第3章-刚体力学基础
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第3章刚体力学基础
描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
第3章 刚体力学
说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z
s r
v r
an r 2
O
at r
dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业
L2
−
L1
=
J 2ω2
−
J1ω1
质点的动量定理
dpr
=
r F
⋅
dt
∫ r
I
=
tr F ⋅ dt =
t0
pr − pr0 = mvr − mvr0
三、刚体的角动量守恒定律
1. 角动量守恒定律
∫ 由角动量定理
r M
当
r M外
=
0
时，
外
d
t r
ΔL
= =
Δ 0
r L
r L
=
恒矢量
P.6
1
区分两类冲击摆
(1)
大作业题解
刚体力学
第3章 刚体力学基础
一、对转轴的力矩
r M
=
rr
×
r F
单位：N·m
r M
=
rr
×
r F⊥
r M
=
rr
×
r F
大小: 方向:
M = Frsinϕ
rr
→
r F
右旋前进方向
二、定轴转动定律
M z = Jβ
P.2
转动惯量(moment of inertia)
∑ 1. 定义 J = iri2mi 单位: kg ⋅ m 2
l/4 O
[ A]
mg l = 1 Jω 2 J = 7 ml 2
22
48
⇒ ω = 4 3g 7l
P.11
9．如图所示，一人造卫星到地球中心C的最大距离和
最小距离分别为RA和RB。设人造卫星对应的角动量分
别为LA和LB，动能分别为EkA和EkB，则有
(A) LB > LA，EkB > EkA
刚体力学基础
1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J＝ miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件：M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
第3章 刚体力学基础
第i个质元的动能： Eki
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
大学物理教案-第3章 刚体力学基础
J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。
二、力矩的功
对于 i 质点，其受外力为 F i ，则
Wi Fi dsi Fi cos α i ridθ Fiτ ridθ
Mid 对 i 求和，当整个刚体转动 d ，则力矩
的元功
dW ( Mi )d Md
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
W 2 Md 1
对于单个质点 转动惯量
J mr2 ，
质点系 转动惯量
n
J miri2 ，式中 ri 为 i 质点到轴的矩离。 i 1
质量连续分布的刚体 转动惯量 I r2dm 。 m
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
刚体的转动惯量与
刚体的质量的有关, 刚体的质量分布有关, 。
轴的位置有关。
三、转动定律的应用
三、刚体定轴转动的动能定理
Md
J
d dt
d
J
d dt
dt
J
d
d
1 2
J2
2 1
M
d
1 2
J22
1 2
J12
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
§3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材 P40 §2.4）
1、质点对固定点的角动量
ani ri 2
质点（a =常数）
v v0 at
x
x0
v0t
1 at 2 2
v2 v02 2ax x0
刚体（ ＝常数）
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 0
1
大学物理学
刚体力学基础
FN mA FT1 O x PA
FT1
FC
PC F T2
FT2
mB PB y
26
O
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
6
(rad / s )
2
2.角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转 轴的距离为ri.则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
ai ri
ain 2ri
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
dL M dt
13
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
14
3.转动惯量的计算
J mi ri2
刚体转动惯量的大小与三个因素有关： ①与刚体的总质量有关； ②与刚体质量对轴的分布有关； ③与轴的位置有关。 单个质点 质点系
J mr
1 T2 R T1R M f J mR 2 2
(3)
(4)
m
Mf
R
T2
再从运动学关系上有
a a R
T1
mg
(以“方向”为正)
22
联立四式解得：
a
m2 m1 g
Mf R
1 m1 m2 m 2
m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2
FT1
FC
PC F T2
FT2
mB PB y
26
O
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
6
(rad / s )
2
2.角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元i到转 轴的距离为ri.则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
ai ri
ain 2ri
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
dL M dt
13
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
14
3.转动惯量的计算
J mi ri2
刚体转动惯量的大小与三个因素有关： ①与刚体的总质量有关； ②与刚体质量对轴的分布有关； ③与轴的位置有关。 单个质点 质点系
J mr
1 T2 R T1R M f J mR 2 2
(3)
(4)
m
Mf
R
T2
再从运动学关系上有
a a R
T1
mg
(以“方向”为正)
22
联立四式解得：
a
m2 m1 g
Mf R
1 m1 m2 m 2
m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
刚体力学基础讲解
J 1 MR2 a R
2
R1
M1 M2
R2
T2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
T1R1 T2 R2 J
T1 mm1
m2 M2 g
J
1 2
M1R12
1 2
M 2R22
a1 R1
m1g
a2 R2
P.19/34
第3章 刚体力学基础
例3-6. 一质量为m，长为l 的均质
乘积定义为对转轴的力矩.
M r F
单位：N·m
M
r
F
大小: M Fr sin 方向: 右手螺旋
力矩的方向由右螺旋法则确定 3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量
P.8/34
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系
M
R
T1 Mg T2 mm1 m
m1g 2 m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
T1
N2 MR
m1g
T2
Mg
m2
m2g
第3章 刚体力学基础
m2 g T2 m2a T1 m1a
T2R T1R J
定轴转动：转轴固定不动的 转动.
A
A
B
A
B
B
3.平面平行运动(plane-parallel
motion) 刚体在运动过程中，其上每
一点都在与某固定平面相平行 的平面内运动.自由度为3.
2
R1
M1 M2
R2
T2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
T1R1 T2 R2 J
T1 mm1
m2 M2 g
J
1 2
M1R12
1 2
M 2R22
a1 R1
m1g
a2 R2
P.19/34
第3章 刚体力学基础
例3-6. 一质量为m，长为l 的均质
乘积定义为对转轴的力矩.
M r F
单位：N·m
M
r
F
大小: M Fr sin 方向: 右手螺旋
力矩的方向由右螺旋法则确定 3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量
P.8/34
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系
M
R
T1 Mg T2 mm1 m
m1g 2 m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
T1
N2 MR
m1g
T2
Mg
m2
m2g
第3章 刚体力学基础
m2 g T2 m2a T1 m1a
T2R T1R J
定轴转动：转轴固定不动的 转动.
A
A
B
A
B
B
3.平面平行运动(plane-parallel
motion) 刚体在运动过程中，其上每
一点都在与某固定平面相平行 的平面内运动.自由度为3.
第三章 刚体力学基础
J mi ri2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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J mR2
a
c
b
J miri2
i
(1) 平行轴定理
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴 L :两轴间垂直距离
J z' J z ML2
m R O
z' z M
L C
平行轴定理证明：
rrii
rri oro
ri
ri2 ri2 ro2 2ri ro
r
F
力对轴的力矩
MZ
r
F
z
Mo
F
O . r
M o z F//
F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
h r
F
A F
Fn
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi :
Fi
F内i
mi ai
法向：...
dt
d
dt
d 2
dt 2
第二类问题 ------ 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
t
0
dt
0
t
0
dt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t
0
0t
1 2
t 2
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同.
rA rB BA
rA rB
vA vB aA aB
A A
A B B
B
O
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。
z ω,v
r' P
Oθ
刚体
r
×基点O
参 考 方
向
矢量表示
刚体转动的角速度矢量
k
角加速度矢量
d
k
dt
速度与角速度的矢量关系式
v
dr
ω
r
dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a dv d(ω r) dω r ω dr
直径 对称轴
Jx
Jy
1 4
mR
2
JC
1 2
m(
R12
R22 )
球壳
（半径为R）
中心轴
JC
2 3
mR
2
球体
（半径为R）
中心轴
JC
2 5
mR
2
3.3.4 刚体定轴转动定律的应用
M Jβ
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
dt dt dt
dt
β
r
ω
v
aτ
r
an v
z ω,v
r' P
Oθ
刚体
r
×基点O
参 考 方
向
定轴
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d
2 02 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 设 kt 2 （k为比例常量）
d kt 2
dt
分离变量并积分： d t kt2dt
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回 转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
R
r dr
O
圆环的质量为: dm 2πrdr
圆环的转动惯量为
m πR 2
dJ r2dm r2 2πrdr 2πr3dr
则整个圆盘的转动惯量为
J
dJ 2π
R r3dr
0
2π
m πR 2
1 4
R4
1 mR2 2
讨论 质量分布对转动惯量的影响？
v Ax
dxA dt
R sin(t
0)
v Ay
dyA dt
R cos(t
0)
vA
v
2 Ax
v
2 Ay
R
25
300
0.26 m / s
aAx
dv Ax dt
R 2 cos(t
0)
aAy
dv Ay dt
R 2 sin(t
0)
讨论：.............
解 2π 2π π
T 10 60 300
吊箱平动
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) L
x
2 A
( yA
L)2
R2
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) LaA a源自2 Axa
2 Ay
R 2
25 2
3002
2.7 103
m / s2
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
z
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
求解力若受矩重力分物分析B析下F,T1降取的时如力，图矩滑所：块示MA的1 的正加方F速T向1r度a及绳C 中的张力a1。A
FT 2的力矩：M 2 FT 2r
J l / 2 x2dx 1 ml2
l / 2
12
(2) 以细杆的一端O为坐标原点，取如图所示的坐标
则此时的转动惯量为： J l x2dx l 3 1 ml 2
0
33
例 试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂
直于环面的转轴的转动惯量。 J r2dm
J miri2
i
对质量离散分布的质点系 J miri2
r
i
对质量连续分布的刚体 J r2dm
r 2dl 质量线分布，为线密度( m )
J
L
L
r 2dS 质量面分布，为面密度( m )
S
S
V
r 2dV 质量体分布，为体密度(
角坐标 f (t) (运动学方程)
角速度
d f '(t)
dt
转动平O面 P(t)
x
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v r'
an r' 2
a
dv dt
r'
不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J
Fr J
98 0.2 0.5
39.2
rad/s 2
TF
(2) mg T ma
Tr J
J
mgr mr2
两者区别
m V
)
例 试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。
(1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点；
(2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端。
J r2dm
解 (1) 取如图所示的坐标 在细杆上x 处取线元dx 线元的质量为
O O
x x dx
x'
dm dx m dx
细杆对过中点的垂直转l 轴的转动惯量为
N 1687.5102 268102 r
2π
2π
§3.3 刚体绕定轴转动定律