变量之间的关系(带答案)

变量之间的关系、表达方法复习

知识要点

表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法

(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系

(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小

◆要点3 用关系式表示变量之间的关系

(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系

(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点

是非常直观。(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象

★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”

①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)：

易错易混点

(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；

典型例题

【例1】果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关

BL —03 BL —04

所挂物体的质量/kg 0

1

2

3

4

5

6

7

8

弹簧的长度/cm

12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16

(2) 如果用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？请写出y 与x 之间的关系式。

(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？

【例2】 一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车

行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t 的值分别为1，2，3时，Q 相应的值是多少？

【例3】 一个梯形，它的下底长比上底长长2cm ，它的高为3cm ，设它的上底长为

x cm ，它的面积为y cm 2。

(1) 写出y 与x 之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？ (2) 当x 由5变到7时，y 如何变化？

(3) 用表格表示当x 从3变到10时(每次增加1)，y 的相应值； (4) 当x 每增加1时，y 如何变化？并说明你的理由；

(5) 这个梯形的面积能等于9cm 2吗？能等于2cm 2吗？为什么？

相关题型：长方形的长是20cm ，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。 (1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。

(2) 如果长方形的宽为a cm ，面积为S cm 2，则S 与a 之间的关系式为_________。 (3) 当a=15cm 时，S 是__________。

(4) 当面积S 是280时，这时的宽a 是______________。 【例4】 小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。

(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL —02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。

(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。

相关题型：小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL —04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t （分）之间的关系（ ）

【例5】 某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果

校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。

(1) 设学生为x ，甲乙旅行社收费分别为y 甲(元)和y 乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式；

(2) 哪家旅行社收费更优惠？

【例6】 某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月

BL —05 BL —06 BL —07