专题：基本不等式

专题：基本不等式

基本不等式求最值

利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系：

（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2

，当且仅当a ＝b 时取等号．

上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且

7log 3log 2=+a b b a ，则

1

12

-+b a 的最小值为 .

【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1

log 2

a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =

，即2

a b =．2111111

a a

b a +=-++-- ()1

2

1131

a a ≥-⨯

+=-． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足

，且，则的最小值为 ．

解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==

（x －y ）+

≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．

,x y 0x y >>22log log 1x y +=22

x y x y

+-y x y x -+22y

x xy

y x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(y

x -4

33

y

x y x -+2

2

2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足

1

33(0)2

xy x x +=<<，则313x y +

-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则

5

22

ac c c b ab c +-+

-的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x

4x ＋y ＋

y

x ＋y

的最大值为 ． 解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =)

)(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=222

25484y xy x y xy x ++++

=1+

22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5

423

+⋅x

y y x =43， 当且仅当4

y x =x

y

，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得2

23(

),()4()1202

a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).

变式：1.若,a b R +∈,且满足2

2

a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

解析：因为,a b R +∈,所以由22

2

2

2

()2

a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2

()a b +-

2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).

2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 4

3.设R y x ∈,，142

2

=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________

105

2

4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足

19

5ab a b

+=-，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法

【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则

1

1

24+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足

11

1=+y

x ，则1

914-+-y y

x x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于

x 1+y 1

=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +1

4-y y =（

14-x x +14-y y ）（1+1－x 1

－y 1）=（14-x x +14-y y ）（x

x 1-+y y 1-）≥（

x x x x 114-⋅-+y y y y 114-⋅

-）2

=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·x

x 1-时等号成立．

2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则

的最小值为 ． 解析：

，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)x

y a b b =+>的图像经过点

(1,3)P ，如下图所示，则

41

1a b

+-的最小值为 .

,x y 22x y +=8x y

xy

+8181828814529222x y x y x y x y

xy y x y x y x y x

⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x

=