5错位相消的策略
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学 专 题 研 究
3、两者都具有“本名占优”——即展开式的第一项都 是本名函数排在前面 利用这两个特点，我们就可以比较容易地记住那8个公式了。
我们先从“和差化积” 入手
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 + ++ a1a2 a3a4 a2 a3a4 a5 an an +1an + 2 an + 3
更一般地有：
1 1 1 + ++ a1a2 ak a2 a3 ak +1 an an +1 an + k 1
解决它们都是用下面的裂项方式来达到错位相消的目的
( n + 1)4 n 4 = 5n 4 + 10n3 + 10n 2 + 5n + 1 ………………………………
1 2 1 ( n + 1)k +1 n k +1 = C k +1n k + C k +1n k 1 + + C k +1n + 1
S = 1 + 2 + 3 ++ n
3 n 4 n 3 3 3
初 等 数 学 专 题 研 究
但等式右边的结论是如何推导出来的，中学并没有解决。 解决这个问题通常有两种思路： 一种是利用复数的运算性质，另一种就是我们这里的 “错位相消”策略 利用复数解决的思路我们放到“复数的三角形式与指数 形式”一节中去介绍。
sin α + sin 2α + + sin nα
1 1 12 14 1 1 14 16 +) 1 1 16 18
1 1 1× 2 2 × 3 1 1 2 × 3 3× 4 1 1 3× 4 4 × 5 1 1 +) 4× 5 5× 6
那么，一些符 号相反的项正 好错位排列， 就可以用一组 平行斜线把它 们消去。
初 等 数 学 专 题 研 究
3 3 2
3S + 3S + n
2 n 1 n
初 等 数 学 专 题 研 究
( n + 1) 1 = 3 S + 3 S + n n( n + 1) 1 Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 而 2 3n( n + 1) 3 2 ( n + 1) 1 = 3 S n + +n 于是 2 2 从中解出 S n 化简之后，就得到前面的等式了 n( n + 1)( 2n + 1) 2 2 2 1 + 2 ++ n = 6
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 1 1 1 1 1 )+( )+( )+( ) =( 1× 2 2 × 3 2 × 3 3× 4 3× 4 4 × 5 4× 5 5× 6
1 1 7 = = 1× 2 5 × 6 30
如果我们把两个例题中的算式按下面的格式书写
1 1 10 12
1 1 1 1 1 1 1 1 = ( )+( )+( )+( ) 10 12 12 14 14 16 16 18
1 1 2 = = 10 18 45
例2.计算 解： 1
1 1 1 1 + + + 6 24 60 120
1 1 1 + + + 6 24 60 120 1 1 1 1 = + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 4 × 5 × 6
∫ cos 3 x cos 5 xdx
这一类的不定积分时
如果记不住这8个公式，就只能用分部积分的方法进行， 这样过程会比较复杂
利用积化和差公式，这个不定积分可以化成
1 1 ∫ cos 3 x cos 5 xdx = 2 ∫ cos 8 xdx + 2 ∫ cos 2 xdx
等号右边的两个积分用凑微分法就可以很轻松的解决 下面我们来说明，怎样记住这8个公式
第五讲 错位相消的策略
一、自然数连续若干项乘积的倒数和 我们先来看两道小学数学题 例1.计算
2 2 2 2 + + + 10 × 12 12 × 14 14 × 16 16 × 18
初 等 数 学 专 题 研 究
解：
2 2 2 2 + + + 10 × 12 12 × 14 14 × 16 16 × 18
初 等 数 学 专 题 研 究
现在回到原来的问题上 求和：
sin α + sin 2α + + sin nα
1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
我们先来看下面的等式：
( n + 1)3 n3 = 3n 2 + 3n + 1
将n从1开始依次代入： 这时在左边的这组 等式中，等号左边 的项就产生了错位 初 等 相消的效果。
数 学 研
23 13 = 3 × 12 + 3 × 1 + 1
33 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
43 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1
初 等 数 学 专 题 研 究
6、由于和变积，两项变一项，为了保持“项数”的一 致性，因此积的前面应有系数2 7、公式在两角相等时也应成立，这就是和化积时角是 “两角和的一半，两角差的一半”的原因。
将和差化积的分析逆用“积化和差”，就可以将 “积化和差”的4个公式记住
1 sin x cos y = [sin( x + y ) + sin( x y )] 2 1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
1 1 1 1 ) = ( a n a n +1 d a n a n +1
1 an an +1an + 3 1 1 1 = ( ) 2d an an +1 an +1an + 2
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 1 ( ) = an an +1an + 2 an + 3 3d an an +1an + 2 an +1an + 2 an + 3 1 1 1 1 ( ) = an an +1 an + k 1 ( k 1)d an an +1 an + k 2 an +1an + 2 an + k 1
这8个公式是利用三角函数的两角和与差的公式推导出来 的，要准确地记住它，我们还是要从这里下手。 sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
cos( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y 这两个公式有下面几个特点：
1、正弦具有“异名搭配”的特点，余弦具有“同名搭配”的 初 等 特点 数 2、正弦具有“保号”的特点，余弦具有“变号”的特点
3
S = 14 + 24 + 34 + + n 4 ………………………… k S n = 1k + 2k + 3k + + n k
三、三角级数 在中学里，我们还用数学归纳法证明过下面的结论
n +1 n sin α sin α 2 2 sin α + sin 2α + + sin nα = α sin 2
初 等
3、根据“正弦具有异名搭配、余弦具有同名搭配”的特点， 数 学 所以正弦应化成“异名积”，而余弦化成“同名积” 专 4、根据“本名占优”的特点，和化为积时，都是本名函 数在前（因为和对化积的两项都没有损耗，所以“本名占 优”）；差化为积时，都是异名函数在前（因为差对化积 的两项有损耗，所以“本名不占优”）；
这个求和问题的解决，关键是怎样才能产生错位相消的项。 解决它需要运用三角函数中的“和差与积得互化”公式 这八个公式现在又恰恰是中学不作要求的内容。 之所以这样，其原因之一是大多数人认为它们很难被记住
初 等 数 学 专 题 研 究
其实要记住这八个公式并非如人们所公认的那样难，只要 我们分析掌握了它们的特点，就很容易记住。 其次，记住这8个公式，在学习积分时是很有好处的。 例如，求形如
1 1 10 18
1 1 1× 2 5 × 6
这种简化计 算的思路我 们称之为 “错位相消” 策略
这两个例题实际上是等差数列连续若干项乘积的倒数和问题 设数列{an}是公差为d的等差数列 这样就得到下面的若干求和问题
1 1 1 + ++ a1a2 a2 a3 an an +1 1 1 1 + ++ a1a2 a3 a2 a3a4 an an +1an + 2
二、自然数的方幂和 在中学里，我们曾经用数学归纳法证明过下面的结论
n( n + 1)( 2n + 1) 1 + 2 ++ n = 6 如果我们事先不知道右边的结论，数学归纳法在这里就 成为无用武之地的“屠龙技”
2 2 2
初 等 数 学 专 题 研 究
现在的问题是，等式右边的结论是怎么得到的？ 解决这个问题有多种不同的思路。 这里，我们采用“错位相消的策略”来解决这个问 题。 关键是怎样才能出现正负相间，可以错位相消的项
Байду номын сангаас
初 等 数 学 专 题 研 究
1、所谓“和差化积”，指的是同名函数才能化积，异名函 数不能直接化为积的形式 这样能化积得就只能是“正弦的和与差、余弦的和与差” 这四种形式 2、积的形式中，角的结构为“两角和的一半在前，两角差 的一半在后”
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
……………………
右边的求和我们 专 分成三部分进行： 题 第一部分是连续自 究 然数的平方和的3倍 第二部分是连续自然 数和的3倍 第三部分是n个1相加
+ ) ( n + 1) n = 3n + 3n + 1
3 3 2
( n + 1)3 1
我们记
2 1 = 3 ×1 + 3 ×1 + 1
3 3 2
1 Sn = 1 + 2 + 3 + + n 2 S n = 12 + 22 + 32 + + n 2
33 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
43 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1 ……………………
那么左边这组等式等号 右边相加后就成为
( n + 1) n = 3n + 3n + 1
等 数 学 专 题 研 究 初
x+ y x y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2
所以
3 2 n 1 n
这里我们利用立方差解决了自然数的平方和问题
( n + 1)3 n3 = 3n 2 + 3n + 1
相应地，用四方差解决立方和、用五方差解决四方和、…… 一般地用k+1方差可以解决自然数的k方和：
( n + 1)4 n 4 = 4n3 + 6n 2 + 4n + 1
初 等 数 学 专 题 研 究
1 sin x cos y = [sin( x + y ) + sin( x y )] 2 1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
研 究 题
5、由于余弦具有变号性，所以余弦差化积时前面须带 “负号”
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
3、两者都具有“本名占优”——即展开式的第一项都 是本名函数排在前面 利用这两个特点，我们就可以比较容易地记住那8个公式了。
我们先从“和差化积” 入手
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 + ++ a1a2 a3a4 a2 a3a4 a5 an an +1an + 2 an + 3
更一般地有：
1 1 1 + ++ a1a2 ak a2 a3 ak +1 an an +1 an + k 1
解决它们都是用下面的裂项方式来达到错位相消的目的
( n + 1)4 n 4 = 5n 4 + 10n3 + 10n 2 + 5n + 1 ………………………………
1 2 1 ( n + 1)k +1 n k +1 = C k +1n k + C k +1n k 1 + + C k +1n + 1
S = 1 + 2 + 3 ++ n
3 n 4 n 3 3 3
初 等 数 学 专 题 研 究
但等式右边的结论是如何推导出来的，中学并没有解决。 解决这个问题通常有两种思路： 一种是利用复数的运算性质，另一种就是我们这里的 “错位相消”策略 利用复数解决的思路我们放到“复数的三角形式与指数 形式”一节中去介绍。
sin α + sin 2α + + sin nα
1 1 12 14 1 1 14 16 +) 1 1 16 18
1 1 1× 2 2 × 3 1 1 2 × 3 3× 4 1 1 3× 4 4 × 5 1 1 +) 4× 5 5× 6
那么，一些符 号相反的项正 好错位排列， 就可以用一组 平行斜线把它 们消去。
初 等 数 学 专 题 研 究
3 3 2
3S + 3S + n
2 n 1 n
初 等 数 学 专 题 研 究
( n + 1) 1 = 3 S + 3 S + n n( n + 1) 1 Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 而 2 3n( n + 1) 3 2 ( n + 1) 1 = 3 S n + +n 于是 2 2 从中解出 S n 化简之后，就得到前面的等式了 n( n + 1)( 2n + 1) 2 2 2 1 + 2 ++ n = 6
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 1 1 1 1 1 )+( )+( )+( ) =( 1× 2 2 × 3 2 × 3 3× 4 3× 4 4 × 5 4× 5 5× 6
1 1 7 = = 1× 2 5 × 6 30
如果我们把两个例题中的算式按下面的格式书写
1 1 10 12
1 1 1 1 1 1 1 1 = ( )+( )+( )+( ) 10 12 12 14 14 16 16 18
1 1 2 = = 10 18 45
例2.计算 解： 1
1 1 1 1 + + + 6 24 60 120
1 1 1 + + + 6 24 60 120 1 1 1 1 = + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 4 × 5 × 6
∫ cos 3 x cos 5 xdx
这一类的不定积分时
如果记不住这8个公式，就只能用分部积分的方法进行， 这样过程会比较复杂
利用积化和差公式，这个不定积分可以化成
1 1 ∫ cos 3 x cos 5 xdx = 2 ∫ cos 8 xdx + 2 ∫ cos 2 xdx
等号右边的两个积分用凑微分法就可以很轻松的解决 下面我们来说明，怎样记住这8个公式
第五讲 错位相消的策略
一、自然数连续若干项乘积的倒数和 我们先来看两道小学数学题 例1.计算
2 2 2 2 + + + 10 × 12 12 × 14 14 × 16 16 × 18
初 等 数 学 专 题 研 究
解：
2 2 2 2 + + + 10 × 12 12 × 14 14 × 16 16 × 18
初 等 数 学 专 题 研 究
现在回到原来的问题上 求和：
sin α + sin 2α + + sin nα
1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
我们先来看下面的等式：
( n + 1)3 n3 = 3n 2 + 3n + 1
将n从1开始依次代入： 这时在左边的这组 等式中，等号左边 的项就产生了错位 初 等 相消的效果。
数 学 研
23 13 = 3 × 12 + 3 × 1 + 1
33 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
43 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1
初 等 数 学 专 题 研 究
6、由于和变积，两项变一项，为了保持“项数”的一 致性，因此积的前面应有系数2 7、公式在两角相等时也应成立，这就是和化积时角是 “两角和的一半，两角差的一半”的原因。
将和差化积的分析逆用“积化和差”，就可以将 “积化和差”的4个公式记住
1 sin x cos y = [sin( x + y ) + sin( x y )] 2 1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
1 1 1 1 ) = ( a n a n +1 d a n a n +1
1 an an +1an + 3 1 1 1 = ( ) 2d an an +1 an +1an + 2
初 等 数 学 专 题 研 究
1 1 1 1 ( ) = an an +1an + 2 an + 3 3d an an +1an + 2 an +1an + 2 an + 3 1 1 1 1 ( ) = an an +1 an + k 1 ( k 1)d an an +1 an + k 2 an +1an + 2 an + k 1
这8个公式是利用三角函数的两角和与差的公式推导出来 的，要准确地记住它，我们还是要从这里下手。 sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
cos( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y 这两个公式有下面几个特点：
1、正弦具有“异名搭配”的特点，余弦具有“同名搭配”的 初 等 特点 数 2、正弦具有“保号”的特点，余弦具有“变号”的特点
3
S = 14 + 24 + 34 + + n 4 ………………………… k S n = 1k + 2k + 3k + + n k
三、三角级数 在中学里，我们还用数学归纳法证明过下面的结论
n +1 n sin α sin α 2 2 sin α + sin 2α + + sin nα = α sin 2
初 等
3、根据“正弦具有异名搭配、余弦具有同名搭配”的特点， 数 学 所以正弦应化成“异名积”，而余弦化成“同名积” 专 4、根据“本名占优”的特点，和化为积时，都是本名函 数在前（因为和对化积的两项都没有损耗，所以“本名占 优”）；差化为积时，都是异名函数在前（因为差对化积 的两项有损耗，所以“本名不占优”）；
这个求和问题的解决，关键是怎样才能产生错位相消的项。 解决它需要运用三角函数中的“和差与积得互化”公式 这八个公式现在又恰恰是中学不作要求的内容。 之所以这样，其原因之一是大多数人认为它们很难被记住
初 等 数 学 专 题 研 究
其实要记住这八个公式并非如人们所公认的那样难，只要 我们分析掌握了它们的特点，就很容易记住。 其次，记住这8个公式，在学习积分时是很有好处的。 例如，求形如
1 1 10 18
1 1 1× 2 5 × 6
这种简化计 算的思路我 们称之为 “错位相消” 策略
这两个例题实际上是等差数列连续若干项乘积的倒数和问题 设数列{an}是公差为d的等差数列 这样就得到下面的若干求和问题
1 1 1 + ++ a1a2 a2 a3 an an +1 1 1 1 + ++ a1a2 a3 a2 a3a4 an an +1an + 2
二、自然数的方幂和 在中学里，我们曾经用数学归纳法证明过下面的结论
n( n + 1)( 2n + 1) 1 + 2 ++ n = 6 如果我们事先不知道右边的结论，数学归纳法在这里就 成为无用武之地的“屠龙技”
2 2 2
初 等 数 学 专 题 研 究
现在的问题是，等式右边的结论是怎么得到的？ 解决这个问题有多种不同的思路。 这里，我们采用“错位相消的策略”来解决这个问 题。 关键是怎样才能出现正负相间，可以错位相消的项
Байду номын сангаас
初 等 数 学 专 题 研 究
1、所谓“和差化积”，指的是同名函数才能化积，异名函 数不能直接化为积的形式 这样能化积得就只能是“正弦的和与差、余弦的和与差” 这四种形式 2、积的形式中，角的结构为“两角和的一半在前，两角差 的一半在后”
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin
……………………
右边的求和我们 专 分成三部分进行： 题 第一部分是连续自 究 然数的平方和的3倍 第二部分是连续自然 数和的3倍 第三部分是n个1相加
+ ) ( n + 1) n = 3n + 3n + 1
3 3 2
( n + 1)3 1
我们记
2 1 = 3 ×1 + 3 ×1 + 1
3 3 2
1 Sn = 1 + 2 + 3 + + n 2 S n = 12 + 22 + 32 + + n 2
33 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
43 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1 ……………………
那么左边这组等式等号 右边相加后就成为
( n + 1) n = 3n + 3n + 1
等 数 学 专 题 研 究 初
x+ y x y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2
所以
3 2 n 1 n
这里我们利用立方差解决了自然数的平方和问题
( n + 1)3 n3 = 3n 2 + 3n + 1
相应地，用四方差解决立方和、用五方差解决四方和、…… 一般地用k+1方差可以解决自然数的k方和：
( n + 1)4 n 4 = 4n3 + 6n 2 + 4n + 1
初 等 数 学 专 题 研 究
1 sin x cos y = [sin( x + y ) + sin( x y )] 2 1 cos x sin y = [sin( x + y ) sin( x y )] 2 1 cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x y )] 2 1 sin x sin y = [cos( x + y ) cos( x y )] 2
研 究 题
5、由于余弦具有变号性，所以余弦差化积时前面须带 “负号”
x+ y x y cos 2 2 x+ y x y sin x sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin