直线与平面平行及平面与平面平行的性质学案
《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学案
第5课时直线与平面、平面与平面平行的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的,影子恰好是与地面的,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子.问题2:直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线.符号表示:错误!未找到引用源。
⇒.图形:面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的平行.用符号语言表示为:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.问题3:面面平行的其他性质:①若两个平面平行,则一个平面内的都和另一个平面.这条性质,给我们提供了证明的另一种方法,可以作为运用.②夹在两平行平面间的两条平行线段,这一点和平面内夹在两条平行线之间的类似.③和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于的两个平面.该性质同时是的一种判定方法.问题4:线线、线面、面面平行如何相互转化:由上可以看出三者之间可以进行适当转化,即由两相交直线和平面平行可以推出两个;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出.直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了知识间的相互依赖关系.1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线().A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在α内2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中().A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有条.4.已知在三棱锥P-ABC中,D,E分别是PA,PB上的点,DE∥平面ABC,求证:错误!未找到引用源。
线面,面面平行判定及性质导学案
2.2.1 直线与平面平行的判定课型：新授 编写：尚辉 袁长涛 滕璐 聂东林 校审：高一数学组 基础知识:1.直线与平面有几种位置关系？用三种语言表述。
2.判断两条直线平行，常用的有几种方法？3.根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点。
但是，直线是无限伸长的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？用三种语言表述直线与平面平行的判定定理。
4.我们知道平行线有传递性，线面的平行有传递性吗？学习任务: 一、必做题：1.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，（1）与AB 平行的平面是____________________； （2）与AA 1平行的平面是____________________； （3）与AD 平行的平面是____________________；2.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，试判断1BD 与平面AEC 的位置关系， 并说明理由。
3.如图，在空间四边形ABCD 中，已知E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
求证：EF ∥平面BCD二、选做题：1.下列命题中正确的个数是 （ ） （1）若直线l 上有无数个点都不在平面α内，则α//l ；（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； （4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点； （5）平行于同一平面的两条直线互相平行。
A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1的中点，求证：EF//平面BDD 1B 1。
3.如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为平行四边形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点。
求证：//AF 平面PCE ；学习报告（学生）： 教学反思（教师）：2.2.1 直线与平面平行的判定课型：习题 编写：尚辉 袁长涛 滕璐 聂东林 校审：高一数学组BAD CEP 1.判断对错（1）直线a 与平面α不平行，即a 与平面α相交． （ ） （2）直线a ∥b ，直线b 平面α，则直线a ∥平面α． （ ） （3）直线a ∥平面α，直线b 平面α，则直线a ∥b ． （ ）2.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的 （ ） Ａ.一条直线不相交 Ｂ.两条直线不相交 Ｃ.任意一条直线不相交 Ｄ.无数条直线不相交3.过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面 （ ） A 不存在 B 有且只有一个或不存在 C 有且只有一个 D 有无数个4.下列三个命题正确的个数为 （ ） （1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行 （2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行 A 0 B 1 C 2 D 35.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合6.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ） A.都平行 B.都相交 C.在这两个平面内 D.至少和其中一个平面平行 7.如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．8.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：//SA 平面MDB .9.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 是PC 的中点．证明：//PA 平面EDB ；10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ．C D A BM PP ABCDEO11.在三棱柱111C B A ABC -中，D 为BC 中点.求证：1//A B 平面1ADC ；12.已知在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为平行四边形，E 是PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：//OE 平面ADP13.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 为AC 的中点，求证:；平面D BC AB 11//14.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：//MN 平面PAD ．2.2.2 平面与平面平行的判定 课型：新授 编写：尚辉 袁长涛 滕璐 聂东林 校审：高一数学组 基础知识:1.平面与平面有几种位置关系？用三种语言表述。
《4.3.1 直线与平面平行》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《直线与平面平行》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“直线与平面平行”。
通过本课的学习，学生将掌握直线与平面平行的基本概念、性质和判定方法，为后续学习空间几何及其他相关数学知识打下基础。
二、学习目标1. 理解直线与平面平行的概念，知道平行直线的定义和性质。
2. 掌握直线与平面平行的判定定理和证明方法。
3. 学会利用平行线的性质和判定定理解决实际问题。
4. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、评价任务1. 评价学生对直线与平面平行概念的理解程度，能否准确描述平行直线的定义和性质。
2. 评价学生掌握直线与平面平行判定定理的熟练程度，能否正确运用定理进行证明。
3. 评价学生应用直线与平面平行知识解决实际问题的能力，能否将所学知识运用到实际问题中。
4. 通过学生的课堂表现、作业完成情况和考试成绩等多方面进行评价。
四、学习过程1. 导入新课：通过复习前一节课的内容，引导学生思考直线与平面的关系，引出本课的主题——直线与平面平行。
2. 新课讲解：首先，教师通过讲解和举例，帮助学生理解直线与平面平行的概念和性质。
然后，重点讲解直线与平面平行的判定定理，并通过具体例子加以说明。
3. 学生练习：学生独立完成相关练习题，巩固所学知识。
教师巡回指导，及时解答学生疑问。
4. 课堂小结：教师总结本课重点内容，强调直线与平面平行的概念、性质和判定定理，并引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。
5. 拓展延伸：介绍一些与直线与平面平行相关的实际应用，如建筑、机械制造等领域的平行线应用，拓展学生的视野。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或随堂练习，检测学生对本课知识的掌握情况。
2. 作业布置：布置相关练习题和思考题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
作业包括基础题和拔高题，满足不同层次学生的需求。
3. 作业评讲：教师评讲作业时，要关注学生的解题思路和过程，及时纠正错误，表扬优秀解题方法。
六、学后反思1. 教师反思：教师反思本课教学过程中的优点和不足，总结经验教训，不断提高教学水平。
空间中直线平面平行的判定及其性质专题复习学案定稿
高三数学学案授课时间: 2013年月日星期执笔：张航审定：张骞班组：高三班第组姓名：1 / 2专题复习：空间中直线、平面平行的判定及其性质学案考纲要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单题.学习目标：知识与能力：.理解线面平行、面面平行的判定及性质定理，并会灵活应用。
过程与方法：.会进行空间线面平行位置关系的转化。
情感态度与价值观：培养学生逻辑推理能力，并能规范的书写论证步骤。
教学过程：环节一：课前自主学习：自主复习必修2的这部分内容，做到能够用自己的语言概括出这部分的主要内容，完成环节三的两个例题。
环节二：知识梳理自己尝试对这部分内容进行知识梳理，并画出知识结构图。
环节三：典例精析：例１:（２０１３全国文改编）如图，直三棱柱111ABC A B C中，D，E分别是AB，1BB的中点，。
证明：1//BC平面11ACD；EDB1C1A CBA12 / 2环节四：巩固练习与拓展应用下面两个练习要试着用多种不同的方法做。
练习１：(2012年辽宁文改编)如图，直三棱柱///ABC A B C中，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
证明：MN ∥平面//A ACC ;:练习２环节五：知识梳理与课堂小结：试着再次对这节课所学的知识和方法进行梳理，画出知识与方法结构图，要加上老师在课上补充的而自己又在环节二没画出的内容。
环节六：完成课后作业。
《直线与平面平行的性质》教案、导学案、课后作业
《8.5.2 直线与平面平行》教案第2课时直线与平面平行的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面平行的性质定理.难点：直线和平面平行的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：观察长方体，可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B 所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？问题2：由直线与平面平行可知直线与平面内的直线关系为平行或异面，那么满足什么条件，直线与平面内的直线平行呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本137-138页，思考并完成以下问题1、平面外的直线与平面内的直线有几种位置关系？2、满足什么条件时平面外一条直线与平面内的直线平行？3、用符号语言怎么表示直线与平面平行的性质定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的性质定理的理解例1 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:①m,n⊂β,②n⊂α,③m∥α,④m∥n.现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .【答案】①②③⇒④或①②④⇒③【解析】结合线面平行的性质定理,可知①②③⇒④,结合线面平行的判定定理,可知①②④⇒③.解题技巧（性质定理理解的注意事项）(1)明确性质定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1、有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l ∥平面α,那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ．【解析】结合线面平行的性质定理,可知过直线外一点,有无数个平面和已知直线平行.题型二 直线与平面平行的性质定理的应用 例2如图所示的一块木料中，棱平行于面.（1） 要经过面内的一点P 和棱将木料锯开， 在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面是什么位置关系？【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交.【解析】（1）如图，在平面A′C′内，过点P 作直线EF ,使EF ∥B′C′，并分别交棱A′B′、C′D′于点E 、F .连接BE 、CF . 则EF 、BE 、CF 就是应画的线.(2)因为棱BC 平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC ∥B′C′.由（1）知，EF ∥B′C′，所以EF ∥BC .而BC 在平面AC 内，EF 在平面AC 外，所以EF ∥平面AC.BC A C ''A C ''BC AC EF AC ,BE CFAC显然, BE 、CF 都与平面AC 相交. 解题技巧 (性质定理应用的注意事项)(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用. (2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.跟踪训练二1、如图,AB,CD 为异面直线,且AB ∥α,CD∥α,AC,BD 分别交α于M,N 两点,求证AM ∶MC=BN ∶ND.【答案】证明见解析【解析】连接AD 交α于点P,连接MP,NP因为CD ∥α,平面ACD∩α=MP, 所以CD ∥MP,所以=.同理可得NP ∥AB,=,所以=.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计AM MCAP PDAP PDBN NDAM MCBN ND七、作业课本139页练习4题，143页习题8.5的1、3、7、10、11题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线平行和线面平行时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.5.2 直线与平面平行》导学案第2课时直线与平面平行的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面平行的性质定理.【学习难点】：直线和平面平行的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本137-138页，填写。
高中数学教案《直线与平面平行的性质
高中数学教案《直线与平面平行的性质》一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握直线与平面平行的性质定理及其证明；能运用性质定理判断直线与平面是否平行。
2. 过程与方法：通过观察、思考、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生勇于探索、严谨治学的科学精神。
二、教学内容：1. 直线与平面平行的定义：直线与平面内的所有直线都不相交。
2. 直线与平面平行的性质定理：如果直线与平面内的两条相交直线分别垂直，该直线与平面平行。
3. 性质定理的证明：利用反证法，证明直线与平面平行。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面平行的性质定理及其证明。
2. 教学难点：性质定理的证明，特别是反证法的运用。
四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线、平面、直线与平面相交等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：讲解直线与平面平行的定义，引导学生理解并掌握。
3. 性质定理的提出：通过实例，引导学生发现直线与平面平行的性质，提出性质定理。
4. 性质定理的证明：引导学生运用反证法证明性质定理，解释证明过程中的关键步骤。
5. 例题讲解：分析并讲解典型例题，帮助学生巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生运用性质定理判断直线与平面是否平行。
五、课后作业：1. 复习课堂内容，巩固直线与平面平行的性质定理。
2. 完成课后练习题，提高运用性质定理解决问题的能力。
3. 探索更多直线与平面平行的性质，拓展知识面。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对直线与平面平行性质定理的理解和掌握程度。
2. 评价方法：通过课堂回答、练习题和课后作业，评估学生的学习效果。
3. 评价内容：a) 学生能否准确表述直线与平面平行的性质定理。
b) 学生能否运用性质定理判断直线与平面是否平行。
c) 学生能否在解决实际问题时，灵活运用所学知识。
七、教学策略：1. 采用直观教学法，利用教具和图形，帮助学生建立空间概念。
直线与平面平行性质 导学案
数学必修2 导学案………………………..装……………………订……………………线……………………….直线与平面平行性质导学案日期______编写______审定_______一、学习目标：1.通过直观感知、操作确认、认识和理解空间中线面平行的性质2.掌握直线和平面平行的性质，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理3.掌握“线线”“线面”平行的转化二、重点、难点重点：两个性质定理。
难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用三、知识链接预习教材P58—P60，找出疑惑之处复习1:两个平面平行的判定定理是_______________________________________________它的实质是由______________平行推出________________平行问题：如果直线a与平面α平行，那么a和平面α内的直线具有什么样的关系。
四、学法指导：线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点.本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例.另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助五、学习内容探究：直线与平面平行的性质定理问题1：直线a平面α平行。
请在图中的平面α内画出一条和直线a平行的直线b问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面（为什么?）请在上图中把直线a，b确定的平面画出来，并且表示为β问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线a，b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b又是平行的。
因此你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面。
问题4：在上图中过直线a再画另外一个平面γ与平面α相交，交线为c。
直线a，c平行吗？和你上面得出结论相符吗？你能不能从理论上加以证明呢？新知：直线与平面平行的性质定理：_________________________________________________________________反思：定理的实质是什么？__________________________________________典型例题例1：如图所示的一块木料中，棱BC平行于面''CA（1）要经过面''CA内的一点P和棱BC将木栏锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？变式训练：如图，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.………………………..装……………………订……………………线……………………….点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2：如图，已知直线a ，b ，平面α，且a//b ，a//α，a ，b 都在平面α外。
线面平行的判定与性质导学案
8.4 直线、平面平行的判定与性质（学案）【考点分布】直线和平面平行的判定和性质；两个平面平行的判定和性质.【考试要求】认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.【基础知识】1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内：直线和平面的公共点的个数是 ；符号表示为: . （2）直线和平面相交：直线和平面的公共点的个数是 个公共点；符号表示为: .（3）直线和平面平行：直线和平面的公共点的个数是 个．符号表示为: ．2.直线和平面平行（1）定义：若一直线与一平面 ，则直线与平面平行.（2）判定定理：若 一直线与 一直线平行，则平面外这直线平行于平面.（3）性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．3.两个平面平行（1）定义：若两个平面 ，则这两个平面平行.（2）判定定理：如果一个平面内的 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（3）性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 ，那么它们的交线平行． 【基础练习】1.βα、表示平面，b a 、表示直线，则a ∥α的一个充分不必要条件是 （ ）(A)α⊥β，a ⊥β (B)α∩β＝b ，且a ∥b(C) a ∥b 且b ∥α (D)α∥β且a ⊂β； 2.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面βα//的条件是 （ ） (A)n m ,是α内一个三角形的两条边，且ββ//,//n m (B)α内有不共线的三点到β的距离都相等 (C) βα,都垂直于同一条直线a(D)n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m ；3. 一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(A)异面(B)相交(C)平行(D)不能确定4.设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面βα、，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 (A) 1种 (B) 2种 (C) 3种 (D) 4种5.若,a b 是两条异面直线, 则存在唯一确定的平面β, 满足 ( )(A) //a β且//b β (B) a β⊂且//b β (C) a β⊥且b β⊥ (D) a β⊂且b β⊥6. a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，γβα、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）【典型例题】题型一： 线面平行的判断与性质例 1 两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB,M ∈AC,N ∈FB,且AM=FN,求证：MN ∥平面BCE.变式练习 ：1.如图,四面体A —BCD 被一平面所截,截面EFGH 是一个矩形.(1)求证：CD ∥平面EFGH .(2)求异面直线AB 、CD 所成的角.αE C AN PM D B β 2. 异面直线AB 、CD 分别与两个平行平面α和β相交于A 、B 和C 、D ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，求证：MN //α．题型二：面面平行判定与性质例2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，321G G G 、、分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.(1)求证：平面321G G G //平面ABC; (2) 求ABC G G G S S ∆∆:321变式练习：1. 如图所示，在棱长为2cm 的正方体''''D C B A ABCD -中，''B A 的中点是P ，问过点'A 作与截面PBC 1平行的截面也是三角形吗？该截面的面积.C2.已知：平面α、β 都垂直于平面γ，交线分别为a 、b ，且a //b ． 求证：α//β．1.已知a 、b 表示直线，α表示平面，给出四个命题： ①a //b , b ⊂α, 则a //α; ②a //α, b ⊂α, 则a //b ; ③a //α, b //α, 则a //b ; ④a //b , b //α, 则a //α. 其中正确命题的个数为 ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )32．直线a 平行于平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于a 的直线是 ( ) (A )只有一条，但不一定在平面α内 (B )只有一条，一定在平面α内 (C )有无数条，但不都在平面α内 (D )有无数条，都在平面α内 3．a 和b 是异面直线，下列结论正确的是 ( ) (A )过不在a 、b 上的任一点，可以作一个平面与a 、b 都平行 (B )过不在a 、b 上的任一点，可以作一条直线与a 、b 都相交 (C )过不在a 、b 上的任一点，可以作一条直线与a 、b 都平行 (D )过a 可以作一个并且只能作一个平面与直线b 平行β α a bB dc Aγα a A α' c β' l β B b 4．下列命题中错误的是 ( ) (A )平行于同一条直线的两个平面平行 (B )平行于同一平面的两个平面平行 (C )垂直于同一直线的两个平面平行(D )过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个5．已知直线a ，b ，c 与平面α，β，γ ，下列条件中能推出α//β的是 ( ) (A )a ⊂α，b ⊂β，a //b (B )a ⊂α，b ⊂α，a //β，b //β (C )a ⊥α，b ⊥β，a //b (D )α⊥γ，β⊥γ6．已知线段AB 和CD 是夹在两平行平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，AB =2，AB 与平面成30︒的角．则线段CD 的长度的范围是 ( )(A )⎪⎭⎫⎝⎛32,332 (B )⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,332 (C )⎪⎭⎫⎝⎛332,1 (D )[1,+∞) 7．已知a 、b 是相交直线，且a 平行于平面α，那么b 与α的位置关系是 ．8．AB 、CD 是夹在两个平行平面α、β间的线段，AB =13，CD =15，AB 、CD 在β上射影的长的和是14，那么AB 在平面β内的射影的长为 ；α与β之间的距离为 ．9．在△ABC 中，AB =5，AC =7，∠BAC =60︒，G 是△ABC 的重心，过点G 的平面α与BC 平行，AB α=M , AC α=N ，则MN = ．10. 给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。
优秀教案14-直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质
优秀教案14-直线与平⾯平⾏的性质、平⾯与平⾯平⾏的性质2.2.3直线与平⾯平⾏的性质2.2.4平⾯与平⾯平⾏的性质教材分析直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的性质属于⽴体⼏何初步的知识.在此之前，学⽣已经学习了点、直线、平⾯之间的位置关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作⽤.本节内容是学⽣学过的直线与平⾯平⾏及平⾯与平⾯平⾏的判定的延续，它是⽴体⼏何中起承上启下作⽤的核⼼知识之⼀，因此，在⽴体⼏何中占据重要的位置.课时分配本节需要1课时教学⽬标重点：直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的性质定理的探索、理解、表达和应⽤.难点：直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的性质定理的证明与应⽤.知识点：掌握两性质定理，并能⽤数学符号语⾔表⽰，理解两个平⾏平⾯的公垂线、公垂线段、距离的定义，同时掌握性质定理的应⽤.能⼒点:学⽣通过观察，借助实物模型，推理论证后整理得到两性质定理，并能⽤该定理来解决⼀些问题.教育点:体会探究的乐趣，激发学习的热情，进⼀步提⾼学⽣的空间想象能⼒.⾃主探究点: 直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的性质定理.考试点: 两性质定理的应⽤.易错易混点: 对平⾏的意义理解不深刻.拓展点：平⾯问题与空间问题之间的转化.教具准备多媒体课件和三⾓板课堂模式学案导学⼀、引⼊新课:1、复习引⼊请同学们回顾⼀下：（1）直线与平⾯平⾏的判定定理？（2）直线与平⾯的位置关系？（3）思考：如果直线和平⾯平⾏、那么这条直线与这个平⾯内的直线是有什么位置关系？【师⽣活动】投影幻灯⽚，师⽣共同复习，并讨论思考题.【设计意图】复习巩固前⾯所学知识，为本节课的学习奠定基础.⼆、探究新知(⼀)思考题：（1）如果⼀条直线与⼀个平⾯平⾏，那么这条直线与平⾯内的直线有哪些位置关系？（2）⿊板的下底边沿所在的直线与⽔平⾯平⾏，那么如何在⽔平⾯内找与⿊板下底边沿所在直线平⾏？【师⽣活动】学⽣独⽴思考2~3分钟，再⼩组讨论、交流、分享，教师适时点拨学⽣.【设计意图】通过讨论板书加深学⽣对知识的理解.培养学⽣书写的能⼒.师⽣共同归纳得出结论：如果⼀条直线a与⼀个平⾯α平⾏,那么在这个平⾯α内⼀定可以找到直线与该直线a平⾏.(⼆)直线与平⾯平⾏的性质定理直线与平⾯平⾏的性质：⼀条直线与⼀个平⾯平⾏，则过这条直线的任⼀平⾯与此平⾯的交线与该直线平⾏.符号表⽰：////a a a b b αβαβ??=?数学思想： (线⾯平⾏?线线平⾏）【师⽣活动】学⽣讨论，⽼师点拨．【设计意图】总结出直线与平⾯平⾏的性质定理，并能借助数学符号进⾏深⼊理解，体会数学思想在数学中的应⽤. (三)平⾯与平⾯平⾏的性质定理思考：如果平⾯βα//,那么平⾯α内的直线a 和平⾯β内的哪些直线平⾏？怎么找出这些直线？【师⽣活动】学⽣独⽴思考，接下来⼩组讨论、交流，教师适时点拨.【设计意图】在教师的启发下，师⽣共同概括完成上述结论及证明过程，从⽽得到两个平⾯平⾏的性质定理.结论：过直线a 做平⾯与平⾯β相交,则交线和直线a 平⾏.平⾯与平⾯平⾏的性质定理：如果两个平⾏平⾯同时和第三个平⾯相交，那么它们的交线平⾏.符号表⽰：b a b a ////==γβγαβα证明：因为a αγ= ，b βγ= ，所以,a b αβ??，⼜因为//αβ，所以,a b 没有公共点，⼜因为,a b 同在平⾯γ内，所以a b .【师⽣活动】学⽣讨论，⽼师点拨．【设计意图】总结出平⾯与平⾯平⾏的性质定理，并能借助数学符号进⾏深⼊理解，体会数学思想在数学中的应⽤. （四）⾯⾯距离的有关概念1、两个平⾏平⾯的公垂线：和两个平⾏平⾯同时垂直的直线.2、两个平⾏平⾯的公垂线段：两个平⾏平⾯的公垂线夹在这两个平⾏平⾯间的部分.3、两个平⾏平⾯的距离：两个平⾏平⾯的公垂线段的长度. 【师⽣活动】学⽣讨论，⽼师点拨．【设计意图】⾯⾯距离实质上是点⾯距离，⾯⾯距离也是这两个平⾏平⾯内两个动点间的最短距离. 三、理解新知1）两定理中三个条件缺⼀不可.2）作⽤：两性质定理可以作为判断直线与直线平⾏的重要依据.3）提供了过已知平⾯内⼀点作与该平⾯的平⾏线相平⾏的直线的⽅法，即：辅助平⾯法．四、运⽤新知例1．⽊⼯⼩罗在处理如图所⽰的⼀块⽊料时，发现该⽊料表⾯ABCD 内有⼀条裂纹DP ，已知BC ∥平⾯AC ．他打算经过点P 和BC 将⽊料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？探索：1）怎样确定截⾯（由哪些条件确定）？ 2）所画的线与平⾯AC 是什么位置关系？师分析：经过⽊料表⾯A C ''内⼀点P 和棱BC 将⽊锯开，实际上是经过BC 及BC 外⼀点P 作截⾯，也就是作出平⾯与平⾯的交线，现在请⼤家思考截⾯与平⾯A C ''的交线EF 与BC 的位置关系如何？怎样作？⽣：由直线与平⾯平⾏的性质定理知BC ∥EF ，⼜BC ∥B C ''，故只须过点P 作EF ∥B C ''即可. 解：（1）如图，在平⾯A C''内，过点P 作直线EF ，使EF ∥B C ''，并分别交棱A B ''，C D ''于点E ，F .连接BE ,CF ,则EF 、BE 、CF 就是应画的线.（2）因为棱BC 平⾏于平⾯A C ''，平⾯BC '与平⾯A C ''交于B C ''，所以，BC ∥B C ''.由（1）知，EF ∥BC ，因此BE 、CF 显然都与平⾯AC 相交.教师板书第⼀问，学⽣完成第⼆问，教师给予点评.巩固所学知识培养学⽣空间想象能⼒，转化化归能⼒及书写表达能⼒.变式训练1：如图：四⾯体A BCD -被⼀平⾯所截，截⾯EFGH 是⼀个矩形，求证：CD //平⾯EFGH .证明：∵截⾯EFGH 是⼀个矩形，∴//EF GH ，⼜GH ?平⾯BCD ,EF ?平⾯BCD ,∴EF //平⾯BCD ，⽽EF ?平⾯ACD ，平⾯ACD ∩平⾯BCD ＝CD ∴EF // CD ，∴CD //平⾯EFGH .C ′A B D A ′ B ′ D ′ C · P D【师⽣活动】例1让学⽣独⽴进⾏,然后师⽣交流分享;变式题师⽣交流后教师讲解板书. 【设计意图】培养学⽣解题能⼒及灵活思考的⽅法和习惯. 师投影例2并读题，学⽣思考.例2．已知平⾯外的两条平⾏直线中的⼀条平⾏于这个平⾯，求证：另⼀条也平⾏于这个平⾯.变式训练2：．求证：如果⼀条直线和两个相交平⾯平⾏，那么这条直线和它们的交线平⾏．分析：1）⽤数学符号语⾔描述上述命题，写出已知和求证； 2）⽤图形语⾔描述上述命题，即画出相应图形； 3）综合利⽤线⾯平⾏的性质定理与判定定理解答本题．已知：如图：//a α,//a β,b αβ= ，求证：//a b .解析：本题可利⽤线⾯平⾏的性质定理来证明线线平⾏.证明: 如图，过a 作平⾯γ、δ，使得γ∩α＝c ，δ∩β＝d ，那么有////////////////c d c a a c c d c c b a ba cb a d ac γαβααβγβαβ==?????同理同理【师⽣活动】学⽣思考，教师点拨，体会直线与平⾯平⾏的性质定理和判定定理的综合使⽤.【设计意图】培养学⽣应⽤性质定理解题的能⼒. 例3.求证:夹在两个平⾏平⾯间的平⾏线段相等. ⾸先要将⽂字语⾔转化为符号语⾔和图形语⾔：已知：//αβ，AB CD ∥，,,,A D B C ααββ∈∈∈∈.求证：AB CD =.解析：利⽤什么定理？（平⾯与平⾯平⾏性质定理）关键是如何得到第三个相交平⾯. 证明：因为AB CD ∥，所以过AB 、CD 可作平⾯γ,且平⾯γ与平⾯α、平⾯β分别交于AD 和BC ，因为//αβ，所以//AD BC .所以四边形ABCD 是平⾏四边形所以AB CD =点评：⾯⾯平⾏?线线平⾏. 变式训练3：判断下列结论是否成⽴：①过平⾯外⼀点，有且仅有⼀个平⾯与已知平⾯平⾏；（）②αββγαγ若∥，∥，则∥；（）③平⾏于同⼀个平⾯的两条直线平⾏；（）④两个平⾯都与⼀条直线平⾏，则这两个平⾯平⾏；（）⑤⼀条直线与两个平⾏平⾯中的⼀个相交，则必与另⼀个相交.（）【师⽣活动】例1学⽣交流讨论形成结果，变式题让学⽣独⽴进⾏. 【设计意图】加深巩固平⾯与平⾯平⾏性质定理的应⽤，引导学⽣学会寻找第三个相交平⾯. 例题4.已知：如下图，四棱锥S ABCD -底⾯为平⾏四边形，E F 、分别为边AD 、SB 中点.ααβ b α a c d αδγ求证：EF ∥平⾯SDC .解析：证线⾯平⾏，需证线线平⾏.变式训练4：已知：正⽅体1111ABCD A B C D ，E F 、分别为棱BC 、11C D 中点，求证：EF //平⾯11BB D D【师⽣活动】学⽣思考，教师点拨，体会平⾯与平⾯平⾏的性质定理和判定定理的综合使⽤. 【设计意图】培养学⽣应⽤性质定理解题的能⼒. 五、课堂⼩结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想与⽅法？学⽣回答:知识上直线与平⾯平⾏的性质定理及其应⽤；思想上空间问题与平⾯问题之间的相互转化；⽅法上辅助平⾯法，即构造辅助平⾯，以实现线线平⾏与线⾯平⾏间的相互转化．教师总结：转化的数学思想，即线线平⾏、线⾯平⾏及⾯⾯平⾏之间的相互转化.转化的关系如下：【师⽣活动】学⽣总结，教师板书. 【设计意图】提⾼学⽣的概括能⼒. 六、布置作业必做题:（1）书⾯作业课本第62页习题2.2A 组题5、6；线线平⾏线⾯平⾏线线平⾏判定定理性质定理线⾯平⾏⾯⾯平⾏线线平⾏判定定理性质定理（2）丛书第136-137页．选做题：学习丛书第138页．七、教后反思本节课主要运⽤了探究性教学.对于性质定理的学习，不是⽣硬地直接告诉学⽣线⾯平⾏、⾯⾯平⾏的性质定理，⽽是通过设置⼀个个问题,层层不断地分析处理，最后让学⽣归纳出两个性质定理，这样不但让学⽣对定理有准确的把握，⽽且对他们也进⾏了学习⽅法和思维⽅法的指导，即尝试⽤从特殊到⼀般、转化等思想解决问题,使他们掌握了处理问题的⽅法.从实际教学效果来看，设计探究与思考，激起了学⽣的思维；培养学⽣团结合作意识，调动了学⽣的积极性，培养了学⽣的分析归纳能⼒，体现了学⽣主体性，使课堂教学成为学⽣亲⾃参与的充满丰富⽣动的数学思维活动的场所. 另外，学⽣做题不够规范，符号语⾔表⽰不太准确，应加强学⽣做题规范性的训练. ⼋、板书设计2.2.3 -2.2.4直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的性质⼀、直线与平⾯平⾏的性质定理⼆、例题三、⼩结例1 例2 b a b a a ////=?βαβα例3 例4 四、作业布置⼆、平⾯与平⾯平⾏的性质定理变式b a b a ////==γβγαβα。
直线和平面平行、平面和平面平行的性质学案
《直线与平面平行的性质》学案【学习目标】掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.【问题导学】1.教材第58页，思考（1）（2）；结论：（1）一条直线与平面平行，能不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行？（2）直线a与平面α平行，_____________，则直线a就平行于这条__线。
师生共同完成该结论的证明过程。
定理：_______________________________________________________.简记为：________平行则______平行。
符号表示：作用：利用该定理可解决____________的平行问题。
【问题探究】例3 思考：3．已知：b a //，α//a ，α⊄b 。
求证：.//αb证明：如图，过直线a 作一个平面β，使c =βα ，α//a ，________,________由性质定理得c a //，又b a //，由________可得c b //，α∉b ，α∈c ，得.//αb【课堂训练】 1. 课本第61页练习题2.如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( )A 、一条直线不相交B 、两条直线不相交C 、无数条直线不相交D 、任意一条直线都不相交3. 直线a ∥面α，面α内有n 条互相平行的直线，那么这n 条直线和直线a ( )A 、全平行B 、全异面C 、全平行或全异面D 、不全平行也不全异面4.直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线相交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的( )A 、至少有一条B 、至多有一条C 、有且只有一条D 、不可能有5.判断（1）//a b b α⎫⎬⊂⎭⇒ a ∥α ( ) （2）若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a ∥α （ ）； 6.如图：平行四边形EFGH 的顶点分别在空间四边形ABCD 各边上， 求证：BD //平面EFGH .7.经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B【自主小结】1A《平面与平面平行的性质》学案【学习目标】掌握两个平面平行的性质定理及其应用.【问题导学】1.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？ 结论：//,//l l αβαβ⊂⇒2.长方体AC 中，平面AC 内哪些直线与B'D'平行？怎么找？已知平面γβα,,满足a ∥β，b a =⋂=⋂γβγα, 求证： //a b定理：______________________________________. 符号表示：结论：由平面与平面平行得出______________平行 3.由例6可得结论：夹在平行平面间的平行线段______.【问题探究】：(1) //,l l αβαβ⊥⇒⊥吗？(2)线线平行、线面平行、面面平行之间是通过那些定理转化的？ 【课堂训练】1. a ∥β，则a 平行于β内的( )A 、一条确定的直线B 、任意一条直线C 、所有直线D 、无数多条平行线2. a 和b 是两条异面直线，下列结论正确的是( )A 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一个平面与a 、b 都平行B 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一条直线与a 、b 都相交C 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一条直线与a 、b 都平行D 、过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行3.若直线a ∥平面 α，直线b ∥平面β，且 a ⊂β，b ⊂α，且 α∩β=c ，则 a 、b 的位置关系是_______4.若直线 a ∥平面 α，直线b ∥ 平面β，a ⊂β，b ⊂α,则a 、b 的位置关系是_____.5.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =.求证：EF ∥平面ABCD .GN M F EEC DAD 1C 1B 1A 1【自主小结】。
《直线与平面平行》 导学案
《直线与平面平行》导学案一、学习目标1、理解直线与平面平行的定义。
2、掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理。
3、能运用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决相关问题。
二、学习重点1、直线与平面平行的判定定理。
2、直线与平面平行的性质定理。
三、学习难点1、判定定理和性质定理的应用。
2、空间想象能力和逻辑推理能力的培养。
四、知识链接1、直线与直线的位置关系：平行、相交、异面。
2、平面的基本性质：公理 1、公理 2、公理 3。
五、学习过程（一）直线与平面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
（二）直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：若直线＼（a ＼nsubseteq ＼alpha\），直线＼（b ＼subseteq ＼alpha\），且＼（a ＼parallel b\），则＼（a ＼parallel ＼alpha\）例 1：如图，空间四边形＼（ABCD\）中，＼（E\）、＼（F\）分别是＼（AB\），＼（AD\）的中点，求证：＼（EF ＼parallel\）平面＼（BCD\）证明：因为＼（E\）、＼（F\）分别是＼（AB\），＼（AD\）的中点，所以＼（EF ＼parallel BD\）又因为＼（EF ＼nsubseteq\）平面＼（BCD\），＼（BD ＼subseteq\）平面＼（BCD\）所以＼（EF ＼parallel\）平面＼（BCD\）（三）直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
符号表示：若直线＼（a ＼parallel ＼alpha\），＼（a ＼subseteq ＼beta\），＼（＼alpha ＼cap ＼beta ＝ b\），则＼（a ＼parallel b\）例 2：如图，已知直线＼（a ＼parallel\）平面＼（＼alpha\），直线＼（a ＼subseteq\）平面＼（＼beta\），平面＼（＼alpha ＼cap\）平面＼（＼beta ＝ b\），求证：＼（a ＼parallel b\）证明：因为＼（a ＼parallel ＼alpha\），平面＼（＼alpha ＼cap\）平面＼（＼beta ＝ b\）所以＼（a\）与＼（b\）无公共点又因为＼（a ＼subseteq ＼beta\），＼（b ＼subseteq ＼beta\）所以＼（a ＼parallel b\）（四）应用举例例 3：在正方体＼（ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}＼）中，＼（E\）为＼（DD_{1}＼）的中点，判断＼（BD_{1}＼）与平面＼（AEC\）的位置关系，并说明理由。
直线与平面平行的性质教案
直线与平面平行的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面平行的概念，掌握直线与平面平行的判定方法。
2. 培养学生运用直线与平面平行的性质解决几何问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 直线与平面平行的定义。
2. 直线与平面平行的判定定理。
3. 直线与平面平行的性质定理。
4. 直线与平面平行在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面平行的判定方法，直线与平面平行的性质定理。
2. 教学难点：直线与平面平行的性质定理在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法、演示法、讨论法、练习法等相结合的教学方法。
2. 通过实物模型、几何画板等工具，直观展示直线与平面平行的性质。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引出直线与平面平行的概念。
2. 讲解直线与平面平行的判定方法，引导学生理解并掌握判定定理。
3. 讲解直线与平面平行的性质定理，并通过实物模型、几何画板等进行展示。
4. 组织学生进行小组讨论，探索直线与平面平行的性质在实际问题中的应用。
5. 布置课堂练习，巩固所学知识。
6. 总结本节课的主要内容，强调直线与平面平行的性质在几何问题解决中的重要性。
7. 布置课后作业，鼓励学生深入研究直线与平面平行的性质。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改等方式，评价学生对直线与平面平行概念的理解和判定方法的掌握。
2. 注重评价学生在实际问题中运用直线与平面平行性质的能力，以及空间想象能力和逻辑思维能力的提升。
3. 结合小组讨论情况，评价学生的合作意识和交流沟通能力。
七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析掌握情况，针对普遍问题进行有针对性的辅导。
2. 听取学生对课堂教学的反馈意见，了解教学方法的适用性，及时调整教学策略。
3. 关注学生在小组讨论中的表现，鼓励表达自己的想法，提高自信心。
直线与平面平行平面与平面平行的判定教案
直线与平面平行、平面与平面平行的判定教案第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. （二）教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. （三）教学方法借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔. 教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入 1．直线和平面平行的重要性 2．问题（1）怎样判定直线与平面平行呢？（2）如图，直线a与平面平行吗？教师讲述直线和平面的重要性并提出问题：怎样判定直线与平面平行？生：直线和平面没有公共点. 师：如图，直线和平面平行吗？生：不好判定. 师：直线与平面平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理. 复习巩固点出主题探索新知一．直线和平面平行的判定 1．问题2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 2．问题3：如图，如果在平面内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面平行？ 2．直线和平面平行的判定定理. 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示：教师做实验，学生观察并思考问题. 生：平行师：问题2与问题1有什么区别？生：问题2增加了条件：平面外. 直线平行于平面内直线. 师投影问题3，学生讨论、交流教师引导，要讨论直线a与平面有没有公共点，可转化为下面两个问题：（1）这两条直线是否共面？（2）直线a与平面是否相交？生1：直线a∥直线b，所以a、b共面. 生2：设a、b确定一个平面，且，则A为的公共点，又b为面的公共直线，所以A∈b，即a = A，但a∥b 矛盾∴直线a 与平面不相交. 师：根据刚才分析，我们得出以下定理……… 师：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）. 通过实验，加深理解.通过讨论，培养学生分析问题的能力.画龙点睛，加深对知识理解完善知识结构. 典例分析例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点. 求证EF∥平面BCD. 证明：连结BD.在△ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD. 又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，平面BCD，所以EF∥平面BCD. 师：下面我们来看一个例子（投影例1）师：EF在面BCD外，要证EF∥面BCD，只要证明EF与面BCD内一条直线平行即可，EF与面BCD内哪一条直线平行？生：连结BD，BD即所求师：你能证明吗？学生分析，教师板书启发学生思维，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力. 探索新知二．平面与平面平行的判定例2 给定下列条件①两个平面不相交②两个平面没有公共点③一个平面内所有直线都平行于另一个平面④一个平面内有一条直线平行于另一个平面⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面以上条件能判断两个平面平行的有①②③ 2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：教师投影例2并读题，学生先独立思考，再讨论最后回答. 生：由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，选①②③ 师（表扬），如果将条件⑤改为两条相交直线呢？如图，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条直交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′. 一方面复习巩固已学知识，另一方面通过开放性题目培养学生探索知识的积极性.借助模型解决，一方面起到示范作用，另一方面给学生直观感受，有利定理的掌握. 典例分析例3 已知正方体ABCD �CA1B1C1D1 证：平面AB1D1∥平面C1BD. 证明：因为ABCD �C A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1 = A1B1 又AB∥A1B1，AB = A1B1 所以D1C1BA 为平行四边形. 所以D¬1A∥C1B. 又平面C1BD，平面C1BD 由直线与平面平行的判定定理得D1A∥平面C1BD 同理D1B1∥平面C1BD 又所以平面AB1D1∥平面C1BD. 点评：线线平行线面平行面面平行. 教师投影例题3，并读题师：根据面面平行的判定定理，结论可转化为证面AB1D内有两条相交直线平行于面C1BD，不妨取直线D1A、D1B1，而要证D1A∥面C1BD，证AD1∥BC1即可，怎样证明？学生分析，老师板书，然后师生共同归纳总结. 巩固知识，培养学生转化化归能力随堂练习 1．如图，长方体ABCD �C A′B′C′D′ 中，（1）与AB平行的平面是 . （2）与AA′ 平行的平面是 . （3）与AD平行的平面是 . 2．如图，正方体，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系并说明理由. 3．判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：（1）已知平面，和直线m，n，若则；（2）一个平面内两条不平行直线都平行于另一平面，则； 4．如图，正方体ABCD �C A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB. 5．平面与平面平行的条件可以是（） A．内有无穷多条直线都与平行. B．直线a∥ ，a∥ ，E且直线a不在内，也不在内. C．直线，直线，且a∥ ，b∥ D．内的任何直线都与平行. 学生独立完成答案： 1．（1）面A′B′C′D′，面CC′DD′；（2）面DD′C′C，面BB′C′C；（3）面A′D′B′C′，面BB′C′C. 2．直线BD1∥面AEC. 3．（1）命题不正确；（2）命题正确. 4．提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB. 5．D 巩固所学知识归纳总结 1．直线与平面平行的判定 2．平面与平面平行的判定 3．面面平行线面平行线线平行 4．借助模型理解与解题学生归纳、总结、教师点评完善反思、归纳所学知识，提高自我整合知识的能力. 作业 2.2 第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 在正方体ABCD �C A1B1C1D1 中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．【证明】连接AC交BD 于O，连接OE，则OE∥DC，OE = ．∵DC∥D1C1，DC = D1C1，F为D1C1的中点，∴ OE∥D1F，OE = D1F，四边形D1FEO为平行四边形．∴EF∥D1O．又∵EF 平面BB1D1D，D1O 平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．例2 已知四棱锥P �C ABCD 中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．【证明】∵PM∶ MA = BN∶ND = PQ∶ QD. ∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP 平面PBC，NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，∴MQ∥平面PBC．由MQ∩NQ = Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC．【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．。
第三节 直线、平面平行的判定与性质 教案
第三节直线、平面平行的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.谨记两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与平面平行的定义)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.2．(面面平行的判定定理)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．(平行关系的判定)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析：选C A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D不正确．4．(面面平行的性质定理)设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③二、易错点练清1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．2．(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．解析：由m⊂α，l∥α不能推出l∥m；由m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要3．(忽视线面平行的条件)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是______________．(2)已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是______________．(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α内．(2)当a，b相交时，α∥β；当a，b平行时，α，β平行或相交．(3)当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥α也成立．答案：(1)a∥α或a⊂α(2)平行或相交(3)a∥β或a⊂β考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)线面平行的判定[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.[证明]法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法(二)线面平行的性质定理的应用[例2]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.[方法技巧]线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．[针对训练]如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO⊂平面EOC，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DN，MN.因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]1．判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．[提醒]利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[针对训练]1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．(1)证明：平面BMN ∥平面PCD ； (2)若AD ＝6，求三棱锥P -BMN 的体积． 解：(1)证明：如图，连接BD . ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD .∵AD ⊥CD ，CD ⊂平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ∥CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM ∥平面PCD .∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN ∥PD . 又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ∥平面PCD .又BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN ＝M ， ∴平面BMN ∥平面PCD . (2)在(1)中已证BM ⊥AD . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面PAD .又AD ＝6，∠BAD ＝60°，∴BM ＝3 3. ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，PA ＝PD ＝22AD ＝32， ∴S △PMN ＝14S △PAD ＝14×12×(32)2＝94.∴V P -BMN ＝V B -PMN ＝13S △PMN ·BM ＝13×94×33＝934.考点三 平行关系的综合[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，点C ∈α，点B ∈β，点D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD . (1)求证：EF ∥平面β；(2)若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝4，BD ＝6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长．[解] (1)证明：①当AB ，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC ＝AC ，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD . 又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝HD ， 且HD ＝AC ， ∵平面α∥平面β， 平面α∩平面ACDH ＝AC ， ∴AC ∥HD ，∴四边形ACDH 是平行四边形．在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ， 连接EG ，FG ，BH .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ， ∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ， ∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β. 综合①②可知，EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角， ∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF ＝7或EF ＝19. [方法技巧]利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．[针对训练] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点． (1)求证：PE ∥平面BFG ；(2)若PD ＝AD ＝1，AB ＝2，求点C 到平面BFG 的距离． 解：(1)证明：如图，连接DE .∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF . ∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD .∵PD ⊄平面BFG ，DE ⊄平面BFG ，FG ⊂平面BFG ， BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG . 又PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(2)法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD . 过点C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM . ∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ， ∴线段CM 的长是点C 到平面BFG 的距离．在矩形ABCD 中，∵F 是AD 的中点，AD ＝1，AB ＝2，△BCM ∽△FBA ， ∴CM BA ＝BC FB. ∵FB ＝AB 2＋AF 2＝172，BC ＝AD ＝1， ∴CM ＝41717，即点C 到平面BFG 的距离为41717.法二：设点C 到平面BFG 的距离为d . 在矩形ABCD 中，AF ＝12AD ＝12，AB ＝2，∴BF ＝14＋4＝172. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BF .∵FG ∥PD ，∴FG ⊥BF ，又FG ＝12PD ＝12，∴△BFG 的面积为12BF ·FG ＝178.∵△BCF 的面积为12BC ·AB ＝1，V C -BFG ＝V G -BCF ， ∴13×178d ＝13×1×12，解得d ＝41717， 即点C 到平面BFG 的距离为41717.创新考查方式——领悟高考新动向1.如图，已知底面边长为3且高为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，过顶点A 作平面α与侧面BCC 1B 1交于EF ，且EF ∥BC ，若∠FAB ＝x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6，四边形BCEF 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 由题意得，在Rt △ABF 中，BF ＝AB tan x ，所以y ＝f (x )＝BC ·BF ＝BC ·AB tan x ＝3tan x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6.由正切函数的图象及性质，可得C 正确．2．(多选)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，以下结论正确的为( ) A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A -BEF 的体积为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：选ABC 对于A ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得AC ⊥平面BDD 1B 1， ∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于B ，∵E ，F ，B 在平面BDD 1B 1上，∴A 到平面BEF 的距离为定值，∵EF ＝22，又B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于D，设上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO；当E与D1重合时，F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥D1D，HN∥BD，∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN⊂平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4．(2021·福建漳州适应性测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．解析：由于QB∥平面D1NT，所以点Q在过B且与平面D1NT平行的平面上，如图，取DC的中点E1，取线段AA1上一点G，使A1G＝1，易证平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I，显然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI，易求得GI＝10.答案：105．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：8[课时跟踪检测]1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为() A．若α⊥β，l⊥α，则l∥βB．若a⊥l，b⊥l，则a∥b C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：选ABC对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若l上两点到α的距离相等，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n解析：选BC对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A. 4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．1条或2条解析：选C如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．②③B．③④C．①④D．①②解析：选A对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．7.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：18．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填序号)．解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：②9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．解析：①中，易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B ，可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP . 在②③中不能判定AB ∥平面MNP . 答案：①④10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点． (1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．解：(1)证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O (图略)，则O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，连接EO ，则EO 是△PAC 的中位线，所以PC ∥EO ，又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)设三棱锥E -ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P -ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E -ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是PA 的中点，所以四棱锥P -ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×S四边形ABCD×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3. 11.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证： (1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG . 证明：(1)如图，连接AE ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ， MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP ＝λPD ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP ＝32PD ，可知AP AD ＝35，如图，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接EM ，PC ， 则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5， 故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ， 故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME ， 又ME ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， 故有CP ∥平面ABEF .。
高中数学教案《直线与平面平行的性质
高中数学教案《直线与平面平行的性质》一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面平行的概念及其性质。
2. 培养学生运用直线与平面平行的性质解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 直线与平面平行的定义。
2. 直线与平面平行的性质定理。
3. 直线与平面平行的判定定理。
4. 直线与平面平行的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面平行的性质定理及其应用。
2. 教学难点：直线与平面平行的判定定理的理解与运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线与平面平行的性质。
2. 利用多媒体动画演示，帮助学生直观理解直线与平面平行的概念。
3. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用直线与平面平行的性质。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平面几何中的相关知识，引出直线与平面平行的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究直线与平面平行的性质定理。
3. 合作交流：分组讨论，引导学生总结直线与平面平行的判定定理。
4. 案例分析：分析实际问题，运用直线与平面平行的性质解决问题。
5. 总结提升：对本节课的内容进行归纳总结，强化学生对直线与平面平行性质的理解。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对直线与平面平行性质的理解程度。
2. 注重考查学生在实际问题中运用直线与平面平行性质的能力。
3. 评价学生的空间想象能力、逻辑思维能力和团队合作精神。
七、教学准备：1. 准备多媒体教学课件，包括直线与平面平行的动画演示和案例分析。
2. 准备相关的练习题和作业，涵盖各种难度层次。
3. 准备教学用具，如黑板、粉笔等。
八、教学拓展：1. 探讨直线与平面平行的性质在现实生活中的应用，如建筑设计、立体几何模型制作等。
2. 介绍直线与平面平行性质在高等教育中的进一步应用，如线性代数、空间解析几何等。
3. 鼓励学生参加数学竞赛和相关兴趣小组，提高学生的数学素养。
直线与平面平行的性质 优秀教案
2.2.1 直线与平面平行的性质【课题】：直线与平面平行的性质【教学时间】：【学情分析】：学生们学习了直线与平面平行的判定定理和空间直线与平面的位置关系，为本节的学习奠定了知识基础，同时也打下了一定的空间想象能力基础。
【教学目标】：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可以推出线线平行；（2）初步学会应用定理证明一些简单问题，培养逻辑思维能力。
2、过程与方法学生通过观察与类比，借助多媒体模拟理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
【教学重点】：直线与平面平行的性质定理【教学难点】：定理应用【教学突破点】：【教法、学法设计】：教学过程中，教师可在立足教材，适当引导，使学生在思考中明白定理，应用中加深理解．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法，借助多媒体，通过类比、交流等，得出性质及基本应用．【课前准备】：课件又因为在内∴bα与都在平面a b且没有公共点a b//1.已知直线a//平面α，P α ，那么过点P 且平行于直线a 的直线_C __ A)只有一条，不在平面α内B)只有一条，不在平面α内 C)只有一条，且在平面α内 D)有无数条，一定有α内 2.能保证a// α的条件是 A),,//A a b a b αα⊂Ø ),//B b a b αØ),//,//,//C b c a b a cααØ),,,,,D b A B C b D b AC BD ααα∈∈∈∈=Ø。
高一数学必修2《直线与平面、平面与平面平行的性质》精品导学案
2.2.2直线与平面、平面与平面平行的性质一、学习目标:知识与技能：理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题过程与方法：能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理情感态度与价值观：通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法二、学习重、难点学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法，三、学法指导及要求:1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题四、知识链接：1.空间直线与直线的位置关系2.直线与平面的位置关系3.平面与平面的位置关系4.直线与平面平行的判定定理的符号表示5.平面与平面平行的判定定理的符号表示五、学习过程：A问题1：1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（观察长方体）2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？（可观察教室内灯管和地面）A问题2: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？A问题3：如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？由于直线a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线B自主探究1：已知：a∥α，a β，α∩β＝b。
求证：a∥b。
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言：线面平行性质定理作用：证明两直线平行思想：线面平行 线线平行例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？例2：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
直线与平面平行的性质学案
2.2.3直线与平面平行的性质学案学习目标：1.通过观察探究，发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；经历直线与平面平行的性质定理的论证，体验数学学习中直观感知，获得猜想，逻辑论证的探究过程。
2.通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性；培养、提高学生分析、解决问题的能力。
学习重点：直线与平面平行的性质定理。
学习难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化。
◆复习引入：1)回忆直线与直线的位置关系，并画出相应的几何图形；2)回忆直线与平面平行的判定定理，并写出相应的符号语言。
思考猜想：（可用两支笔与桌面所在平面模拟试验）(1)一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系?(2)猜想：一条直线与一个平面平行，在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行?3.逻辑证明：将你的猜想用数学符号式写成已知、求证的形式，并证明。
◆提出定理：直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号表示：数学思想：◆典例剖析1、判断下列说法是否正确：1)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；2)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；3)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内。
2、在图中所示的一块木料中，棱BC平行于面A’C’ 。
（1）要经过面A’C’内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线和面AC是什么位置关系？思维点拨：确定截面就是确定截面和各个平面的交线。
3、思考：教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？4、已知：平面外的两条平行直线中的一条平行这个平面，求证：另一条也平行这个平面。
◆ 小结◆ 补充例题1、三个平面两两相交，有三条交线，如果其中有两条交线平行，那么它们也和第三条交线平行。
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直线与平面平行性质及平面与平面平行的性质
学习目标：理解并掌握直线与平面平行的性质定理及平面与平面平行的性质定理 能把线面平行，面面平行转化为线线平行，体现数学划归的思想方法 复习：
（1）直线与平面平行的判定定理：
（2）平面与平面的平行的判定定理： 导入新课：
1、直线与平面平行性质定理：
探究一（1）如果一条直线与平面平行，那么这个平面内的所有直线都与这个直线平行吗？
（2）直线a 与平面α平行，如何在平面α内找到与直线a 平行的直线？ 直线与平面平行性质定理：
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示： 自主学习：
例1：过长方体1111ABCD A B C D 的棱1BB 作一平面，交平面11CDD C 于1EE ，求证
11BB EE 平行于
变式1：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH∥FG.
D 1
C 1
B 1
A
B
C
D
A 1
E 1
E
2、平面与平面平行性质定理：
探究二1如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
2如果两个平面平行，那么如何分别在这两个平面内找到互相平行的两条直线？
平面与平面平行性质定理：
符号表示：
例2 已知：//
αβ，,
AB CD是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD
=.
变式2：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：//
MN平面PAD；
（2）若4
MN BC
==
，PA=求异面直线PA与MN所成的角的大小
课堂小结：
线线平行的方法线面平行的方法
D
C
B
A
β
α
面面平行⇐线面平行⇐线线平行 . .。