利用空间向量求空间角

＝θ，则二面角 α-l -β为 θ或 π－ θ.设二面角大小为 φ，则 |cos φ|＝ |cos θ|＝ |n 1·n 2|? ，如图 (2)(3) ． |n 1 ||n 2|
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为
(0， π，）所以公式中要
加绝对值．
直线与平面所成角的范围为
0，
π 2
＝ 3
6 4.
即 PB 与 AC 所成角的余弦值为
6 4.
考点二 直线与平面所成的角
[ 典例精析 ] (2019 ·合肥一检 )如图，在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形， BF⊥平面 ABCD ，DE ⊥平面 ABCD ，BF ＝DE ， M 为棱 AE 的中点． (1)求证：平面 BDM ∥平面 EFC； (2)若 DE ＝ 2AB，求直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值． [解 ] (1) 证明：连接 AC 交 BD 于点 N，连接 MN ， 则 N 为 AC 的中点， 又 M 为 AE 的中点，∴ MN ∥ EC. ∵ MN ?平面 EFC ，EC? 平面 EFC， ∴ MN∥平面 EFC. ∵ BF， DE 都与平面 ABCD 垂直，∴ BF∥ DE . ∵ BF＝ DE ，
|a ·n |
φ为 l 与 α所成的角，则 sin φ＝ |cos〈 a ， n 〉|＝
?.
|a ||n |
3． 二面角 (1)若 AB，CD 分别是二面角 α- l-β的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线， 则二面角 (或其 补角 )的大小就是向量 ―A→B 与 ―CD→的夹角，如图 (1)．
(2)平面 α与 β相交于直线 l ，平面 α的法向量为 n 1，平面 β的法向量为 n 2，〈n 1， n 2〉
|cos〈
―NH→，
―B→E 〉
|＝
―→ | NH ―→
―→ ·BE ―→
|
| NH || BE |
＝
|2h－ 2| h2＋ 5× 2
＝ 3
217，
整理得
10h2－ 21h＋8＝ 0，解得
h＝ 85或
h＝
1 2.
所以线段
AH
的长为
8或 5
1 2.
[ 解题技法 ] 用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
利用空间向量求空间角 一、基础知识
1． 异面直线所成角 |a ·b |
设异面直线 a，b 所成的角为 θ，则 cos θ＝ ? ， 其中 a ，b 分别是直线 a，b 的方向 |a ||b |
向量． 2． 直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 α的斜线， l∩ α＝ A， a 为 l 的方向向量， n 为平面 α的法向量，
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
[提醒 ] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为 锐角或直角时， 此夹角就是异面直线所成的角； 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时， 其
n·―D→B ＝ 0， 则
―→ n·DM ＝ 0，
2x＋ 2y＝ 0， 得
x＋ 2z＝ 0.
令 x＝ 2，则 y＝－ 2， z＝－ 1，
从而 n＝ (2，－ 2，－ 1)为平面 BDM 的一个法向量．
∵ ―A→E ＝ (－ 2,0,4) ，设直线 AE 与平面 BDM 所成的角为 θ，
则 sin θ＝ |cos
[题组训练 ]
1．在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中， AB＝ 2，BC＝ AA1＝1，则 D 1C1 与平面 A1BC1 所成角 的正弦值为 ________．
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz，由于 AB＝2， BC＝
AA1＝ 1，所以 A1(1,0,1) ， B(1,2,0) ， C1(0,2,1) ，D 1(0,0,1) ，所以 A―1→C1＝ (－
解析： 选 C 以 B 为坐标原点，以 BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1 为
z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． 设 AB＝ BC＝ AA1＝ 2，则 C1(2,0,2) ，
E(0,1,0)
，F
(0,0,1)
，∴
―→ EF
＝
(0
，－
1，1)
，―BC→1＝
(2,0,2)
，∴
―E→F
―→ ·BC1
(1)求证： BD ⊥A1D ； (2)若直线 A1D 与平面 BC1D 所成角的正弦值为 45，求 AA1 的长．
解： (1)证明：∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱， ∴ AA1⊥平面 ABC， 又 BD ? 平面 ABC，∴ BD⊥ AA1， ∵ BA＝ BC， D 为 AC 的中点，∴ BD⊥ AC，
―→
―→
又 MN ＝ (1,2，－ 1) ，可得 MN ·n ＝ 0.
因为 MN ?平面 BDE ，所以 MN ∥平面 BDE .
(2)依题意，设 AH＝ h(0≤ h≤4) ，则 H(0,0， h)， 进而可得 ―N→H ＝ (－ 1，－ 2， h)， ―B→E ＝ (－ 2,2,2)．
由已知，得
＝
2
，
∴cos〈 ―E→F ， ―BC→1〉＝
2 2× 2
＝ 2
12，则
EF
和
BC1 所成的角是
60°，故
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2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB＝ 2，∠ BAD ＝60°.
(1)求证： BD ⊥平面 PAC；
(2)若 PA＝ AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值． 解： (1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，
n， ―A→E
―→
|＝
|n·AE | ―→
＝
4155，
|n| ·| AE |
∴直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为
45 15 .
利用向量求线面角的 2 种方法
[ 解题技法 ]
(1) 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹 角( 或其补角 )．
(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其 余角就是斜线与平面所成的角．
补角才是异面直线所成的角．
[ 题组训练 ] 1.如图所示， 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB＝ BC＝AA1， ∠ABC ＝ 90°，点 E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的 角是 ( )
A ． 30°
B ． 45°
C． 60 °
D ．90°
∴四边形 BDEF 为平行四边形，∴ BD∥ EF. ∵ BD?平面 EFC ， EF? 平面 EFC ， ∴ BD∥平面 EFC . 又 MN ∩ BD＝ N，∴平面 BDM ∥平面 EFC . (2)∵ DE ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形， ∴ DA， DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 D-xyz. 设 AB＝ 2，则 DE ＝ 4，从而 D (0,0,0) ，B(2,2,0) ，M (1,0,2) ，A(2,0,0) ， E(0,0,4) ， ∴ ―D→B ＝ (2,2,0) ， ―DM→＝ (1,0,2) ， 设平面 BDM 的法向量为 n＝ (x， y，z)，
所以 AC ⊥BD .
因为 PA⊥平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ， 所以 PA⊥ BD .
又因为 AC∩ PA＝ A，所以 BD⊥平面 PAC.
(2)设 AC∩ BD ＝ O. 因为∠ BAD ＝ 60°，PA＝ AB＝ 2，
所以 BO ＝1， AO＝ CO＝ 3. 如图，以 O 为坐标原点，射线 OB，OC 分别为 x 轴， y 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 O-xyz，
考点一 异面直线所成的角
[ 典例精析 ] 如图， 在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC ＝ 90°.点 D ，E，
N 分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA＝ AC＝ 4，
AB＝ 2. (1)求证： MN ∥平面 BDE；
(2)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 217，
设平面 BC1D 的法向量为 n ＝ (x， y， z)，
―→ n ·DC 1＝ 0，
则
n
―→ ·DB
＝
0，
4y＋ λ＝ｚ0， 即
3x＝ 0，
则 x＝ 0，令 z＝ 4，可得 y＝－ λ， 故 n ＝(0，－ λ， 4)为平面 BC1D 的一个法向量． 设直线 A1D 与平面 BC1D 所成角为 θ，
于 AA1 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.
设 AA1＝ λ(λ＞ 0)，则 A1(0，－ 4， λ)，B(3,0,0) ， C1(0,4， λ)， D(0,0,0) ，
―→
―→
―→
∴ DA 1＝ (0，－ 4， λ)， DC1＝ (0,4， λ)， DB ＝ (3,0,0) ，
A1 BC1 所成角为
θ，则
sin
θ＝
|cos〈
―→ D 1C 1，
n
〉
|＝
―→ |D―1→C1·n|＝ |D 1C 1||n |
2
2 ×
＝ 3
1，即 3
D 1C1 与
平面 A1BC1 所成角的正弦值为
1 3.
答案：
1 3
2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BA＝ BC＝ 5，AC＝ 8，D 为线段 AC 的中点．
则 sin θ＝ |cos
n ， D―A→1
―→ |n ·DA 1| |＝ ―→ |n | ·|DA 1|
＝
|4λ＋ 4λ| λ2 ＋ 16· λ2＋
＝ 16
4 5
，解得
λ＝ 2 或 λ＝ 8，
即 AA1＝ 2 或 AA 1＝ 8.
考点三 二面角
[ 典例精析 ] 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB＝ 5， AC＝ 6， 点 E， F 分别在 AD， CD 上， AE＝ CF＝54， EF 交 BD 于点 H.将△ DEF
又 AC∩ AA1＝ A，AC ? 平面 ACC1A1， AA 1? 平面 ACC1A1 ， ∴ BD⊥平面 ACC1A1， 又 A1D? 平面 ACC1A1，∴ BD⊥A1D . (2)由 (1) 知 BD⊥ AC， AA1⊥平面 ABC， 以 D 为坐标原点， DB，DC 所在直线分别为 x 轴， y 轴， 过点 D 且平行
则 P(0，－ 3， 2)， A(0，－ 3， 0)， B(1,0,0) ， C(0， 3， 0)，
所以 ―P→B ＝ (1， 3，－ 2)， ―A→C ＝ (0， 2 3， 0)． 设 PB 与 AC 所成角为 θ，
―→ ―→
则
cos
θ＝
| PB ―→ | PB
·―A→C |＝ || AC |
2
6 2×2
E(0,2,2) ， M (0， 0,1)， N(1,2,0) ． (1)证明： ―D→E ＝ (0,2,0) ， ―D→B ＝ (2,0，－ 2)．
设 n ＝(x， y， z)为平面 BDE 的法向量，
n
―→ ·DE
＝
0，
则
n
―→ ·DB
＝
0，
2y＝ 0， 即
2x－ 2z＝ 0.
不妨取 z＝ 1，可得 n ＝ (1,0,1) ．
1,2,0)
―→ ，BC1
＝
(
－
1,0,1)
，D―1→C1＝
(0,2,0)
．设平面
A1BC1 的法向量为
n＝ (x，
y，z)，则有
―→ A1C1·n＝ 0， ―→
BC 1·n＝ 0，
－x＋2y＝ 0，
即
令 x＝ 2，得 y＝1， z＝ 2，则 n＝(2,1,2) ．设
－ x＋ z＝ 0，
D1C1 与平面
，而向量之间的夹角的范围为
[0， π，］所以公式中
要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈 互补，需要结合图形进行判断．
n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝ cos θ1 cos θ2.
如图，若 OA 为平面 α的一条斜线， O 为斜足， OB 为 OA 在平面 α内的射影， OC 为平 面 α内的一条直线， 其中 θ为 OA 与 OC 所成的角， θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角， θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2.
求线段 AH 的长．
[解 ]
由题意知，AB，AC，AP
两两垂直， 故以
A
为原点，分别以
―→ AB
，
―→ AC
，
―A→P
方向为
x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标
系．依题意可得 A(0， 0,0)，B(2， 0,0)， C(0,4,0) ， P(0， 0,4)，D (0,0,2) ，