2018版第2章2.3.2第1课时等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)2.会用错位相减法求数列的和.(难点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.[基础·初探]教材整理等比数列的前n项和阅读教材P48～P50，完成下列问题.等比数列的前n项和公式1.设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为________.【解析】∵a5＝a1q4，∴q＝±2.∵q>0，∴q＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝27－12－1＝127.【答案】 1272.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________.【解析】 ∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或－4.【答案】 3或－43.等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 【解析】 由S 5＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝44，得a 1＝4. 【答案】 44.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.【解析】 由8a 2＋a 5＝0， 得a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，所以q ＝－2.S 5S 2＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1－(－2)51－(－2)2＝－11.【答案】 －11[小组合作型]等比数列的前n项和公式的基本运算在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若a3＝32，S3＝92，求a1和公比q.【精彩点拨】利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量.【自主解答】(1)法一：由S n＝a1(1－q n)1－q，a n＝a1q n－1以及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a1(1－2n)1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1.∴189＝a1(2n－1)＝a1⎝⎛⎭⎪⎫192a1－1，∴a1＝3.又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.法二：由公式S n＝a1－a n q1－q及条件得189＝a1－96×21－2，解得a1＝3，又由a n＝a1·q n－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(2)①当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，又a 3＝a 1·q 2＝32，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92， 即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6. ②当q ＝1时，S 3＝3a 1，∴a 1＝32.综上得⎩⎨⎧a 1＝6，q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝1.1.在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.[再练一题]1.在等比数列{a n }中， (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8;【导学号：18082035】(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. 【解】 (1)法一：设首项为a 1，∵q ＝2，S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.法二：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，且q ＝2，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q (1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝10， ①a 1q 3(1＋q 2)＝54， ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12， ∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.等比数列前n 项和公式的实际应用 借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)【精彩点拨】解决等额还贷问题关键要明白以下两点(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少.【自主解答】法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×102 1.016－1.∵1.016＝1.061，∴a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元.法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元).另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元). 由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元.解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求,①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.,②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.[再练一题]2.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2014年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2014年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2014年最多出口多少吨？(保留一位小数.参考数据：0.910≈0.35.)【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1(n ≥1).(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910).∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3，故2014年最多出口12.3吨.[探究共研型]错位相减法求和探究1 由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列.该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .探究2 在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？【提示】 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ①两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题.我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求出a n ，再利用待定系数法求出b n .(2)先化简c n ，再利用错位相减法求和.【自主解答】 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2， a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4， d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和.(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.[再练一题]3.12＋12＋38＋…＋n2n ＝________.【解析】 令S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，① 则12S n ＝14＋28＋316＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② 由①－②得，12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n1－12－n 2n ＋1，得S n ＝2－22n －n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 【答案】2n ＋1－n －22n1.数列 {2n －1}的前99项和为( )A.2100－1B.1－2100C.299－1D.1－299【解析】 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1. 【答案】 C2.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( )【导学号：18082036】A.2B.12C.4D.14【解析】 a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得，a 4－a 3＝3a 3即a 4＝4a 3，∴q ＝4.【答案】 C3.已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________.【解析】 ∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62，∴a 1(1－q n )1－q＝62， 即a 1(1－25)1－2＝62， ∴a 1＝2.【答案】 24.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________.【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 3，∴a 1＋a 2＝2a 3，∵a 1≠0，∴1＋q ＝2q 2，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝－12或1.【答案】 －12或15.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.【解】 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13 n 1－13＝32－12×3n －1.。