频域分析

第五章 频域分析法

用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。 本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。

第一节 频率特性

对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号

t U t u ωsin )(= (5—1)

则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即

) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)

u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式

)

()()

()

()

())(()

()()()(1

21s A s B p

s s B p s p s p s s B s U s Y s G n

j j

n =

+=+++==

∏= (5—3)

式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；

n p

p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)

))(()(22ωωω

ωωj s j s U s U s U -+=

+=

（5—4）

输出信号y(t)的拉氏变换为

Y(s)＝U(s)G(s)

将式(5—3)、式（5—4)代人上式得

∏=+⨯

-+=

n

j j

p

s s B j s j s U s Y 1

)

()

()

)(()(ωωω

上式可改写成(利用部分分式法)

n n p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++=

22

1121)(ωω (5-5) 上式中 n b b b a a ,,,,,2

121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a 1

和a

2

是共扼复数。 将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得

0)(t e b e b e b e a e a t y t p n t p t p t j t j n ≥+++++=---- 212121)(ωω (5—6)

对于稳定的系统，由于极点

n p p p ---,,,21 都具有负实部，所以当t →∞时，

t p t p t p n e e e ---,,,21 都将衰减到零。这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项

决定，即稳态输出y (∞)为

t j t j e a e a y ωω21)(+=∞- (5—7)

式(5—7)中的待定系数a 1和a 2可分别由留数定理求得

⎪⎪⎭⎪

⎪

⎬

⎫

=--+=--=+-+==-=)

(2)())(()()(2)())(()

(21ωωωωωωωωωωωωj G j U j s j s j s U s G a j G j U j s j s j s U s G a j s j s （5—8） 上式中 G(j ω)和G(-j ω)都是复数，可以用极坐标形式表示为

⎪⎭⎪⎬

⎫=-=-=∠--∠)()

()()()()()()(ωωωωωωωωj G j j G j j G j e j G e j G j G e j G j G （5—9）

将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得

[]

[])

t Ysin( )G(j t )j G U e e j

)j G U e e j G j

U

e e j G j U y ))

G(j t j ) G(J t j t j j G j t j j G j ϕωωωωωωωωωωωωωωω+=∠+=-=+-

=∞∠+-∠+∠--∠-sin (21()(2)(2)(()

()()( (5-10)

式中

)

G(j )j G U Y ωϕω∠==,(

式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号t U t u ωsin )(=的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y 是输入信号振幅U 的

)

(ωj G 倍，相位移为)G(j ωϕ∠=，且都是角频率ω的函数。

相位移ϕ为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号)(t u 的相位；相位移ϕ为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号)(t u 的相位。 如果改变输入信号)(t u 的频率ω，则

)

(ωj G 和)G(j ω∠也随之改变。线性定常系统

在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入)(t u 的振幅比)

j G U Y

ω(=和相位移)

G(j ωϕ∠=随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用M(ω)和ϕ(ω)表示，

即

)()(()(ωωϕωωj G )

j G M ∠==

)(ωM 和)(ωϕ合起来称为系统的频率特性。 由式(5-9)可知，

)

(ωj G 和)G(j ω∠可以由G(j ω)来统一表示，即

)

()()((ωϕωωωωj j G j e M e )G(j )j G ==∠ (5-11)

)j G ω(还可以用直角坐标形式来表示

)jI()R()j G ωωω+=(

式中 )(ωR —)j G ω(的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；

)(ωI —)j G ω(的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。

从上分析可知，若将传递函数中的s 以j ω代替，就得到频率特性。即：