二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应(PPT课件)
三、二阶系统的其他输入响应
即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
二阶系统的阶跃响应
线性定常系统的重要特性
1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为 r(t)
其对应的输出为 c(t) ，拉氏变换为 C(s) R(s)G(s)
2、若输入变为
dr(t)
r1 (t )
dr(t) t
R1(s) L[ t ] sR(s)
，其拉氏变换为
这时系统输出为 C1(S) G(s)R1(s) G(s)sR(s) sC(s)
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算
在 c(t) 1
1 1
2
e nt
sin( dt
)
中，将t t p 代入得
c(t p ) 1
1 e / 1 2 sin( ) 1 2
因为 cos 则 sin( ) 1 2
1 2
解之得 t s
1
n
ln( 0.05
1 2 )
4.5
，近似为
ts
3.5
n
3.5
4.5
若误差带为0.02，则
ts
n
二、二阶系统的动态过程分析
由此可见， n 越大，ts 越小，若 n一定，则调节
时间 ts 与
不一样的。
成反比。这与 td
，t p ，tr
一、二阶系统的阶跃响应
当 0
系统有一对纯虚根
s1,2 jn
单位阶跃响应时
C(s)
R(s)G(s)
1 s
n2 s2 n2
可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验报告：二阶系统的阶跃响应实验目的：本次实验的目的是研究二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析与讨论，以理解二阶系统在控制工程领域中的应用。
实验原理：二阶系统是指具有二阶特性的系统，即在系统受到激励信号后，系统的响应随时间的变化呈现出一定的规律。
在此实验中，我们将研究二阶系统的阶跃响应，其中阶跃信号指输入信号由零值跳变到一个恒定的值（或者说幅度无限大），通常用单位阶跃函数u(t)表示，即u(t)=1（t≥0），而二阶系统响应的公式可表示为：y(t) = K(1- e^(-ξωnt)cos(ωdt+φ))其中，K为系统的增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率，ωd为阻尼振荡频率，φ为相位角。
实验步骤：1. 确定实验装置的参数，并将之记录下来，包括：二阶系统的增益K、阻尼比ξ、自然频率ωn，以及阶跃信号的幅值u0等。
2. 将二阶系统的输入信号设置为阶跃信号u(t)，并将输出信号y(t)记录下来，同时进行数据采集和记录。
3. 根据数据得出实验结果，并利用软件对实验数据进行处理和分析，包括波形比较、响应曲线分析和幅值与相位移测量等。
实验结果：在此次实验中，我们得到了如下的实验参数：增益K = 1.5V阻尼比ξ = 0.1自然频率ωn = 2π x 10Hz阶跃信号幅值u0 = 2V根据实验数据，我们得到了如下的响应曲线：图1 二阶系统的阶跃响应曲线通过对响应曲线的分析和处理，我们发现：1. 二阶系统的阶跃响应具有一定的超调和振荡特性，表明系统的稳定性较差，需要进行进一步的优化和调整。
2. 阻尼比ξ的大小与系统的响应有着密切的关系，通常应根据系统的具体情况进行合理的选择和调整，以达到最佳的控制效果。
3. 自然频率ωn的大小与系统的响应速度有关，通常应根据实际控制要求进行选择和调整，以达到最佳的控制效果。
结论：本次实验研究了二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析和讨论。
通过对实验数据的处理和比较，我们发现阻尼比ξ和自然频率ωn是影响系统响应特性的关键因素，应根据实际控制要求进行合理的选择和调整。
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应一、实验目的通过实验观察和分析阶跃响应曲线，了解二阶系统的动态特性，掌握用MATLAB仿真二阶系统阶跃响应曲线的绘制方法，提高对二阶系统动态性能指标的计算与分析能力。
二、实验原理1.二阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/[(s+a)(s+b)]其中，K为系统增益，a、b为系统的两个特征根。
特征根的实部决定了系统的稳定性，实部小于零时系统稳定。
2.阶跃响应的拉氏变换表达式为：Y(s)=G(s)/s3.阶跃响应的逆拉氏变换表达式为：y(t)=L^-1{Y(s)}其中，L^-1表示拉氏逆变换。
三、实验内容1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定，并记录实际的参数数值。
2.使用MATLAB绘制二阶系统的阶跃响应曲线，并与实际曲线进行对比分析。
四、实验步骤1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定。
根据实验要求，选择适当的数字电路元件组合，如电容、电感、电阻等，在实际电路中搭建二阶系统。
2.连接模拟输入信号。
在搭建的二阶系统的输入端接入一个阶跃信号发生器。
3.连接模拟输出信号。
在搭建的二阶系统的输出端接入一个示波器，用于实时观察系统的输出信号。
4.调整增益和特征根。
通过适当调整二阶系统的增益和特征根，使系统达到稳定状态。
记录实际调整参数的数值。
5.使用MATLAB进行仿真绘制。
根据实际搭建的二阶系统参数，利用MATLAB软件进行仿真，绘制出二阶系统的阶跃响应曲线。
6.对比分析实际曲线与仿真曲线。
通过对比分析实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性。
五、实验结果与分析1.实际曲线的绘制结果。
根据实际参数的输入，记录实际曲线的绘制结果，并描述其特点。
2.仿真曲线的绘制结果。
利用MATLAB软件进行仿真，绘制出仿真曲线，并与实际曲线进行对比分析。
3.实际曲线与仿真曲线的对比分析。
通过对比实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性，并讨论影响因素。
六、实验讨论与结论1.实验过程中遇到的问题。
二阶系统阶跃响应实验报告
实验一 二阶系统阶跃响应一、 实验目的（1）研究二阶系统的两个重要参数：阻尼比ξ和无阻尼自振角频率ωn 对系统动 态性能的影响。
（2）学会根据模拟电路，确定系统传递函数。
二、实验内容二阶系统模拟电路图如图2-1 所示。
系统特征方程为T 2s 2+KTs+1=0，其中T=RC ，K=R0/R1。
根据二阶系统的标准 形式可知，ξ=K/2，通过调整K 可使ξ获得期望值。
三、 预习要求（1） 分别计算出T=0.5,ξ= 0.25，0.5，0.75 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
)1(p 2e ζζπσ--=， ζT3t s ≈代入公式得：T=0.5,ξ= 0.25，σp =44.43% ， t s =6s ； T=0.5,ξ= 0.5，σp =16.3% ， t s =3s ； T=0.5,ξ= 0.75，σp =2.84% ， t s =2s ；（2） 分别计算出ξ= 0.25，T=0.2,0.5，1.0 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
ξ= 0.25，T=0.2，σp =44.43% ， t s =2.4s ； ξ= 0.25，T=0.5，σp =44.43% ， t s =6s ； ξ= 0.25，T=1.0，σp =44.43% ， t s =12s ；四、 实验步骤（1） 通过改变K ，使ξ获得0，0.25，0.5，0.75，1.0 等值，在输入端加同样幅值的阶跃信号，观察过渡过程曲线，记下超调量σP 和过渡过程时间tS，将实验值和理论值进行比较。
（2）当ξ=0.25 时，令T=0.2 秒，0.5 秒，1.0 秒（T=RC,改变两个C），分别测出超调量σP 和过渡过程tS，比较三条阶跃响应曲线的异同。
五、实验数据记录与处理：阶跃响应曲线图见后面附图。
原始数据记录：（2）ξ=0.25，改变C的大小改变T值理论值与实际值比较：对误差比较大，比如T=0.5，ξ=0.75时，超调量的相对误差为30%左右。
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验名称：二阶系统的阶跃响应实验报告实验目的：1. 了解二阶系统的阶跃响应特性，掌握二阶系统的调节方法。
2. 学习使用计算机实验仿真软件，分析控制系统的特性和设计计算机系统的参数。
3. 进一步了解数字控制的基本原理和实现方法。
实验原理：二阶系统指的是包含两个振动元件的控制系统，例如质量弹簧阻尼系统、旋转系统等。
通过向系统输入一个单位阶跃信号，可以使系统达到稳态。
在达到稳态后，可以观察到系统的响应特性，例如响应时间、超调量等。
二阶系统的阶跃响应有三种情况，分别为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼的二阶系统的响应曲线会出现振荡，超调量较大；临界阻尼的二阶系统响应曲线的超调量最小，但响应时间较长；过阻尼的二阶系统响应曲线是退化的，没有振荡。
在实验中，我们使用计算机模拟二阶系统，并通过输入一个单位阶跃信号，观察系统的响应特性。
具体操作步骤如下：1. 在仿真软件中建立一个二阶系统，可以让仿真软件自动生成一个简单的二阶系统。
2. 将系统设置为单位阶跃信号输入，运行仿真，观察系统的响应特性。
3. 记录系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化。
实验器材：1. 计算机2. 仿真软件实验步骤：1. 打开计算机，并运行仿真软件。
2. 在仿真软件中建立一个二阶系统，并设置其为单位阶跃信号输入。
3. 运行仿真，并记录系统的响应特性，包括超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化，并记录变化后的参数。
5. 分析实验结果，并总结出二阶系统的阶跃响应特性。
实验结果：在实验中，我们使用了仿真软件模拟了一个简单的二阶系统，并进行了阶跃响应实验。
通过实验，我们观察到了系统的响应特性，并记录了系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
我们对比了欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下的响应特性，发现欠阻尼时会出现较大的超调量，临界阻尼时超调量最小，但响应时间较长，过阻尼时响应曲线是退化的，没有振荡。
二阶阶跃响应动态性能指标求取
二阶阶跃响应动态性能指标求取二阶系统是控制系统中常见的一种模型，其阶跃响应动态性能指标是评估系统的性能好坏的重要指标。
本文将从二阶系统的阶跃响应的定义、特点和性能指标的求取方法等方面进行阐述。
首先，二阶系统的阶跃响应是指系统在输入为单位阶跃信号时的响应。
假设二阶系统的传递函数为：G(s)=K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)其中，K为增益，ξ为阻尼比，ω_n为自然频率。
二阶系统的阶跃响应具有以下特点：1.超调量：超调量是指阶跃响应中峰值与系统最终稳定值之间的差值，用百分数表示。
超调量越小，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
2.响应时间：响应时间是指系统从单位阶跃响应开始到稳定的时间。
响应时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越迅速。
3.调整时间：调整时间是指系统从初始状态到达超调量指定范围内的时间，一般取超调量为5%。
调整时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
4.峰值时间：峰值时间是指系统对阶跃输入的响应达到其最大值的时间。
5.匀稳态误差：系统在稳态下的输出与输入的差值，反映系统的控制准确性。
若单位阶跃输入的稳态输出为1，则对于系统的阶跃响应不应有静态误差。
有了以上的定义和特点之后，下面将介绍二阶系统阶跃响应动态性能指标的求取方法。
首先，根据传递函数可求得系统的特征方程：s^2+2ξω_ns+ω_n^2=0然后，通过特征方程可以求得系统的根：s_1=-ξω_n+ω_n√(ξ^2-1)s_2=-ξω_n-ω_n√(ξ^2-1)根据系统根的位置可以对系统的动态性能进行评估。
1.超调量的计算：超调量的计算公式为：MP=e^(-πξ/√(1-ξ^2))其中，MP为超调量，ξ为阻尼比。
2.响应时间的计算：响应时间的计算公式为：t_r=π/ω_d其中，t_r为响应时间，ω_d为峰值时的角频率，可通过特征方程得到：ω_d=ω_n√(1-ξ^2)3.调整时间的计算：调整时间的计算公式为：t_s=4/(ξω_n)其中，t_s为调整时间。
二阶系统的阶跃响应-10页精选文档
实验一 一、二阶系统的阶跃响应 实验报告＿＿＿系＿＿专业＿＿＿班级 学号＿＿＿姓名＿＿＿成绩＿＿＿指导教师＿＿一、实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T 对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
二、实验仪器1、EL-AT-II 型自动控制系统实验箱一台2、计算机一台三、实验内容（一） 构成下述一阶系统（惯性环节）的模拟电路，并测量其阶跃响应。
惯性环节的模拟电路及其传递函数如图1-1。
（二）构成下述二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应。
典型二阶系统的闭环传递函数为()2222nn n s s s ωζωωϕ++=（1） 其中ζ和n ω对系统的动态品质有决定的影响。
构成图1-2典型二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应：图1-1 一阶系统模拟电路图R1R2电路的结构图如图1-3系统闭环传递函数为式中 T=RC ，K=R2/R1。
比较（1）、（2）二式，可得 n ω=1/T=1/RCξ=K/2=R2/2R1 （3）由（3）式可知，改变比值R2/R1，可以改变二阶系统的阻尼比。
改变RC 值可以改变无阻尼自然频率n ω。
今取R1=200K ，R2=0K Ω，50K Ω，100K Ω和200K Ω，可得实验所需的阻尼比。
电阻R 取100K Ω，电容C 分别取1f μ和0.1f μ，可得两个无阻尼自然频率n ω。
操作步骤：1. 启动计算机，在桌面双击图标[自动控制实验系统]运行软件。
2. 测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。
如果信不正常查找原因使通信正常后才能可以继续进行实验。
3. 连接被测量典型环节的模拟电路（图1-1）。
电路的输入U1接A/D 、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D 、D/A 卡的AD1输入。
二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
(整理)二阶系统的阶跃响应.
实验一 一、二阶系统的阶跃响应 实验报告＿＿＿系＿＿专业＿＿＿班级 学号＿＿＿姓名＿＿＿成绩＿＿＿指导教师＿＿一、实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T 对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
二、实验仪器1、EL-AT-II 型自动控制系统实验箱一台2、计算机一台三、实验内容（一） 构成下述一阶系统（惯性环节）的模拟电路，并测量其阶跃响应。
惯性环节的模拟电路及其传递函数如图1-1。
（二）构成下述二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应。
典型二阶系统的闭环传递函数为 ()2222nn n s s s ωζωωϕ++=（1） 其中ζ和n ω对系统的动态品质有决定的影响。
图1-1 一阶系统模拟电路图R1R2构成图1-2典型二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应：电路的结构图如图1-3系统闭环传递函数为()()()()222/1//11/2TS T K s T s U S U s ++==ϕ 式中 T=RC ，K=R2/R1。
比较（1）、（2）二式，可得 n ω=1/T=1/RCξ=K/2=R2/2R1 （3）由（3）式可知，改变比值R2/R1，可以改变二阶系统的阻尼比。
改变RC 值可以改变无阻尼自然频率n ω。
今取R1=200K ，R2=0K Ω，50K Ω，100K Ω和200K Ω，可得实验所需的阻尼比。
图1-2 二阶系统模拟电路图图1-3 二阶系统结构图R2电阻R取100KΩ，电容C分别取1fμ和0.1fμ，可得两个无阻尼自然频率ω。
n 操作步骤：1.启动计算机，在桌面双击图标[自动控制实验系统]运行软件。
2.测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。
如果信不正常查找原因使通信正常后才能可以继续进行实验。
二阶系统的阶跃响应
⼆阶系统的阶跃响应第3章辅导控制系统典型的输⼊信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所⽰。
它表⽰为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉⽒变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于⼀个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加⼀突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉⽒变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所⽰。
3. 抛物线函数如图所⽰，这种函数的定义是<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉⽒变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉⽒变换是A A L s X r =??=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图所⽰。
单位脉冲函数的⾯积等于l ，即∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数⽤δ(t-t 0)来表⽰，它满⾜如下条件幅值为⽆穷⼤、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有⽤处。
单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
二阶系统的阶跃响应
n
n 2
s
1
n
求其拉氏反变换，得：
xc t 1 1 nt ent
此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。
2019/8/28
第三章线性系统的时域分析
18
输出的变化率为:
二阶系统的临界阻尼 单位阶跃响应曲线存 在拐点
dxc (t) dt
n2tent
系统的响应时间为
3
(达到95%）
( 2 1)n
相当于惯性时间常数 T
1
( 2 1)n
在工程上，当 1.5时，使用上述近似关系已
有足够的准确度。
2019/8/28
第三章线性系统的时域分析
25
如令n 1, 2,则输出响应的准确值(蓝色)为:
xc t 1 0.077 e3.73t 1.077 e0.27t
dxc (t) 0 ; dt t0
dxc (t) dt t 1
0.368n
n
dxc (t) 0 dt t
二阶系统的临界阻尼响应曲线
Amplitude
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
Step Response
1
近似计算值 （绿色）： 0.9
xc t 1 e0.27t
0.8 0.7
0.6
Amplitude
p1 0.27
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。
二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。
2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。
3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。
三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。
研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。
自控原理实验二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一、实验目的1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。
二、实验内容1. 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；2. 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比21=ζ，测量此时系统的超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±0.05)；3. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。
三、实验原理1. 二阶系统的瞬态响应用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为2222)()(nn n S S S R S C ωζωω++= (2-1)闭环特征方程：0222=++n n S ωζω其解 122,1-±-=ζωζωn n S ，针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），22,11ζωζω-±-=n n j S此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。
它的数学表达式为：)(111)(2βωζζω+--=-t Sin e t C d t n式中21ζωω-=n d ，ζζβ211-=-tg。
2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。
3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。
(a) 欠阻尼(0<ζ<1) (b)临界阻尼(1=ζ) (c)过阻尼(1>ζ)图2-1 二阶系统的动态响应曲线虽然当ζ=1或ζ>1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取ζ=0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。
二阶系统的阶跃响应的解析解
二阶系统的阶跃响应的解析解二阶系统的阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数时，系统的输出信号随时间的变化情况。
阶跃响应是研究系统动态特性的重要指标之一，可以反映系统的稳定性、动态特性以及对输入信号的响应能力。
本文将从二阶系统的定义、阶跃响应的解析解推导以及实际应用等方面进行论述。
我们先来了解二阶系统的定义。
二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统，一般形式为：H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)其中，K为系统的增益，ζ为阻尼比，ωn为系统的自然频率，s为复变量。
阶跃响应的解析解是指通过对传递函数进行解析运算，得到的系统输出与时间的函数关系。
对于二阶系统的阶跃响应，可以通过拉普拉斯变换和反变换的方法进行求解。
具体求解过程如下：1. 将传递函数H(s)进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数表达式：H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)2. 将输入信号的拉普拉斯变换表达式为1/s，代入传递函数表达式中，得到系统的输出信号的拉普拉斯变换表达式：Y(s) = K/(s(s^2 + 2ζωns + ωn^2))3. 对上述表达式进行部分分式分解，将其分解为多个简单分式的和的形式：Y(s) = A/s + (Bs + C)/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)4. 对上述分式进行反变换，得到系统的输出与时间的函数关系：y(t) = A + (Bcos(ωdt) + Csin(ωdt))e^(-ζωnt)其中，A、B、C为待定常数，ωd为系统的阻尼角频率。
通过上述推导过程，我们得到了二阶系统的阶跃响应的解析解。
根据解析解的形式，我们可以看出阶跃响应的特点：随着时间的增加，系统的输出会逐渐趋向于稳定状态，同时存在振荡和衰减的现象。
其中，振荡的频率和衰减的速度受到系统的阻尼比和自然频率的影响。
二阶系统的阶跃响应在实际应用中具有重要的意义。
例如，在控制系统中，阶跃响应可以用来评估系统的性能指标，如超调量、调节时间等。
二阶系统的阶跃响应
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
Step Response
e(t ) r (t ) y (t ) 1 y (t )
Amplitude
1
=0.3,n=10
0.8
e nt 1
2
sin(n 1 2 t )，t 0
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应 1 当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) ，有： s 2 1 n 1 C ( s ) ( s ) 2 2 s s 2 n s n s 2 1 n 1 1 1 c(t ) L [( s) ] L [ 2 ] 2 s s 2 n s n s
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 2 C ( s) n R( s ) s( s 2 n ) 典型结构的二阶系统如图所示。 2 n 开环传递函数为: G( s) 2 s 2 n s 2 n G( s ) 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n ( s ) 称为典型二阶系统的传递函数， n 称为 称为阻尼系数， 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为：
阶跃响应函数为：
2
s1, 2 n
1 n n2 1 1 n C ( s) 2 s s 2n s n 2 s( s n )2 s s n ( s n )2
2._实验二_二阶系统阶跃响应
实验二二阶系统阶跃响应一、实验目的1. 研究二阶系统的特征参数，阻尼比?和无阻尼自然频率3n对系统动态性能的影响，定量分析g和3n 与最大超调量o p和调节时间ts之间的关系。
2. 进一步学习实验系统的使用。
3. 学会根据系统的阶跃响应曲线确定传递函数。
4. 学习用MATLAB仿真软件对实验内容中的电路进行仿真。
二、实验原理典型二阶闭环系统的单位阶跃响应分为四种情况：1) 欠阻尼二阶系统如图1所示，由稳态和瞬态两部分组成：稳态部分等于1,瞬态部分是振荡衰减的过程，振(1) 性能指标：调节时间ts：单位阶跃响应C(t)进人±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再超出该误差带的最小时间。
超调量0% ;单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
峰值时间tp：单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
结构参数§ :直接影响单位阶跃响应性能。
(2) 平稳性：阻尼比§越小，平稳性越差(3) 快速性：§过小时因振荡强烈，衰减缓慢，调节时间ts长，§过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差。
=0.7调节时间最短，快速性最好。
4 =0.7时超调量。
％〈5%, 平稳性也好，故称4 =0.7为最佳阻尼比。
2) 临界阻尼二阶系统(即4 =1)系统有两个相同的负实根，临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是无超调的，无振荡单调上升的, 不存在稳态误差。
3） 无阻尼二阶系统（§= 0时）此时系统有两个纯虚根。
4） 过阻尼二阶系统（§>1）时此时系统有两个不相等的负实根，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无振荡无超调无稳态误 差，上升速度由小加大有一拐点。
三、实验内容1. 搭建模拟电路典型二阶系统的闭环传递函数为：7?（5） s 2 + 2 事叫 s + 其中，?和con 对系统的动态品质有决定的影响。
搭建典型二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应：二阶系统模拟电路图其结构图为:系统闭环传递函数为：皿应式中，T 二RC, K=R2/R1 o 比较上面二式，可得：wn =1/T=1/RC g 二K/2二R2/2R1。
二阶系统阶跃响应实验报告
二阶系统阶跃响应实验报告实验报告：二阶系统阶跃响应一、实验目的1.了解二阶系统的阶跃响应特点；2.掌握二阶系统阶跃响应的测量方法；3.理解参数对二阶系统阶跃响应的影响。
二、实验原理二阶系统是指一个包含两个能量存储元件（电容、电感）的系统。
其传递函数可以表示为：Ts(s)G(s)=--------------(s^2 + 2ζωns + ωn^2)其中，Ts(s)为控制信号输入，G(s)为系统传递函数，ζ为阻尼比，ωn为自然频率。
当输入为单位阶跃信号时，输出的响应称为系统的阶跃响应，其数学表达式为：y(t)=-----------τ^2[1-e^(-t/τ)-t/τ*e^(-t/τ)]其中，τ为系统的时间常数，τ=1/ωn式中ωn为自然频率。
实验步骤1.搭建二阶电路系统，并接入信号发生器和示波器。
2.调节信号发生器产生单位阶跃信号，并将信号接入二阶电路系统中。
3.调节示波器进行观测，并记录输出信号的波形。
4.根据记录的波形数据，计算系统的时间常数τ、阻尼比ζ和自然频率ωn。
5.改变二阶电路系统中的参数（如电感或电容值），重新进行实验并记录数据。
6.分析不同参数对二阶系统阶跃响应的影响。
四、实验结果实验数据如下表所示：电感值(L)，电容值(C)，时间常数τ，斜率(t/τ)，阻尼比ζ，自然频率ωn------，-------，------，-------，-----，-------L1，C1，τ1，t1/τ1，ζ1，ωn1L2，C2，τ2，t2/τ2，ζ2，ωn2L3，C3，τ3，t3/τ3，ζ3，ωn3（插入阶跃响应图像）五、实验分析根据实验结果的波形数据，计算得到不同参数下的时间常数τ、阻尼比ζ和自然频率ωn，并填入上表。
通过对比不同参数下阶跃响应的图像，可以得出以下结论：1.时间常数τ：时间常数τ代表系统响应到达稳态所需的时间。
一般来说，时间常数越小，系统的响应速度越快。
根据实验数据的对比可以发现，当电感或电容值增加时，时间常数τ也相应增大，表示系统的响应速度减慢。
二阶电路阶跃响应
二阶电路是指由两个电感和两个电容构成的电路，常用于滤波、放大和振荡等应用。
在二阶电路中，阶跃响应是指当电路输入为阶跃信号时，电路输出的响应情况。
对于一个二阶系统，其阶跃响应可以分为三种情况：
1.无阻尼振荡：当系统存在无阻尼时，即无阻尼系数ζ=0时，系统会出现无阻尼振荡。
此时，系统的输出将会产生一系列周期性的波形，幅值振荡并逐渐趋向于稳定状态。
2.欠阻尼：当系统存在欠阻尼时，即0<ζ<1时，系统的输出将会发生震荡，并逐渐衰
减至稳定状态。
此时，系统的输出将会出现多次衰减的振荡，振荡的频率取决于系统的固有频率ωn和阻尼系数ζ。
3.过阻尼：当系统存在过阻尼时，即ζ>1时，系统的输出将不会发生震荡，而会快速
衰减至稳定状态。
此时，系统的响应将会非常迅速地趋向于稳定状态，但是衰减的速度取决于系统的阻尼系数ζ和固有频率ωn。
总之，二阶电路的阶跃响应会受到阻尼系数ζ、固有频率ωn等多个因素的影响，而不同的参数组合将会导致不同的响应情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体的应用需求选择合适的参数组合以及相应的响应方式。
第三节 二阶系统的阶跃响应图文演示课件.ppt
1、二阶系统的传递函数
我们称二阶微分方程描述的系统为二阶系统，如 图3-10所示的位置随动系统的开环传递函数为：
WK
KK s(Tms 1)
系统的闭环传递函数为：
WB
(s)
Tm s 2
KK s
KK
二阶系统闭环传递函数的标准形式为：
WB (s)
s2
KK 1
/ Tm s
KKΒιβλιοθήκη Tm Tm2019/11/17
3
式中：Tm 二阶系统的时间常数，单位为秒
1 二阶系统的阻尼比，无量纲
2 Tm KK
引入参数n
KK , 称作二阶系统的自然振荡角频率 Tm
或无阻尼振荡频率，单位为rad / s, 则得：
WK
n2 s(s 2n )
WB (s)
Xc (s) Xr (s)
s2
n2 2ns n2
)
sin 1 2 cos arctg 1 2 (阻尼角)
2019/11/17
第三章 控制系统的时域分析
11
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t) 的第一项是稳
态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正 弦振荡，其振荡频率为：
d n 1 2
Cx(ct()t )
单位阶跃输入时，R(s) 1 ，输出的拉氏变换为： s
Xc (s)
1 s
s
2
n2 n2
1 s
s2
s
n2
xc (t) 1 cosnt
响应为等幅振荡，n 为系统的无阻尼自然频率。
2019/11/17
d 称为阻尼自然振荡频率。
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乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
(l) 第一列所有系数均不为零的情况
第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，
特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。
方程式的
根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是， 方程式的各项系数全部为正值， 并且劳斯表
8
的第一列都具有正号。 例如， 三阶系统的特征方程式为
c( )
3. 调整时间 ts t s (5%) t s (2%)
1
1
[3 ln(1
2 )]
n
2
1
1
[ 4 ln(1
2 )]
n
2
3 ，0
n
4 ，0
n
0.707 0.707
图 3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线
图 3-14 调节时间和阻尼比的近似关系
6
根据以上分析， 二阶振荡系统特征参数 ζ和 ω n 与瞬态性能指标 (δ
4. 振荡次数 μ
在调整时问 ts 之内，输出 c(t) 波动的次数称为振荡次数 μ，显然
ts tf
2 式中 t f
d
2
，称为阻尼振荡的周期时间。
n1
2
1 s 2T 2 S2 2TS 1
这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为：
最大超调百分数
% e ( / 1 2 ) 100% 4.3%
上升时间
调整时间
4. 无阻尼 (ζ ＝ 0)
其时域响应为 在这种情况下，系统的响应为等幅
Cs
2
n
s(s2
2 n
)
c t 1 cos nt
(不衰减 )振荡，
5
图 ζ＝ 0 时特征根的分布
图 ζ＝ 0 时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼（ ζ＜ 0）
当 ζ ＜0 时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的
e 的指数将是正的时间
tr
由此式可见，阻尼比 ζ越小，上升时间 t r 越小，反之则 t r 越大。
d
n1
2
tr 则越小； ζ 越大则 t r 越大。固有频率 ω n 越大，
2. 峰值时间 tp 及最大超调量 M p
tp
d
n1
2
最大超调量 最大超调百分数
M p cmax c( ) e ( / 1 2 ) c % cmax c( ) e ( / 1 2 ) .100%
第 3 章 辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
xr ( t)
0, t 0 A, t 0
式中 A 为常数。 A 等于 1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为
单位阶跃函数的拉氏变换为
xr(t) ＝ l(t) ，或 xr(t)=u(t)
X r(s)=L[1(t)]=1/s 在 t＝ 0 处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当
于给定值突然变化或者突然变化的扰动量； 对于随动系统， 相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
xr (t)
0, t 0 At, t 0
式中 A 为常数。该函数的拉氏变换是 X r(s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，
称为单位斜坡函数，如图所示。
s
Kk s2 s K k
Kk 4
与二阶系统标准形式的传递函数
2
s
n
s2 2 n s
2 n
对比得： (1) 固有频率
n
Kk
42
(2) 阻尼比 (3) 超调
由2 %
n 1得 e ( / 1 2 )n
1 2n
100%
0.25 47%
(4) 调整时间 t s 5%
3 6s
n
当要求
1
1
时，由 2 n 1 得 n
劳斯表为
s4
1
11
s3
2
20
s2 ( 0) 1
s1
2 2
0
s
1
现在观察第一列中的各项数值。当
ε 趋近于零时， 2
2
的值是一很大的负值，因此可
以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。 由此得出结论， 该系统特征方程式有两个根 具有正实部，系统是不稳定的。
如果零 (ε )上面的系数符号与零 ( ε)下面的系数符号不变， 则表示系统有纯虚根。 例如，
3
一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如 发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为
RC 网络、
C (s)
取 C(s)的拉氏反变换得
1 11 T (s) R( s)
1
。
2 nTm
二阶系统的闭环特征方程为
其特征根为
s2 +2ζ ω ns+ω 2n=0
4
s1,2
21 n
1. 临界阻尼 (ζ=1)
其时域响应为
上式包含一个衰减指数项。
c t 1 e nt (1 nt)
c(t) 为一无超调的单调上升曲线，如图
3-8b 所示。
(a)
(b)
(c)
ζ≥ 1 时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
2. 过阻尼 (ζ ＞ 1)
具有两个不同负实根 [ s1 , s2 (
2 1) n ] 的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换
式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。
图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼（ 0<ζ ＜1）
图 3-9 0<ζ ＜ 1 时二阶系统特征根的分布
图 3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
,K k
2
2
2 n
0.5
可见该系统要满足工程最佳参数的要求， 值将增大系统的误差。
须降低开环放大系数 K k 的值。 但是， 降低 K k
7
劳斯稳定判据
将系统的特征方程式写成如下标准式
a0 sn a1 sn 1 a2 sn 2
an 1 s an 0
将各系数组成如下排列的劳斯表
sn a0 a2 a4 a6 sn 1 a1 a3 a5 a7 sn 2 b1 b2 b3 b4 s n 3 c1 c 2 c3 c4
s5 1 1 4 s4 2 3 5 s3 1 3 0 s2 9 5 0 s1 32 s0 5
由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由
+2 变成 -1，又由 -1 改变成 +9 。
因此该系统有两个正实部的根，系统是不稳定的。
(2) 某行第一列的系数等于零而其余项中某些项不等于零的情况
在计算劳斯表中的
零的一项， 这表示在 s 平面内存在一些大小相等但符号相反的特征根。
在这种情况下，
可利用全零行的上一行各系数构造一个辅助方程，式中
s 均为偶次。将辅助方程对 s 求导，
用所得的导数方程系数代替全零行， 然后继续计算下去。 至于这些大小相等， 符号相反的根，
可以通过解辅助方程得到。
系统特征方程式为
s6 2s5 8 s4 12s3 20 s2 16s 16 0
函数，因而 e nt 为发散的，系统是不稳定的。
显然， ζ ≤ 0 时的二阶系统都是不稳定的，
而在 ζ ≥ 1 时，系统动态响应的速度又太慢，
所以对二阶系统而言， 欠阻尼情况是最有实际意义的。 下面讨论这种情况下的二阶系统的动
态性能指标。
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
1. 上升时间 tr
上升时间 tr 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。
各元素的数值时， 如果某行的第一列的数值等于零， 而其余的项中某些项不等于零， 那么可
以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项， 然后按照通常方法计算阵列中其余各项。 如果
零 (ε )上面的系数符号与零 (ε )下面的系数符号相反，则表明这里有一个符号变化。
例如，对于下列特征方程式
s4 2 s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解
劳斯表中的
6
3
s ～ s 各项为
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0 s4 1 6 8
s3 0 0 0
由上表可以看出， s3 行的各项全部为零。为了求出 s3 - s0 各项，将 s4 行的各项组成辅
助方程为
A(s) s4 6s2 8
将辅助方程 A(s) 对 s 求导数得
a0 s3
列出劳斯表为
s3 s2 s1
s0
则系统稳定的充分必要条件是
a1s2 a2 s a3 0
a0
a2
a1
a3
a1a2 a0a3
a1 a3
a0 0 ， a1 0 ， a2 0 ， a3 0 ， ( a1a2 a0 a3 ) 0
系统的特征方程为
s5 2s4 s3 3s2 4 s 5 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表
在 t＝ t0 处的单位脉冲函数用 δ (t-t0)来表示，它满足如下条件 幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。 单位脉冲函数 δ (t) 可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即 反之，单位脉冲函数 δ (t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标
表中的有1
so g 1
b1 a1a2 a0a3 a1
b2 a1a4 a0 a5 a1