高中数学《数列的递推公式》习题(含解析)
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第8课时数列的递推公式
知识点一利用数列的递推公式求数列的项
1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是() A．15B．255C．16D．63
答案B
解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．
2．已知a1＝1，a n＋1＝a n
3a n＋1，则数列{a n
}的第4项是()
A．1
16B．1
17
C．1
10
D．1
25
答案C
解析a2＝
a1
3a1＋1＝
1
3＋1＝
1
4，a3
＝a2
3a2＋1＝
1
4
3
4＋1
＝
1
7，a4
＝a3
3a3＋1＝
1
7
3
7＋1
＝
1
10．
3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1000＝()
A．1B．1999C．1000D．－1
答案A
解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，
a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)．
4．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()
A．－165B．－33C．－30D．－21
答案C
解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．
5．已知数列{a n}，a n＝a n＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
答案2
解析
＝a ＋m ，＝a 2＋m ，
＝－1，＝3，
∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2．
6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2011＝________；a 2018＝________．
答案01
解析
∵a 2011＝a 503×4－1＝0，∴a 2018＝a 2×1009＝a 1009＝a 4×253－3＝1．
7．数列{a n }满足递推公式a 1＝5，a n ＝
n
n ＋1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前四项依次为________，它的通项公式为________．
答案5，103，52，2a n ＝
10n ＋1
解析
由
a n a n －1＝
n
n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)，得a 2a 1＝23，a 3a 2＝3
4，…，a n a n －1＝n n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)，将以上各式两两相乘得a n a 1＝23·34·…·n n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＝10n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，
又a 1＝5符合上式，所以其通项为a n ＝10n ＋1
．所以a 1＝5，a 2＝
103，a 3＝5
2
，a 4＝2．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1
n (n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公
式．
解
累加法：a n －a n －1＝
1n (n －1)＝1n －1－1
n
，
a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－1
3
，
a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1
n
，
累加可得a n－a1＝1－1 n．
又a1＝1，所以a n＝2－1 n．
9．在数列{a n}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．
易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．
答案－4028
解析由题意知a n
＋1
－a n＝－2，所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，
所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．
10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，求a n．
易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时
的情况，因此两式相除得到a n＝
n2
(n－1)2
也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断
定a n＝
n2
(n－1)2
是数列的通项．
解当n＝1时，a1＝1．
由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1)2，
两式相除得a n＝
n2
(n－1)2
(n≥2，n∈N*)，
故a n
，
n≥2，n∈N*.
一、选择题
1．已知a n＝3n－2，则数列{a n}的图象是() A．一条直线B．一条抛物线