆C 相交于,E F 两点，求||EF ．【答案】(1)60x y -=或+7=0x y -； (2)22(5)(1)5x y -++=； (3)2.【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答. （2）设出圆心坐标，由已知求出圆心及半径作答. （3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算作答.【详解】（1）经过点A ，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为=x y a +，将点(6,1)A 代入解得=7a ，即直线的方程为+7=0x y -， 所以所求直线的方程为60x y -=或+7=0x y -．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -， 又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径||||r AC BC ==，1b =-，圆心(5,1)C -，圆C的半径r = 所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=．（3）依题意，直线l 的方程为32(3)4y x +=--，即3410x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为|1541|25d --==， 所以22||22542EF r d =-=-=．19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ： (2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析2【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形，所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=．21．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点．(1)求证：平面ACEF ⊥平面BDF ；(2)求证：DM ⊥平面BEF ；(3)求二面角A DF B --的大小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)60【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0AM BD =，0AM DF =，可得AM ⊥平面BDF ，进而可得面面垂直.（2）由2AB 1AF =，得3==DF DE DM EF ⊥，连BM ，得DM BM ⊥，由此能证明DM ⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量，cos AM <，1222DC >==⨯即可． 【详解】（1）四边形ACEF 是矩形，FA AC ∴⊥，平面ACEF ABCD ⊥，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEFAF ∴⊥平面ABCD ．设AC DB O ⋂=，则OM ⊥平面ABCD建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：(0O ，0，0)，(0A ，1，0)，(1B -，0，0)，(0C ，1-，0)，(1D ，0，0)，(0E ，1-，1)，(0F ，1，1)，(0M ，0，1)．(2BD =，0，0)，(1DF =-，1，1)，(0AM =，1-，1)，∴0AM BD =，0110AM DF =-+=， AM BD ∴⊥，AM DF ⊥，BD DF D =，,BD DF ⊂平面BDF ，AM ∴⊥平面BDF ,AM ⊂平面ACEF ，所以平面ACEF ⊥平面BDF（2）由2AB =，1AF =，得3==DF DE ，M 是线段EF 的中点，DM EF ，连接BM ，由于2222,,DM OM OD MB OM OB OB OD =+=+=,得2BM DM ==,又2BD =，222DM BM BD += DM BM ∴⊥，又BM EF M =，,MB EF ⊂平面BEF , DM ∴⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．又AF ⊥平面ABCD 得AF CD ⊥,又CD DA ⊥ ,故(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量， 故cos AM <，11222DC >==⨯ 二面角A DF B --为锐角，∴二面角A DF B --为60．22．已知圆22:(3)9M x y -+=．设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于P 、Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)17；(2)点N 在定直线6x =-上.【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l的距离为：1d =所以PQ == 由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号，所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17.（2）点N 在定直线6x =-上.证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ，则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ， 所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)
学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。
满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -=C ．2212y x -= D ．2212x y -= 2．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16 6．若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（ ） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7．下列命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（ ） A ．2 B ．22 C ．13+ D ．()1321+10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 3(0,]4B ．3(0,]2 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。
北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题含答案
大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆22194x y +=的长轴长为（）A.4B.5C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由22194x y +=可得29a =，则26a =.故选：C .2.双曲线22142x y -=的渐近线方程为（）A.y x =±B.22y x =±C.y =D.12y x =±【答案】B 【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得解.【详解】由题意双曲线22142x y -=的渐近线方程为22042x y -=，即2y x =±.故选：B.3.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.4.两条平行直线0x y -=与10x y --=间的距离等于（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线0x y -=与10x y --=，由两平行线间的距离公式可知，所求距离为22d ==．故选：A ．5.过点()1,0且被圆22(2)1x y ++=截得的弦长最大的直线方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，可得直线方程为112x y +=-，即220x y --=.故选：B.6.圆221:2C x y +=与圆222:(2)(2)2C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解】圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =，圆222:(2)(2)2C x y -+-=的圆心2(2,2)C ，半径2r =显然1212||C C r r ==+，所以圆1C 与2C 外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）A.310B.720C.25 D.920【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为720P =．故选：B ．8.若方程221343x y m m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为（）A.()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.4,33⎛⎫⎪⎝⎭C.()4,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.4,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到()()3430m m --<，再解不等式即可.【详解】依题意，()()3430m m --<，则43<m 或3m >.故选：A9.已知12,F F 是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的左､右公共焦点，A 是12,C C 在第一象限内的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（）A.35B.25 C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由221:18y C x -=知1,3a b c ====，所以12126F F F A c ===，∵12||||22F A F A a -==，∴24F A =，∴1210F A F A +=，∵12||6F F =，∴2C 的离心率是63105e ==.故选：A.10.平面内与定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的动点的轨迹称为双纽线.曲线C 是当a =P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线C 关于原点对称B.满足12PF PF =的点P 有且只有一个C.4OP ≤D.若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为()1,1-【答案】D 【解析】【分析】由题意得当a =()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y 即可判断；对于B ，令12PF PF =，求出点P 的坐标即可验证；对于C ，由()2222221616x y x y x y -+=≤+即可判断；对于D ，由方程()()22221161k x k +=-无零解，即可得解.2a =，当a =C 8，即()()2422228864y y x x +++-=，整理，得()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以曲线C 关于原点中心对称，故A 正确；对于B ，若12PF PF =，=所以0x =，此时288y +=，即0y =，所以满足12PF PF =的点P 有且只有一个，即()0,0，故B 正确；对于C ，由()()2222216x yx y+=-，得()2222221616x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C 正确；对于D ，直线与曲线C 一定有公共点()0,0，若直线与曲线C 只有一个交点，将y kx =代入方程()()2222216x y x y +=-中，得()()224221161kx k x +=-，当0x ≠时，方程()()22221161k x k +=-无零解，则210k -≤，解得1k ≥或1k ≤-，故D 错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是首先一定有公共点()0,0，然后通过化简方程组得方程()()22221161k x k +=-无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】【分析】()P A B 表示事件A 与事件B 满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【详解】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点()0,0且与直线3450x y ++=垂直的直线方程为__________.【答案】430x y -=【解析】【分析】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，又因为经过原点()0,0，所以0b =.所求方程为430x y -=故答案为：430x y -=.13.已知双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则C 的右焦点坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.)②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得m ，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则21m =，1m =，222112c a b =+=+=，则c =C 的右焦点坐标为)，双曲线的渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，则焦点()到渐近线的距离1d ==，故答案为：)，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线2:8C y x =，一条光线经过()8,6M -，与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过()08,N y 射出，则0y =________，光线从点M 到N 经过的总路程为________．【答案】①.83②.20【解析】【分析】由点N 与点Q 的纵坐标相同和韦达定理可得0y ，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P ，第二次射到抛物线上的点记为Q ，易得9,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()2,0F ，所以直线PF 的方程为125240x y +-=．联立28125240y xx y ⎧=⎨+-=⎩消去x 整理得2310480y y +-=，可设()00,Q x y ，显然6-和0y 是该方程的两个根，则0616y -=-，所以083y =．（方法一）光线从点M 到N 经过的总路程为()()()||||||4420M P P Q N Q M N MP PQ QN x x x x x x x x ++=-++++-=++=．（方法二）设抛物线的准线为l ，则其方程为2x =-，分别过点P ，Q 做准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PF PG =，QF QH =，所以PQ PF QF PG QH =+=+，故光线从点M 到N 经过的总路程为828220MP PQ QN MG NH ++=+=+++=．故答案为：83；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,,2F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=；②在直线l 上存在点P ，椭圆C 上存在,A B ，使得PA PB ⊥；③记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为3b ；④若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b .其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知①正确；由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知②正确；根据椭圆定义可将2||d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1||d AF +最小值，代入可得2||d AF -的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：,x a y b ==，∴(),Q a b 在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为2222x y a b +=+，由2c e a ==，得222a b =，∴C 的蒙日圆方程为2223x y b +=，故①正确；对于②，由l 方程知：l 过(),P b a ，又(),P b a 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA PB ⊥，故②正确；对于③，∵A 在椭圆上，∴12||||2AF AF a +=，∴211||(2||)||2d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离2222213d b ==，∴2min (||)23d AF a -=-，故③错误；对于④，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,m n ，则22212m n b +=，∴矩形MNGH 的面积22262m n S mn b +=≤=，当且仅当m n ==时取等号，即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，故④正确.故答案为：①②④．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，（1）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值；（2）若12l l //，试确定,m n 需要满足的条件．【答案】（1）1,7m n ==（2）当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方程，解出4m =±，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点(,1)P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1,7m n ==.【小问2详解】由12l l //得：28204m m -⨯=⇒=±，又两直线不能重合，所以有8(1)0nm ⨯--≠，对应得2n ≠±，所以当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，12l l //．17.已知椭圆22:143x y C +=与经过左焦点1F 的一条直线交于,A B 两点.（1）若2F 为右焦点，求2ABF △的周长；（2）若直线AB 的倾斜角为π4，求线段AB 的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点1F 的坐标以及直线AB 的倾斜角为π4，可得直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意2a =，由椭圆定义有121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2ABF △的周长为221212448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意直线AB 的斜率为πtan 14k ==，1c ===，即()11,0F -，所以直线AB 的方程为1y x =+，将它与椭圆方程22143x y +=联立得221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并化简整理得27880x x +-=，显然0∆>，由韦达定理得121288,77x x x x +=-=-，所以线段AB的长为12247AB x =-===.18.已知圆C 经过点A （2，0），与直线x +y ＝2相切，且圆心C 在直线2x +y ﹣1＝0上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d=.据题意，d＝|AC|=解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d=则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0=1，∴k34=-，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，2,2 AB AC BC AD====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,2AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于不同的两点,P Q ，且4PQ =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()0,2M 的直线l 与C 相交于不同的两点,,A B N 为线段AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB与MON △:1，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x=（2）123=+y x 或2y x =-+【解析】【分析】（1）由题意可得直线,P Q 方程，进而可得2PQ p =，可求得p 值，即可得答案.（2）设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N 的横坐标N x ，AB ，求出O 到直线l 距离d ，由AOB 与MON △的面积的关系列式求出k ，可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,P Q 两点所在的直线方程为：2p x =，代入抛物线2:2(0)C y px p =>，得22y p =，y p =±，则||24PQ p ==，故2p =，∴抛物线C 的方程为24.y x =【小问2详解】由题意，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(44)40k x k x +-+=，∴22(44)1632160k k k ∆=--=-+>，解得12k <且0k ≠，121222444,k x x x x k k -+==，∴点N 的横坐标为122222N x x k x k +-==，∴A B =O 到直线l 距离d =，∴AOB 的面积21122AOB S d k AB =⋅=△，MON △的面积22112222222M N ON k k S OM x k k --=⋅=⨯=⨯△，由题意AOB MON S =，∴2222kk k =-，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，∴直线l 的方程为123=+y x 或2y x =-+.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点为21,B B ，左､右焦点为12,F F ，四边形1122B F B F 是面积为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上异于12,B B 的点，判断直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；（3）已知圆2223x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,D E 两点，判断以DE 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是定值，定值为12-（3）过定点，定点为(0,0)【解析】【分析】（1）根据题意列式求,,a b c ，即可得椭圆方程；（2）设()000,,0P x y x ≠，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；（3）取特例3x =±可知定点应为()0,0，再对一般情况，利用韦达定理可得0OC OD ⋅= ，即可得结果.【小问1详解】由题意可得22212222b c b c a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】是定值，理由如下：设()000,,0P x y x ≠，则220012x y +=，可得()220021x y =-，由（1）可知：()()120,1,0,1B B -，则()1222000022000011111221PB PB y y y y k k x x x y +---⋅=⋅===--，所以直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是定值12-.【小问3详解】由题意可知：圆2223x y +=的圆心为()0,0，半径为3，因为13<，可知圆2223x y +=在椭圆内，可知切线l 与椭圆C 相交，①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆M相切，故切线方程为3x =±，若切线方程为3x =代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则以CD为直径的圆的方程为22233x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；若切线方程为3x =-代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛-- ⎝⎭，则以CD 为直径的圆的方程为226233x y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭；联立方程2222233233x y x y ⎧⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩，即两圆只有一个交点()0,0，若存在定点，则定点应为()0,0；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，则3d ==，整理得222(1)3m k =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以22221212121222()()()21m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，所以()2222121222212232202121k k m k OC OD x x y y k k +----⋅=+===++ 即0OC OD ⋅=，所以以CD 为直径的圆经过定点(0,0)O ；综上可知，以CD 为直径的圆过定点(0,0)．【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =+，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =++，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点；2．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．。
山东省德州市某重点中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
高二上学期期末考试数学试题（理）留意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必需写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式a n可以等于()A. (－1)n＋12 B. cosnπ2 C. cosn＋12π D. cosn＋22π2. 设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A. 1a>1b B.1a－b>1a C. |a|>－b D. －a>－b3. 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°4. 等差数列{a n}前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A. 6B. 7C. 8D. 95. 一个等比数列的前三项的积为3，最终三项的积为9，且全部项的积为729，则该数列的项数是()A. 13B. 12C. 11D. 106. 双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A. x280－y220＝1 B.x220－y280＝1 C.x220－y25＝1 D.x25－y220＝17. 若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是()A.14 B. 1 C. 4 D. 88. 如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是 ()A.－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋cC.－12a－12b＋c D.12a－12b＋c9. 数列}{na的前n项和为nS，511=a，且对任意正整数m，n，都有nmnmaaa⋅=+，若tSn<恒成立，则实数t的最小值为()A.4B.34C.43D.4110．过双曲线2222100x y(a,b)a b-=>>的左焦点0F(c,)-作圆222x y a+=的切线，切点为E，延长FE交抛物线24y cx=于点P，O为原点，若12OE(OF OP)=+，则双曲线离心率为()A.152+B.333+C.52D.132+第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，则点P的轨迹方程是_________.12．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________________.13. 已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于_________________．14. 若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．15. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是_____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）设p ：关于x 的不等式 a x >1的解集是 {x |x <0} ；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R . 若 p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．17. （本小题满分12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2) 若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试推断△ABC 的外形．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且 S n ＝a n (a n ＋1)2， n ∈N *.(1) 求证：数列{a n }是等差数列；(2) 设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .19.（本小题满分12分）某市近郊有一块大约500500m m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府预备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地外形相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.(1) 分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域；(2) 怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值.20. （本小题满分13分）已知四边形ABCD 是菱形,060BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形 ,平面BDEF ⊥平面ABCD ,G H 、分别是CE CF 、的中点. (1) 求证 : 平面//AEF 平面BDGH ； (2) 若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060,求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值.21．(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为3. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB的斜率为12。
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高二上学期期末考试数学（理）试题（及答案)数 学 试 题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1．以下说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x+2≠0B ．“x=1”是“x 2－3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20+ x 0+1＜0，则p ⌝：R x ∈∀，则x 2+x+1≥0 2．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2+b 2=2ab+c 2，则角C 为（ ）A ．30°B ．45°C ．150°D ．135°3．不等式ax 2－2x+1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）A ．a ＜1B ．a ＜0C ．0＜a ＜1D ．a ≤14．等差数列公差不为0，首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项和为（ ）A ．90B ．100C ．145D ．1905．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=AA 1=2，∠AC B=90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，当二面角C 1－AA 1－B 为45°时，直线EF 和BC 1所成的角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=2a ，则ab =（ ） A ．23 B ．22 C ．3 D ．27．已知m 是△ABC 内一点，且→AB ·→AC =23，∠BAC=30°，若△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积分别为21、x 、y ，则y 4x 1+的最小值为（ ） A ．20 B ．19 C ．16 D ．188．等差数列{}n a 中，S 15＞0，S 16＜0，则使a n ＞0成立的n 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．若直线 不平行于平面α，且 ⊄α，则（ ）A ．α内的所有直线与 异面B ．α内不存在与 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与 平行D ．α内的直线与 都相交10．在△ABC 中，若a=2b cosC ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三解形D ．直角三角形11．已知点M 是x 2=4y 上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：（x －1）2+(y －5)2=1上，则MA +MF 的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．1012．设椭圆C ：2222x by a +=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，P F 2⊥F 1F 2，∠P F 1F 2=30°,则C 的离心率为（ ）．A ．63B ．31C ．21 D ．33 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知ABCD 为正方形，点P 为平面ABCD 外一点，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2=PC ，则点C 到平面PAB 的距离为 .14．已知数列{}n a 为等比数列，且a 1a 13+2a 27=4π，则tan(a 2a 12)= .15．在直角三角形ABC 中，AB=4，AC=2，M 是斜边BC 的中点，则向量→AM 在向量→BC 方向上的投影是 .16．过双曲线22225a x ay --=1（a ＞0）右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 .三、解答题（共70分）17．（10分）已知不等式ax 2－3x+6＞4的解集为{x x ＜1或x ＞}b . (1)求a 、b ；(2)解不等式ax 2－(ac+b)x+bc ＜0(c ∈R)18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosC+(cosA －3sinA)cosB=0.(1)求角B 的大小；(2)若a+c=1，求b 的取值范围.19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足a 1=1，a 21n +－a 2n =2(n ∈N*)(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 2n 2a 的前n 项和.20.(12分)已知p:4-x 3＞2，q:212--x x ＞0，r ：(x －a)(x ―a ―1) ＜0. (1)⌝p 是⌝q 的什么条件？(2)若⌝r 是⌝p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠DAB=135°，BC=22，SB=SC=AB=2，F 为线段SB 的中点. (1)求证：SD ∥平面CFA ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值.22.(12分)已知椭圆C ：2222bx y a =1（a ＞b ＞0）的离心率为35，定点M （2，0），椭圆短轴的端点是B 1B 2，且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于M 的定点p ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点p 的坐标，若不存在，说明理由.高二期末数学答案一、选择题1—5 CBDBC 6—10 DDCBB 11—12 BD 二、填空题 二、137212 14.3 15－553 16（5，10） 三、解答题（70分）17．解（1）原不等式可化为ax 2－3x+2＞0由题意知x=1是方程ax 2－3x+2=0的根 ∴ a=1∴x 2－3x+2＞0 ∴x ＜1或x ＞2 故b=2…………5分（2）由(1)可知原不等式可化为x －(c+2)x+2c ＜0 (x －c)(x －2) ＜0 ①当c ＞2，2＜x ＜c②当c=2，x φ∈③当c ＜2，c ＜x ＜2综上，当c ＜2时，原不等式的解集为{x c ＜x ＜}2，当c=2时，原不等式解集为φ，当c ＞2时，原不等式解集为{x 2＜x ＜}c .18．解：(1)∵cosC+(cosA －3sinA)cosB=0∴－(cosAcosB －sinAsinB)+ co sAcosB －3sinAsinB=0 ∴sinAsinB －3sinAcosB=0∵sinA ≠0 ∴tanB=3 ∴0＜B ＜π ∵B=3π……………………6分 (2)b 2=a 2+c 2-2acosB=(a+c)2-2ac-2ac ·21 =1-3ac ≥1-3(2c a +)2=41 ∴41≤b 2＜1 ∴21≤b ＜1………………12分 19、(1) ∵a 1=1 a 21+n －a 2n =2(n *∈N )∴a 2n =1+(n －1)·2=2n-1∵a n ＞0∴a n =12-n (n *∈N )…………5分(2)由(1)知a n =12-n ，∴n 2n 2a =n n 212- ∴S n =21+223+325+…+1-n 21-n 2① 则21S n =221+323+425+…+1n 21-n 2+② ①－②得，21S n =21+222+322+…+n 22－1n 21-n 2+=21+2[211)21-1411-n -（]－1n 21-n 2+ =23－1n 23n 2++ ∴S n =3-n 23n 2+(n *∈N )……………………12分 20．(1)p:4-x 3＞2⇔x ＜32或x ＞2 q:212--x x ＞0⇔)1)(2(1+-x x ＞0⇔x ＞2或x ＜-1 ∴⌝p: 32≤x ≤2 ⌝q:－1≤x ≤2 ∵⌝p ⇒⌝q ，但⌝q ⇒⌝p∴⌝p 是⌝q 的充分不必要条件(2)r:(x-a)(x-a-1) ＜0⇔a ＜x ＜a+1∴⌝r:x ≥a+1或x ≤a∵⌝r 是⌝p 的必要不充分条件∴a ≥2或a+1≤32 即a ≥2或a ≤-31故a 的取值范围是（－∞，－31] [2，+∞]21、(1)连结BD AC=E 连结EF∵ABCD 是平行四边形∴BE=ED 又F 是SB 的中点∴EF ∥SD又EF ⊂面CFA ，SD ⊄面CFA∴SD ∥面CFA …………6分(2)取BC 中点O ，连OS 、OA∵SB=SC ∴SO ⊥BC 又面SBC ⊥面ABCD∴SO ⊥面ABCD在△ABC 中，AB=2 ∠ABC=45°BC=22由余弦定理，得AC=2 ∴∠BAC=90°又AB=AC∴AO ⊥BC 建立如图所示坐标系.则A(2，0，0) B （0，－2，0） S （0，0，2） C(0, 2,0) D(2,22,0)设面SAB 的法向量为→1n =（x 1,y 1,z 1）由 →1n ·→AB =0 －2x 1－2y 1=0 得→1n ·→SB =0 －2y 1－2z 1=0 取z 1=－1，得→1n =(－1,1,－1)设面SCD 的法向量为→2n =(x 2，y 2，z 2)同理可得→2n =(－1,1,1)∴cos ＜→1n ，→2n ＞=→→→→2121n n n n =31 故面SCD 与面SAB 所成锐二面角的余弦值为3122、解：(1)由e 2=222a a b -=1－22a b =95的32=a b 又∵△MB 1B 2是等腰直角三角形，∴b=2 ,a=3故椭圆C 的方程为49x 22y +=1…………5分 (2)设AB 的方程为x=my+2代入49x 22y +=1得 (4m 2+9)y 2+16my －20=0∴y 1+y 2=94162+-m m y 1y 2=94202+-m …………8分 若PM 平分∠APB ，则直线PA 、PB 倾斜角互补∴K pA +K pB =0 设p(n ，0)则有nx y n -+-2211x y =0…………10分 把x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式，得2my 1y 2+(2－n)(y 1+y 2)=0∴2m ·9m 4202+-+(2-n)094m m 162=+-即（－2n+9）m=0由于上式对任意实数m 都成立，∴n=29综上，存在定点p(29，0)，使pM 平分∠APB …………12分。