高考数学一轮复习 8.6双曲线课件 文

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(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用 双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义 中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的 一支．
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【拓展探究】 本例题(2)中若将条件“∠F1PF2＝60°”改为 “P→F1·P→F2＝0”，则结果如何？
a、b 只限制 a>0，b>0，二者没有大小要求，若 a>b>0，a＝ b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？
提示：离心率受到影响．∵e＝ac＝
1＋ba2，故当 a>b>0
时，1<e< 2，当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)，当 0<a<b
时，e> 2.
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1．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 10，点 P(2,1)
近线方程为 mx±3y＝0，
其中一个顶点到一条渐近线的距离 d＝ m12＋9＝15， ∴m2＝16. 又∵m>0，∴m＝4.故选 D.
答案：D
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3．已知双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则此双曲线的离心 率为________．
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解析：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y＝±bax，依题意， 得ba＝34，b＝34a，所以 e＝54；
第
八
平面解析几何
章
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1
第六节
双曲线
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高考导航
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3
基础
知识回顾
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1．双曲线的定义 平面内与定点 F1、F2 的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦 点之间的距离叫做双曲线的焦距
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问题探究 1：当定义中的常数等于|F1F2|或大于|F1F2|，动点 的轨迹分别是什么图形？
当焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 y＝±abx，依题意，得ab＝ 34，b＝43a，c＝ a2＋b2＝53a，所以 e＝ac＝53.
所以此双曲线的离心率为54或53. 答案：54或53

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考点一 双曲线的定义
双曲线的两焦点 F1、F2 之间的距离|F1F2|＝2c，对双曲线上 任意一点 M 都有||MF1|－|MF2||＝2a<2c.若 2a＝2c，其轨迹是以 F1、 F2 为端点且方向相反的两条射线；若 2a>2c，其轨迹不存在．
在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
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解析：∵双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是ax22－ by22＝0，且点 P(2,1)在渐近线上，
∴a42－b12＝0，即 a2＝4b2， 又因为 a2＋b2＝c2＝25， 故有 b2＝5，a2＝20.
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在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝 对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．
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(1)(2014·江南十校联考)已知点 M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动 圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于 点 P，则 P 点的轨迹方程为( )
解：由P→F1·P→F2＝0，得P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20， 又|PF2|－|PF1|＝4， ∴(|PF2|－|PF1|)2＋2|PF1|·|PF2|＝20， 得|PF1|·|PF2|＝2. ∴△F1PF2 的面积 S＝12|PF1|·|PF2|＝1.
A．x2－y82＝1(x>1) B．x2－1y02 ＝1(x>0) C．x2－y82＝1(x>0) D．x2－1y02 ＝1(x>1)
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(2)已知双曲线x42－y2＝1 的左、右焦点为 F1，F2，点 P 为左 支 上 一 点 ， 且 满 足 ∠ F1PF2 ＝ 60°， 则 △ F1PF2 的 面 积 为 __________．
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【解】 解法一：∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上．
线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－12(x－4)． 设所求圆的圆心坐标为 C(a，b)，则有
2a－b－3＝0， b＝－12a－4，
解得ab＝ ＝21.，
∴C(2,1)，r＝|CA|＝ 5－22＋2－12＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
【思路启迪】 (1)根据切线性质确定 P 点满足的关系式；(2) 利用双曲线的定义及余弦定理求解．
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【解析】 (1)设过点 P 的两切线分别与圆切于 S，T，则|PM| －|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2 ＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与 x 轴相交，a＝1，c＝3， 所以 b2＝8，故 P 点的轨迹方程为 x2－y82＝1(x>1)．
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故双曲线的标准方程为2x02 －y52＝1. 故选 A.
答案：A
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2．已知双曲线 9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐 近线的距离为15，则 m 等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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解析：由题意得双曲线y12－
x2 1
＝1
的顶点坐标为
0，±13，渐
9 m2
提示：结合图形知，当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线；当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
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2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
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问题探究 2：与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，
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(2)由题意知，c＝ 4＋1＝ 5，∴|F1F2|＝2 5. 由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝4， 由 余 弦 定 理 ， 得 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|·|PF2|cos ∠ F1PF2 ＝ |F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝20. ∴(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝20， 得|PF1|·|PF2|＝4. ∴△F1PF2 的面积 S＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×4× 23＝ 3. 【答案】 (1)A (2) 3