高中数学_平面向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思

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高中数学_6.3 平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量基本定理教学设计数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。

这“三会”就是高中阶段的数学学科核心素养。

以发展学生的数学学科核心素养为目标，设计了本节课。

【学习目标】知识与能力目标理解平面向量基本定理及其意义，并能运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。

过程与方法目标经历平面向量基本定理的探索与证明过程, 感悟数学抽象，逻辑推理，由特殊到一般等数学思想的作用，培养学生的学科素养。

情感态度与价值观目标在学习中注重培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质。

【教学重点】平面向量基本定理的理解、定理的应用。

【教学难点】平面向量基本定理的理解及其推导。

【教学过程】（一）创设问题引入新课情境：我们知道，世界上的所有旋律都是由7个基本音符谱成的，那么平面内的所有向量能否由几个基本向量来表示呢？【设计意图】通过类比的方法引入新课，激发学生的求知欲，并暗含平面向量基本定理的本质。

复习1:共线向量基本定理：复习2：向量求和的平行四边形法则？提出问题：反之呢？如图的向量 a 能否用向量表示呢？接着让学生拿出方格纸，通过作图的方法探究下面问题【设计意图】课程标准解读中曾指出：数学眼光是什么呢？主要表现为数学抽象，而与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是实现数学抽象的思维基础。

因此在设计问题时，先把问题直观化，让同学们通过在方格纸上作图，直观感受向量的分解。

接着提出以下问题：1e 2e【师生活动】师生共同用PPT 展示向量a 的分解过程，并在展示过程中进一步提出小问题：（1）为何要把向量平移使其共起点？（2）利用什么知识对向量a 进行分解？（3）为什么OB OA a +=11e OA λ=22e OB λ=呢？学生回答问题。

平面向量的线性运算教学设计

平面向量的线性运算教学设计设计思路：本文基于平面向量的线性运算教学设计，主要内容包括向量的加法、减法、数乘以及线性组合等方面。

通过理论知识的介绍、示例的演示和互动练习等方式，让学生能够深入理解线性运算的概念与性质，提高解决实际问题的能力。

【引言】平面向量的线性运算是数学中重要的内容之一，它在几何、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

正确理解和掌握平面向量的线性运算，对于学生培养逻辑思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将通过教学设计，帮助学生深入理解平面向量的线性运算，并能够灵活运用于实际问题中。

【教学设计】一、理论知识的引入1. 引入向量的概念与性质：向量的定义、向量的模、向量的方向等。

2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、位置矢量表示法等。

二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量相加的几何意义，向量相加的运算法则。

2. 向量的减法：向量相减的几何意义，向量相减的运算法则。

三、向量的数乘与线性组合1. 向量的数乘：向量与实数相乘的几何意义，向量数乘的运算法则。

2. 向量的线性组合：向量线性组合的概念与性质。

四、实例演示与解析1. 实例1：平面向量的相加减计算。

通过具体的示例，引导学生学会进行向量的相加、相减运算。

2. 实例2：向量的数乘与线性组合应用。

结合实际问题，让学生理解向量的数乘与线性组合在几何、力学等方面的应用，如力的合成与分解等。

五、互动练习与巩固1. 设计小组练习题目：编写一些向量加减或数乘题目，供学生进行小组讨论与解答。

2. 出示练习题目进行课堂检测：出示一些题目，要求学生即时回答，并解析答案，加深学生对知识点的理解与掌握。

【教学反思】通过本教学设计，学生在学习过程中通过理论知识的介绍、实例演示以及互动练习等方式，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使学生对平面向量的线性运算有更深入的理解和应用。

同时，教学过程中注重互动，培养学生的合作意识和团队精神，增加学习的趣味性。

高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思

4.2 平面向量教学设计（复习课）班级姓名使用时间编号专题审批人课题 4.2平面向量编制人审核人学习目标1.以平面图形为载体，掌握平面向量的线性运算及其几何意义2.会解决以平面向量基本定理为载体，与向量的坐标运算，数量积交汇的问题3.掌握数量积的有关坐标运算，平面向量与三角等知识交汇问题重点平面向量的线性运算，数量积的运用难点平面向量在平面几何中的综合应用以及新定义“自学质疑”阶段一、目标导学：该专题主要考查1.以平面图形为载体，借助向量考查响亮的线性运算及几何意义2.以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算，数量会计交汇3.向量的数量积的应用及向量在平面几何中的应用命题热点利用平面向量的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题,与三角函数、解析几何交汇命题.二、文本自学1.平面向量的线性运算的几何意义（三角形法则）2.掌握平面向量的坐标运算公式3.掌握平面向量的几何意义及其坐标运算（夹角，垂直，等）公式4.平面向量在平面几何中的常用结论看资料知识回顾部分，记住（1）（2），1.必记公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则①a∥b⇔a=λb(b≠0，λ∈R)⇔__________.②a⊥b⇔a·b=0⇔__________.重要性质及结论(1)若a与b不共线，且λa+μb=0，则________.(2)已知(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是________.备考策略：1.数形结合方法，数形结合，等价转化.2.知识链接点：正余弦定理，平面几何有关知识学生活动：学生利用约5分钟的时间完成成本环节内容，要求先默写，后对照课件答案纠错.教师活动：教师展示答案；强调易错点.设计意图:明确目标和考点，回顾知识，形成知识链接。

研讨理解阶段一、真题再现演练1.(2015·课标Ⅰ，7，易)设D 为△ABC 所在平面内一点，→BC ＝3→CD ，则( )A.→AD ＝－31→AB ＋34→ACB.→AD ＝31→AB －34→ACC.→AD ＝34→AB ＋31→ACD.→AD ＝34→AB －31→AC2.(2015·，4，易)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则→BD ·→CD ＝( )A ．－23a 2B ．－43a 2 C.43a 2 D.23a 23.(2013·，15)已知向量→AB 与→AC 的夹角为120°，且|→AB |＝3，|→AC |＝2.若→AP ＝λ→AB ＋→AC ，且→AP ⊥→BC ，则实数λ的值为________．学生活动：对照教师给出的答案，纠错，订正.（单元组内交流，互相讲解）教师活动：针对错的较多的第4题，点拨讲评.设计意图：练真题感受高考，教学具有针对性。

高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、导1.轴上向量坐标及其运算2.平面向量基本定理3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。

我们通常放在直角坐标系中研究向量的正交分解。

4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？二、思（按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。

）1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示?2.如何判断两个向量是互相垂直？3.什么叫做正交基底？4.什么叫做正交分解？5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ--------------1122a e e λλ=+6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。

7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。

8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。

9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（），（求顶点D 的坐标。

三、议讨论“思”中的问题。

四、展我展示！我补充！我质疑！五、评1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。

2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。

3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2b b ,2a a (2121++ 六．检课本103页练习A 第2题、第4题七、练1、《同步练习册》第52页基础巩固、第53页能力提升2、整理笔记当堂检测向量的正交分解与坐标运算1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b2设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)3.已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a+b的坐标。

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

《平面向量的概念及线性运算》教学反思本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。

因为向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生厌烦的情绪。

建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。

向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。

只是课上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们，并没有多少人会回答。

建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进行眼神交流。

4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积反思：本节课主要是①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。

让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量【高考考纲解读】1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等.【重点、难点剖析】1、（1）平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.4.平面向量的三个锦囊【高考真题】2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔(2)a ⊥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[练真题·考什么]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．02．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．836．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 43．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－15解析：解法一：设BC 的中点为D，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而EA →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.故选B.【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【典型例题】解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32. PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x ，32－y ＝2(x ＋1)·x －12＋y ·y －32＝2x ＋142＋y －342－34. 因此，当x ＝－1，y ＝3时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝－32，故选B.2232413()()44x y ⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝()A.2B.83C.65D.85命题角度1 平面向量的线性运算热点一解析法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二：方程思想{}12,,1242=55245562558+=5AM AB AD AB AD AM AN BN AD AB AB AM BN AD AM BN AC AB AD AM BNλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩=+=+uuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r 以，为基底来表示则有解得所以所以规律方法1．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断.【例1】 (1)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．命题角度1 平面向量的数量积热点二(2)法一如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE → ·CB → ＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC → ＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC→的最大值为1.【训练2】在平行四边形ABCD 中，M,N 分别为DC,BC 中点，若,+AC AM AN λμλμ=+u u u r u u u u r u u u r 求的值法二如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB →方向上的投影都是CB＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．（3）解析：设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝ 12＋(3)2＝2，a ·b ＝3＋3m ，∴|b |cos θ＝|b |×a ·b |a ||b |＝3＋3m 2＝3，解得m ＝ 3.∴|b |＝2 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋3×32×23＝32.∵θ∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角θ为π6.规律总结：求两个向量的数量积有三种方法：1、利用定义；2、利用向量的坐标运算；3、利用数量积的几何意义．【课堂小结】 1、本节课你有哪些收获 2、本节课运用了哪些思想方法【作业】平面向量对应的活页作业NO.15学情分析本节课是高三二轮专题复习课，学生已经在第一轮的学习中基本掌握了平面向量基本定理的基本概念及运算，本节课是在此基础上进一步加强对平面向量的综合运用。

《平面向量的线性运算》教学反思

《平面向量的线性运算》教学反思第一篇：《平面向量的线性运算》教学反思复习本节课，应该说是轻松的，复习目标无非是1，向量概念的梳理，2向量的线性运算，3，共线向量定理的应用，《平面向量的线性运算》教学反思。

但实际上课过程中，我感觉很累，主要问题自己想了一下，主要是以下几点：1，自身对向量的概念还没有真正理解透，像有向线段只是向量的一种表现形式，但并不是向量，我不知道对于学生，我有没有让学生真正理解；2，板书不是强项，看到别的老师拿着三角板进行作图，本身自己作图就不太好，还随手画，对于学生不是一个好现象；3，时间的把握上，7班明明只有35分，我还是发现自己有些废话太多，导致没有像在8班完整上完，教学反思《《平面向量的线性运算》教学反思》。

第二篇：平面向量线性运算已知向量共线，求参数的值三点共线问题证明三点共线的常见方法有1.证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度2.利用斜率3.利用直线方程即由其中两点求出直线方程，再验证第三点在这条直线上4.利用向量共线的条件方法4是最优解法求点或向量的坐标求两向量的夹角证明两个向量垂直第三篇：《向量的线性运算》的教学设计《向量的线性运算》教学设计一、教材分析1、本单元的教学内容的范围本单元包括向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量共线的条件与轴上向量坐标运算，共5小节内容。

2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用站在数学学科角度来看平面向量，向量的运算（包括中学阶段的平面向量与空间向量）是在数的运算的基础上对运算的发展；向量的两重性使得向量成为几何问题代数化的一个重要组成部分，这对数字化时代研究几何问题提供了一个良好的手段；平面向量为研究三角函数、解析几何等提供了工具作用；平面向量是空间向量的基础。

《向量的线性运算》作为平面向量的第一个单元的教学内容，既是《平面向量》这一模块的重要知识，也是学习本模块其他知识的基础。

3．本单元的教学内容总体教学目标（1）通过实例，了解平面向量的实际背景。

高中数学_ 平面向量的基本定理及坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。

平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。

过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。

二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。

2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。

情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。

2、体会数形结合的思想三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示[来源: 教学难点：平面向量的基本定理。

教学方法：引导探究式教学手段：多媒体教学四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。

2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。

（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节（二）新课讲解1AB ，，问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2，问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。

设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

教课方案一、教材剖析本节课选自人教 A 版高中数学必修 4 第二章 2.3.1 平面向量基本定理。

学生在学习平面向量实质背景及基本观点、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）以后的又一要点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转变为代数运算的基础，是向量的工具性获得初步的表现，拥有承上启下的作用 . 二、学情剖析本节课的讲课对象是一般中学的高一学生，该年级的学生已经学习了向量的基本观点和基本运算以及平面向量共线定理；学生对向量的物理背景有了初步的认识，如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习本课作了充足准备，具备了进一步研究的能力.可是本班学生不擅长对知识进行总结归纳，所以在教课过程中，指引学生进行独立思虑，并逐渐培育他们的归纳归纳能力.三、教课重难点1.教课要点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2.教课难点：平面向量基本定理的研究；向量夹角的判断.四、教课目的(一)知识与技术目标：1.认识平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一直量；2.能用平面向量基本定理进行简单的应用。

(二)过程与方法目标：1.经过平面向量基本定理的研究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培育学生察看发现问题、由特别到一般的归纳总结问题能力；2.经过对平面向量基本定理的运用，加强学生向量的应意图识，让学生进一步领会向量是办理几何问题强有力的工具之一。

(三)感情、态度与价值观目标：1.用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培育学生不停发现、研究新知的精神，发展学生的数学应意图识；2.经历定理的产生过程，让学生体验由特别到一般的数学思想方法，在研究活动中形成持之以恒的研究精神和科学态度。

五、教课过程七个音符谱出千支乐曲，在多样的向量中，我们可否找到它的基本音符呢？第一经过问题复习平面向量的加减法运算及向量共线定理。

（学生回答）再来思虑这么一个问题，给定平面内两个向量e1 ,e2，怎样作出量e1 2 e2 , e11e2？（学生用平行四边形法例、三角形法例等达成. 教师2进行投影显现 . ）反过来，平面内任一直量a 能否都能够用形如1 12 2的向量表e e示？（师生共同达成，经过 GGB软件动向显现向量a的随意性，让学生更直观的认识 .）师生共同给出平面向量基本定理.重申：向量 a 的随意性、e1、e2不共线、系数 1 ， 2 的存在性与独一性。

高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量【高考考纲解读】1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题 ( 选择题或填空题) ，一般出此刻第 3～7 或第 13～15 题的地点上，难度较低．主要观察平面向量的模、数目积的运算、线性运算等，数目积是其观察的热门．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、分析几何等其余知知趣交汇综合命题，难度中等 .【要点、难点分析】1、（1）平面向量共线定理向量 a(a≠0)与b共线当且仅当存在独一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理假如 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a，有且只有一对实数λ，λ，使 a＝λe ＋λe ，此中 e ，e12112212是一组基底 .2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b?a＝λb? x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0? x1x2＋ y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ a·a＝x2＋ y2.(2)→（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2.若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB|＝(3)若 a＝ (x1， y1 )， b＝ (x2， y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b x1x2＋ y1 y2|a||b|＝x12＋ y12 x22＋ y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件： O 为平面上一点，则A，B，P 三点共线→→→此中λ1＋λ2＝1).的充要条件是 OP＝λ1＋λ2OA OB ((2)三角形中线向量公式：若P 为△ OAB 的边 AB 的中点，则向量→→ →→ 1 → →OP与向量 OA，OB的关系是 OP＝2(OA＋OB).→ → →(3)三角形重心坐标的求法： G 为△ ABC 的重心 ? GA＋GB＋GC＝0? G x A＋x B＋x C，y A＋y B＋y C.33【高考真题】[练真题·考什么 ]1． (2018 ·全国卷Ⅱ )已知向量a， b 知足 |a |＝ 1， a·b＝－ 1，则 a·(2a － b) ＝ () A ． 4 B ． 3C ． 2D ． 02．(2018 ·全国卷Ⅰ )在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，→＝E 为 AD 的中点，则EB()3 → 1 → 1 → 3 →A. 4AB －4AC B．4AB －4AC3 → 1 → 1 → 3 →C. 4AB ＋4AC D ．4AB ＋4AC4． (2016 ·全国卷Ⅱ)已知向量 a ＝ (1 ， m )， b＝ (3 ，－ 2) ，且 (a ＋ b)⊥ b ，则 m ＝ ()3A．－ 8B．－ 6C ． 6D ． 84·全国卷Ⅰ)已知向量 a ，b 的夹角为60°，|a|＝ 2，|b|＝ 1，则 |a＋ 2 b |＝ ________.6．(201753．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，→ →→()则 PA ·(PB ＋ PC )的最小值是A．－ 2 B ．－3 24C．－3D．－ 1→→→分析：解法一：设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有PB＋PC＝2PD，→ →→→ →则PA·＋PC ＝·(PB)2PAPD→→→→＝2(PE＋EA·－EA) (PE)→ 2→ 2＝2(PE－EA )．→3 2＝3，而EA2＝24→2→ → →当 P 与 E 重合时，PE有最小值 0，故此时PA·(PB＋PC)取最小值，→ 233最小值为－2EA ＝－2×＝－.应选 B.42解法二：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点成立平面直角坐标系，如图，则 A(－ 1,0)， B(1,0)， C(0， 3)，设 P(x ， y)，取 BC 的中点 D ，则 D1， 23 .2→ →→→ →13＝2(x ＋ 1)1 3＋ PC2PA ·PD ＝2(－ 1－x ，－ y) ·2 －y ·x －＋y ·y －2＝PA ·(PB)＝2－x ，222212 132 3 33( x))42x ＋4 ＋ y －( y －444.4所以，当 x ＝－1，y ＝→ → →33时， PA ＋PC)获得最小值，最小值为 2×－＝－3，44·(PB 42应选 B.【规律方法】求数目积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转变为长度和夹角已知的向量，利用向量的数目积运算成立目标函数，利用函数知识求解最值．【典型例题】命热题点角一度1 平面向量的线性运算【训练 1】 (2017衡·阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别→→ →是 BC ，CD 的中点，若AC ＝λAM ＋μBN ，则 λ＋μ＝()868 A.2B.3C.5D.5分析法一如图以AB ，AD 为坐标轴成立平面直角坐标系，设→1→1， 1 →正方形边长为 1， AM ＝ 1， 2 ，BN ＝－ 2 ， AC ＝ (1， 1).→ → →1 ＋ μ－ 1 ， 1 ＝ λ－ μ λ∵ AC ＝ λAM ＋ μBN ＝ λ， 2 ， 2＋ μ，1 2 216 λ－ 2μ＝ 1，λ＝ 5 ， 8∴ λ解之得2 故 λ＋ μ＝ 5.2 ＋ μ＝ 1，μ＝ 5 ，法二：方程思想uuuuruuur1 uuuruuur uuuruuuur uuur AM ABAD以则有2 ，为基底来表示ABADAM,AN, uuur uuur 1 uuurBN AD ABuuur 4 uuuur 2uuur2AB= AMBN解得uuur5 52 uuuur 4uuurADAMBN5 5uuur uuur uuur 6 uuuur 2 uuur 所以AB AD AM BNAC 5 5所以+= 8yDNC MAB x5【训练 2】在平行四边形ABCD中， M,N分别为 DC,BC中点，若uuurACuuuurAMuuurAN ,求+ 的值规律方法1．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转变到三角形或平行四边形中，灵巧运用三角形法例、平行四边形法例，密切联合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式表现的，常利用共线向量定理(当 b≠ 0 时， a∥ b? 存在独一实数λ，使得 a＝λb)来判断 .热命点题角二度 1平面向量的数目积【例1】 (1)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b| ＝ 10，则a·b ＝．→ →(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则，DE·CB的值为；→ →DE·DC的最大值为．(2)法一如图，以AB，AD为坐标轴成立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)， t∈[0，1]，→→则 DE＝(t，－ 1)，CB＝(0，－ 1)，→ →所以 DE·CB＝(t，－ 1) ·(0，－1)＝1.→→ →因为 DC＝(1，0)，所以 DE·DC＝ (t，－ 1) ·(1，0)＝ t≤1，→ →故 DE·DC的最大值为 1.法二→ →如图，不论 E 点在哪个地点， DE在CB方向上的投影都是 CB → →→＝1，所以 DE·＝|CB ·＝，CB| 1 1→→当 E 运动到 B 点时， DE在DC方向上的投影最大，即为 DC＝1，→ →→所以(DE·＝|DC ·＝1.DC)max| 1（43．）已知向量a＝(1， 3)，b＝(3，m)，且 b在 a 上的投影为3，则向量a 与 b 的夹角为．分析：设向量 a 与 b 的夹角为θ.∵b 在 a 上的投影为3，且|a|＝12＋3 2＝2，a·b＝3＋ 3m，∴|b|cosθ＝|b|×a·b＝3＋ 3m·＝＝3，解得 m＝ 3.∴|b|＝2 3.∴cosθ＝a b|a||b|2|a||b|3＋3×33π2×23＝2 .∵θ∈[0，π]，∴向量a 与 b 的夹角θ为6.规律总结：求两个向量的数目积有三种方法：1、利用定义；2、利用向量的坐标运算；3、利用数目积的几何意义．【讲堂小结】1、本节课你有哪些收获2、本节课运用了哪些思想方法【作业】平面向量对应的活页作业NO.15学情分析本节课是高三二轮专题复习课，学生已经在第一轮的学习中基本掌握了平面向量基本定理的基本观点及运算，本节课是在此基础长进一步增强对平面向量的综合运用。

高中数学_平面向量的线性运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

教学设计教学目标一、知识与能力：1.掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。

2.向量的加法与减法互为逆运算。

二、过程与方法：1.经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2.体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题.教学重点：向量减法定义的理解。

教学难点：向量减法的意义.教学过程：一、复习回顾：1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律2、练习AB + BC =BC + CD =AB + BC + CD =AB + BC + CD + DE =二、师生互动，新课讲解：1、用“相反向量"定义向量的减法(1)“相反向量"的定义：与。

长度相同、方向相反的向量.记作-a(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、力互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0(3)向量减法的定义：向量a加上的力相反向量，叫做。

与力的差.即：a - b = a + (-万) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：3、求作差向量：已知向量a、b,求作向量a-b,: (a-b) + b = a + (~b) + b = a + O = a作法：在平面内取一点O,作OA = a, AB = b 则BA = a-b即a -方可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1。

人3表示a-方.强调：差向量“箭头”指向被减数2。

用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + {-b)B4＞探究：(1)如果从向量。

的终点指向向量方的终点作向量，那么所得向量是上(2)若a//b,如何作出a-b ?a、a a-bO B A B5 0 B Aa a-b a-b.b O A站 B B 0例题精讲:例1(课本P86例3)已知向量a、b、c、d,求作向量a-队c-d.解：在平面上取一点O,作OA = a, OB - b, OC = c, OD = d,练习作图例2.化简：(1) AB-AD-DC；(2) (AB-Cb)-(AC-BD).1.化简：(1)扁亳-元+曲标(2)(AC+m5A)-(DC-5b-OB).三、课堂小结，巩固反思1、向量减法定义2、向量减法的三角形与平行四边形法则3、向量减法的几何意义。

高中数学_平面向量的坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量的坐标运算教学设计：Ⅰ.复习回顾:上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示.在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使→→→+=j y i x a 成立.2.探索新知:知识点1：平面向量的坐标加减法运算问题一：已知)3,1(=→a ，)1,5(=→b ，如何求→→+b a ，→→-b a 的坐标呢？猜想：若),(),,(2211y x b y x a ==→→则),(2121y y x x b a ++=+→→，),(2121y y x x b a --=-→→ 平面向量的坐标运算法则证明若→→→→→→+==+==j y i x y x b j y i x y x a 22221111),(,),( 则),()()(21212121y y x x j y y i x x b a ++=+++=+→→→→ ),()()(21212121y y x x j y y i x x b a --=-+-=-→→→→结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

问题二：探究：若已知点A 、B 的坐标分别为 (1,3)，(4,2)，如何求 AB 的坐标呢？ O xyBA→AB =→OB -→OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=→一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考：坐标为()1212,y y x x --的点P 在哪里？设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

《2.2.1 平面向量基本定理》学案【教材】人教版数学必修4（B 版）第96-99页【课时安排】 1个课时【教学对象】高一学生【目标分析】知识与技能1. 理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1. 通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2. 通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观1. 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2. 与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点、难点、关键】重点：平面向量基本定理的理解与应用。

难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。

关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。

【教学方法】引导探究、讨论交流。

【教学手段】计算机、PPT 、几何画板。

【教学过程设计】一、【情景导入】让我们来玩游戏吧：（一）在图一中同桌两人为一组，每位同学把平面上的两个向量分别乘以一个数再相加（减）如： 1232 e e ,图一（二）在图二中现在每位同学在平面内任意画一个向量，再互相交换，另一名同学能否用形如12e e λμ+的形式表示出来所画向量？图二【合作探究】探究一任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？探究二任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设21e e ，,是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量。

1e ，a2e ，请你将向量a 分解成图中所给的两个方向上的向量。

小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？探究结果【提炼升华】平面向量基本定理：探究三探究二中的向量a 可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量a 和不共线的向量34e e ，，请一位同学板演出新分解。