2018版第2章2.3.2第1课时等比数列的前n项和
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2.3.2 等比数列的前n项和
第1课时等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)
2.会用错位相减法求数列的和.(难点)
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
[基础·初探]
教材整理等比数列的前n项和
阅读教材P48～P50，完成下列问题.
等比数列的前n项和公式
1.设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为________.
【解析】∵a5＝a1q4，∴q＝±2.∵q>0，∴q＝2，
∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝27－12－1＝127.
【答案】 127
2.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________.
【解析】 ∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)
1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或－
4.
【答案】 3或－4
3.等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 【解析】 由S 5＝a 1[1－(－2)5]
1－(－2)＝44，
得a 1＝4. 【答案】 4
4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
＝________.
【解析】 由8a 2＋a 5＝0， 得a 5
a 2
＝－8，即q 3＝－8，
所以q ＝－2.
S 5
S 2＝a 1[1－(－2)5]
1－(－2)
a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1－(－2)5
1－(－2)2＝－11.
【答案】 －11
[小组合作型]
等比数列的前n项和公式的基本运算
在等比数列{a n}中，
(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；
(2)若a3＝
3
2，S3＝
9
2，求a1和公比q.
【精彩点拨】利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相
应各个量.
【自主解答】(1)法一：由S n＝
a1(1－q n)
1－q
，a n＝a1q n－1以及已知条件得⎩⎪
⎨
⎪⎧189＝a1(1－2n)
1－2
，
96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，
∴2n＝
192
a1.
∴189＝a1(2n－1)＝a1⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
192
a1－1，
∴a1＝3.
又∵2n－1＝
96
3＝32，∴n＝6.
法二：由公式S n＝
a1－a n q
1－q
及条件得
189＝
a1－96×2
1－2
，解得a1＝3，
又由a n＝a1·q n－1，
得96＝3·2n－1，解得n＝6.
(2)①当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝9
2，
又a 3＝a 1·q 2
＝3
2，
∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92， 即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，
解得q ＝－1
2(q ＝1舍去)，∴a 1＝6. ②当q ＝1时，S 3＝3a 1，∴a 1＝3
2.
综上得⎩⎨⎧
a 1＝6，
q ＝－1
2
或⎩⎨⎧
a 1＝3
2，
q ＝1.
1.在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论
.
[再练一题]
1.在等比数列{a n }中， (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8;
【导学号：18082035】
(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，求a 4和S 5. 【解】 (1)法一：设首项为a 1，∵q ＝2，
S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝1
15，
∴S 8＝a 1(1－q 8
)1－q ＝115
(1－28)1－2
＝17.
法二：∵S 4＝a 1(1－q 4)
1－q
＝1，且q ＝2，
∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q (1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得
⎩
⎨⎧
a 1＋a 1q 2
＝10，
a 1q 3
＋a 1q 5＝54，
即⎩⎨⎧
a 1(1＋q 2
)＝10， ①
a 1q 3(1＋q 2
)＝54
， ②
∵a 1≠0,1＋q 2≠0，
∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12， ∴a 1＝8.
∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫
123
＝1，
S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝
8×⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
1－12
＝312.
等比数列前n 项和公式的实际应用 借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从
借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？