控制系统的时间响应
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《控制工程基础》
第5章 控制系统的时间响应
2021/3/10
讲解：XX
1
本章主要内容： （1）研究控制系统在输入信号的作用下， 输出信号随时间变化的规律，即研究系统的 时间响应。 （2）希望系统的时间响应满足稳、准、快 的要求。
2021/3/10
讲解：XX
2
5.1 时间响应的基本概念
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信 号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系 统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
r(t)
0 t 0
r
(t
)
at
2
t0
2a
R(s) s3
0
t
表示在t=0时刻开始，以恒定加速度随时间变 化的函数，也称为抛物线函数。
当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数 。
2021/3/10
讲解：XX
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（4）脉冲函数(Impulse function)
r(t)
0 t 0 或 t 0 a
2021/3/10
讲解：XX
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（1）阶跃函数(Step function)
r
(t)
0 a
t0 t0
r(t)
a
R(s) a s
0
t
这意味着t=0时突然加到系统上的一个幅值不
变的外作用。
幅值a=1的阶跃函数，称为单位阶跃函数，用 1(t)来表示。
一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为
评价系统动态性能指标的依据。
输出为 X0 (s) G(s)Xi (s)
1
1 Ts 1
s
T
1
T
单位脉冲响应为
1 x0 (t) T
1t
eT
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x0(t) 1/T 1
xo(t)=1-e-t/T
63.2% 86.5% 95.0% 98.2%
0
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T 2T 3T 4T t
讲解：XX
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特点 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。
（2）经过时间T，曲线上升到0.632的高度。反过来，
如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间， 即是惯性环节的时间常数。
20闭21/3/环10 极点(特征根)：-1讲/T解：XX
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5.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入为
xi (t)
1
xo (t)
xi (t) 1(t)
X
i
(s)
1 s
Ts 1
输出为
X
0
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
1 s
T Ts 1
1 s
s
1
1
T
单位阶跃响应为
1t
x0 (t) 1 e T
瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统 输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应 也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。
稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时
间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静
态响应。
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典型输入信号的选择：
分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点：
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究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统， 需要参照系统正常工作时的实际情况。
➢系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统。
➢系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号。
➢系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号。
➢系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。 ➢系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。
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（2）斜坡函数(Ramp function)
0 t 0
r(t)
r(t) at t 0
R(s)
a s2
a
0
1
t
表示在t=0时刻开始，以恒定速度a随时间变化 的函数，也称为速度函数。
当a=1的斜坡函数，称为单位斜坡函数。
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（3）加速度函数(Parabolic function)
（1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。
（2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。
（3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和 传递函数。
常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
（3）经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～
98％，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调
整时间(3～4)T。
（4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为1/T。
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（5）ln[1-xo(t)] 与时间t 成线性关系
1t
xo (t) 1 e T
lg1 xo t
1t
e T 1 xo (t)
r
(t
)
lim0
a
0t
R(s) a
0
t
当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为
δ(t)。
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称
为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于1，
因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
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上述各函数之间的关系：
t
积分
1
t
积分
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《控制工程基础》
第5章 控制系统的时间响应 5.2 一阶系统的时间响应
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5.2.1 一阶系统的数学模型
能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统， 它的典型形式为一阶惯性环节。其中T为时间常数。
G(s) X0(s) 1 Xi (s) Ts 1
o
t
1 T t ln[1 x o (t)]
一阶惯性环节识别曲线
1 T
lg
e t
lg1
xo
t
其中 1 lg e 为常数。
T
判别系统是否为惯性环节
测量惯性环节的时间常数
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5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入为
xi (t) (t) Xi (s) 1
t
1t
积分
1
t
2
1
t
求导 求导
求导 2
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（5）正弦函数(Sinusoidal function)
r (t )
0 a
sin
t
R(s)
a s2 2
r(t) t0 a
t0
0
2
t
正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种 典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应， 即频率响应。
(t 0)
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1t
x0 (t) 1 e T (t 0)
根据上式，当t取T的不同倍数时，可得出下表3.1的数据。
表3.1 一阶惯性环节的单位阶跃响应
t
0
xo t 0
T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 … 1
第5章 控制系统的时间响应
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本章主要内容： （1）研究控制系统在输入信号的作用下， 输出信号随时间变化的规律，即研究系统的 时间响应。 （2）希望系统的时间响应满足稳、准、快 的要求。
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5.1 时间响应的基本概念
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信 号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系 统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
r(t)
0 t 0
r
(t
)
at
2
t0
2a
R(s) s3
0
t
表示在t=0时刻开始，以恒定加速度随时间变 化的函数，也称为抛物线函数。
当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数 。
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（4）脉冲函数(Impulse function)
r(t)
0 t 0 或 t 0 a
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（1）阶跃函数(Step function)
r
(t)
0 a
t0 t0
r(t)
a
R(s) a s
0
t
这意味着t=0时突然加到系统上的一个幅值不
变的外作用。
幅值a=1的阶跃函数，称为单位阶跃函数，用 1(t)来表示。
一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为
评价系统动态性能指标的依据。
输出为 X0 (s) G(s)Xi (s)
1
1 Ts 1
s
T
1
T
单位脉冲响应为
1 x0 (t) T
1t
eT
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x0(t) 1/T 1
xo(t)=1-e-t/T
63.2% 86.5% 95.0% 98.2%
0
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T 2T 3T 4T t
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特点 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。
（2）经过时间T，曲线上升到0.632的高度。反过来，
如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间， 即是惯性环节的时间常数。
20闭21/3/环10 极点(特征根)：-1讲/T解：XX
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5.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入为
xi (t)
1
xo (t)
xi (t) 1(t)
X
i
(s)
1 s
Ts 1
输出为
X
0
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
1 s
T Ts 1
1 s
s
1
1
T
单位阶跃响应为
1t
x0 (t) 1 e T
瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统 输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应 也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。
稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时
间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静
态响应。
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典型输入信号的选择：
分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点：
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究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统， 需要参照系统正常工作时的实际情况。
➢系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统。
➢系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号。
➢系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号。
➢系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。 ➢系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。
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（2）斜坡函数(Ramp function)
0 t 0
r(t)
r(t) at t 0
R(s)
a s2
a
0
1
t
表示在t=0时刻开始，以恒定速度a随时间变化 的函数，也称为速度函数。
当a=1的斜坡函数，称为单位斜坡函数。
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（3）加速度函数(Parabolic function)
（1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。
（2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。
（3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和 传递函数。
常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
（3）经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～
98％，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调
整时间(3～4)T。
（4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为1/T。
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（5）ln[1-xo(t)] 与时间t 成线性关系
1t
xo (t) 1 e T
lg1 xo t
1t
e T 1 xo (t)
r
(t
)
lim0
a
0t
R(s) a
0
t
当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为
δ(t)。
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称
为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于1，
因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
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上述各函数之间的关系：
t
积分
1
t
积分
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第5章 控制系统的时间响应 5.2 一阶系统的时间响应
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5.2.1 一阶系统的数学模型
能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统， 它的典型形式为一阶惯性环节。其中T为时间常数。
G(s) X0(s) 1 Xi (s) Ts 1
o
t
1 T t ln[1 x o (t)]
一阶惯性环节识别曲线
1 T
lg
e t
lg1
xo
t
其中 1 lg e 为常数。
T
判别系统是否为惯性环节
测量惯性环节的时间常数
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5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入为
xi (t) (t) Xi (s) 1
t
1t
积分
1
t
2
1
t
求导 求导
求导 2
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（5）正弦函数(Sinusoidal function)
r (t )
0 a
sin
t
R(s)
a s2 2
r(t) t0 a
t0
0
2
t
正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种 典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应， 即频率响应。
(t 0)
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x0 (t) 1 e T (t 0)
根据上式，当t取T的不同倍数时，可得出下表3.1的数据。
表3.1 一阶惯性环节的单位阶跃响应
t
0
xo t 0
T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 … 1