两圆相减

两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：
已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，
当然前提是x2和y2系数要一样。

并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：
圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0
当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆
半径相等，则为他们的对称轴方程。

那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将
相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。

我们当然是不能停留在“记住”
的层面，我们有两个问题摆在这里：
1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？
2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的
直线L与两圆又有什么关系？
我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的
两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。

当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的
概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。

我
们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。

如果
你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。

当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的
关系，可以发现他们斜率之间的关系：
L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0
O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2
的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。

我们再来看第二个问题，当两圆相离时，得到的L又是两圆的什么？答案是根轴。

所
谓的根轴是指：
到两圆圆心距离的平方差等于两圆半径的平方差的点的轨迹。

假设两圆的方程为：
圆O1：(x-a)2+(y-b)2=r12
圆O2：(x-m)2+(y-n)2=r22
设符合条件的点为P=(x，y)，则根据条件有：
(x-a)2+(y-b)2-[ (x-m)2+(y-n)2]= r12- r22。

瞧！这不就是将两圆方程相减得到的式子么？简直就是天作地和嘛！如果我们明白：当两圆相交时，根轴就是公共弦直线，相切时，就是内公切线，那么我们便能用这方法推广到任意两个圆的情况了。

我们据此还可以证明关于根轴的一个性质：同心不同径的两圆，根轴不存在，同心又同径的两圆(也就是重合了)，任意一条直线都是其根轴。

当两圆同心的时候，a=m，b=n，得到r1=r2，所以当半径不同时，这是一个不可能成立的式子，故其根轴不存在；当两圆半径相等时，这是一个恒成立的式子，故任意一条直线都是其根轴。

这个咱们也很好理解的吧！。