5.3 容斥原理(二)
2容斥相关
容斥原理（1）容斥原理（2）知识点-并集：A 和B 并集是有所有A 的元素和所有B 的元素，而没有其他元素的集合。
A 和B 的并集通常写作"A ∪B"。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。
一般而言，能够直接代入公式的题较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。
如果考生能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。
例：某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人。
参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？A.15B.16C.17D.18对于这道题，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。
该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：解法1：文氏图与三集合标准型公式相结合。
三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式（实用版）目录1.容斥原理的基本概念2.容斥原理的常识型公式3.容斥原理在实际问题中的应用正文【1.容斥原理的基本概念】容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是集合论中的一种基本原理。
它主要用于解决集合的运算问题，包括并集、交集和补集等。
容斥原理有两个基本公式，分别是加法公式和减法公式。
【2.容斥原理的常识型公式】容斥原理的常识型公式是指在解决实际问题时，常用的一些简化公式。
主要包括以下两个公式：1.若 A、B 两集合无公共元素，则|A∪B| = |A| + |B|，|A∩B| = 0。
2.若 A、B 两集合有公共元素，则|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|。
【3.容斥原理在实际问题中的应用】容斥原理在实际问题中有广泛的应用，例如在统计学、概率论、组合数学等领域。
通过运用容斥原理，可以简化问题，求解复杂集合的运算。
例如，在一个班级中，有男生和女生两个集合。
若男生集合有 30 人，女生集合有 25 人，则班级总人数可以通过容斥原理的加法公式求解，即班级总人数 = 男生人数 + 女生人数 = 30 + 25 = 55 人。
再如，在一次考试中，有及格和优秀两个集合。
若及格人数为 80 人，优秀人数为 30 人，则不及格人数和非优秀人数可以通过容斥原理的减法公式求解，即不及格人数 = 总人数 - 及格人数 = 100 - 80 = 20 人，非优秀人数 = 总人数 - 优秀人数 = 100 - 30 = 70 人。
总之，容斥原理是集合论中非常重要的基本原理，它在实际问题中的应用可以帮助我们简化问题，快速求解集合的运算。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
容斥原理二集合公式
容斥原理二集合公式一、基本概念容斥原理是一种计数方法，用于解决多个集合的元素个数之和的问题。
假设有n个集合A1,A2,...,An，定义函数f(S)表示满足条件S的元素个数。
那么容斥原理的二集合公式可以表示为：f(A1∪A2) = f(A1) + f(A2) - f(A1∩A2)二、应用场景容斥原理广泛应用于概率论、组合数学和计算几何等领域，特别适用于求解满足多个条件的元素个数问题。
1. 求解不同条件下元素个数的问题容斥原理可以用来求解满足多个条件的元素个数问题。
例如，假设有一个集合S，它包含了所有既是A的子集又是B的子集的元素。
那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。
2. 求解排斥条件下元素个数的问题容斥原理还可以用来求解排斥条件下元素个数的问题。
例如，假设有一个集合S，它包含了所有既不是A的子集又不是B的子集的元素。
那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。
三、示例分析下面通过一个具体的示例来说明容斥原理的应用。
假设有一个由1到100的整数构成的集合S，现在要求满足以下条件的元素个数：1. 能被2整除的元素个数；2. 能被3整除的元素个数；3. 能被5整除的元素个数。
根据容斥原理的二集合公式，我们可以得到：f(S) = f(A) + f(B) + f(C) - f(A∩B) - f(A∩C) - f(B∩C) + f(A∩B∩C)其中，A表示满足条件1的元素，B表示满足条件2的元素，C表示满足条件3的元素。
根据条件，我们可以计算出：f(A) = 100 / 2 = 50f(B) = 100 / 3 = 33f(C) = 100 / 5 = 20f(A∩B) = 100 / (2*3) = 16f(A∩C) = 100 / (2*5) = 10f(B∩C) = 100 / (3*5) = 6f(A∩B∩C) = 100 / (2*3*5) = 3将这些值代入容斥原理的公式中，就可以求解出满足条件的元素个数。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
第2讲：容斥原理
生：只参加语文比赛、同时参加语文、数学两科比赛。
师：那么参加数学比赛呢？
生：只参加数学比赛、同时参加语文、数学两科比赛。
师：这样是不是就变成了跟星海遨游1的题目一样的啊？
生：是的。
师：那接下来会做吗？
生：会了。
板书：
至少参加一科比赛的人数：56-25=31（人）
两科比赛同时参加的人数：28+27-31=24（人）
第一课时（40分钟）
一、外星游记（5分钟）
师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，学生们 你们知道这个家庭有几个人吗？
生1：4个啊，2+2=4啊。
生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？
师：这问题问的太好了，学生们，你爸爸叫你爷爷叫什么？
生：爸爸啊。
师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？
生：儿子。
师：所以这个家庭有几个人啊？
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？
分析：
语文、数学都优秀的人数等于语文成绩优秀的人数加上数学成绩优秀的人数和再减去五年级的总人数的差。
板书：
65+87-122
=152-122
=30（人）
生：3个。
师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？
生：是的。
师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。也就是我们这节课所要学习的内容。
【板书课题：容斥原理】
二、星海遨游（30分钟）
（一）星海遨游1（10分钟）
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式
摘要：
1.容斥原理的定义与概念
2.容斥原理的公式表示
3.容斥原理的应用示例
4.容斥原理的扩展与深化
正文：
【1.容斥原理的定义与概念】
容斥原理，是概率论中的一个基本原理，用于解决离散事件的概率计算问题。
它是基于集合的概念，通过研究事件之间的关系，给出了求解复杂事件发生概率的一种方法。
【2.容斥原理的公式表示】
容斥原理的公式表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，
P(A∪B) 表示事件A 和事件B 的并集发生的概率，P(A) 和P(B) 分别表示事件A 和事件B 发生的概率，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 的交集发生的概率。
【3.容斥原理的应用示例】
假设有一个袋子，里面有3 个红球和2 个绿球。
从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
根据容斥原理，抽到红球的概率为：P(红球) = P(红球) + P(绿球) - P(红球∩绿球)。
因为绿球和红球是互斥事件，即抽到一个球后，就不能再抽到另一个
球，所以P(红球∩绿球) = 0。
所以，P(红球) = P(红球) + P(绿球) = 3/5。
【4.容斥原理的扩展与深化】
容斥原理不仅适用于离散事件，还可以扩展到连续事件的概率计算。
在连续事件的概率计算中，需要用到积分的概念，此时的容斥原理公式为：
P(A∪B) = ∫[P(A|x)dx + P(B|x)dx - P(A∩B|x)dx]。
容斥原理及公式的证明
=50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人) 答：三个场馆都参观的有3人。
或：N=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc。
四年级奥数之容斥原理及公示的证明
பைடு நூலகம்
A
B
N1 Na
N4
N2
Nab Nb
Nabc
Nca N6
N7
Nbc N5
Nc
N3 C
定理： |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| 或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
证明：设Na、Nb、Nc分别表示图A、B、C覆盖的 面积；Nab、Nbc、Nca分别表示图A和B、B和C、C和 A共同覆盖的面积；Nabc表示图A、B、C共同覆盖的面 积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表示7个 互不覆盖区域的面积；N表示7个互不覆盖区域的面积 总和。
则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc， N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc， N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc
五年级奥数之容斥原理及公示的证明
容斥问题
某班50名学生前往上海世博会 参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。 参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数 分别是28、24、18人，其中既参观 丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观 丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参 观法国馆又参观西班牙馆的5人。
(完整版)容斥原理例题
学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
容斥原理公式
容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。
本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。
首先，我们来看容斥原理的基本概念。
容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。
假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数。
这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。
接下来，我们来看容斥原理的公式推导。
首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。
假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。
根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。
这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。
我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。
那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。
通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。
在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。
例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。
5.3 容斥原理(二)(教案教学设计导学案)
5.3 容斥原理（二）学习目标:1.理解容斥原理（一）（二），会画韦恩图分析其中关系，正确找出答案；2.培养学生的逻辑思维和数学思考能力；3.培养学生良好的书写习惯。
教学重点:理解容斥原理（二），会画韦恩图分析。
教学难点：容斥原理的一些变式题的分析理解教学过程：一、情境体验展示图片师：还记得图中这家人吗？这里有几对父子呢？学生回答，师用韦恩图表示出来。
师：有两对父子，因为爸爸既是爷爷的儿子，又是儿子的爸爸，所以只有爷爷、爸爸、儿子三个人，爸爸重复计算了一次。
那么图中有几对母女呢？学生回答师：这是三年级学习的简单的重叠问题，其实呢还可以称之为容斥原理（一），是指如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
（师画出韦恩图，进行讲解）师：如果被计数的事物有三类，又该怎么解决呢？今天我们重点来学习容斥原理（二）（板书课题：容斥原理二）师：首先我们来看两道准备题复习回顾有关容斥原理（一）的相关知识。
师和学生一起完成准备题1、2师：结合韦恩图可以发现，容斥原理（一）A或B的个数=A＋B－C是两个圆圈代表的数量之和减去两两重叠部分。
那么大家看书本上写的容斥原理（2）的文字和图形，很明显，就应该是三个圆圈代表的数量之和减去它们两两重叠部分，即为A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C。
最后的三者重叠部分怎么办呢？学生思考师引导学生画韦恩图分析，发现减去两两重叠部分的时候，已经把三者重叠部分都减掉了，所以最后应该加上一个三者重叠部分。
即A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C二、思维探索展示例1例1：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。
容斥原理2
容斥原理（二）---包含与排除[知识要点]集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一，如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10种元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法，主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即C= A+B-ＡＢ。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观，很清楚，因而容易进行计算。
〃〃经典例题〃〃例1 、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？例2、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道题都做错的有几人？例3 、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
该校书法比赛获奖的总人数是多少人？例4、在1到50的自然数中，是6的倍数或者9的倍数的数有多少个？例 5 、某学校在开展文化周活动中，参加体育活动的有120名男生，80名女生，参加文艺活动的有120名女生，80名男生。
已知该校共有260名学生参加文化周的活动，其中有75名男生文、体活动都参加。
那么只参加体育活动而没有参加文艺活动的女生有多少人？…迁移题…在1,2,3，……1998这1998个数中，既不能被8整除又不能被12整除的数共有多少个？…课堂训练…1、电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过，问：两个频道都没有看过的有多少人？2、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
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五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理 （二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队， 其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人， 排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色 白色 黑色 红、白色 红、黑色 白、黑色 红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中： （1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘 米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪 断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段
15段
B
A∩B∩C
A∩B
A
B∩C
C
A或B或C的个数 = A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋ A∩B∩C
A∩C
例1：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51 人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽 水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带 了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种 饮料。问五年级的学生有多少人?
即学即练 在1～1000的自然数中不能被2、3、5中任何一个整除的数
有多少个？ 能被2整除的数：1000÷2=500(个) 能被3整除的数：1000÷3=333(个)……1(个)
能被5整除的数：1000÷5=200(个) 能被2和3整除的数：1000÷6=166(个)……4(个) 能被3和5整除的数：1000÷15=66(个)……10(个) 能被2和5整除的数：1000÷10=100(个) 能被2、3和5整除的数：1000÷30=33(个)……10(个) 能被2、3和5任何一个整除的数： 500+333+200-166-66-100+33=734(个) 不能被2、3和5任何一个整除的数：1000-734=266(个)
四项运动至少有一项不会的最多有： 6＋8＋11＋19=44(人)
最多有多少人四项运 动至少有一项不会？
46－44=2(人)
答：这个班至少有2人以上四项运动都会。
即学即练 某班有52个学生，其中有45人会骑车，42人会打乒乓球，
41人会打羽毛球，24人会游泳，则这个班至多有多少人四项运 动都不会？
不会骑车：52－45=7(人)
100＋64＋16－25－8－8＋4 =143(cm2)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
即学即练 如图所示，A，B，C分别代表面积为8，9，11的三张不同
形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B 与C，C与A公共部分的面积分别是5，3，4，求 A，B，C三个图 形公共部分（阴影部分）的面积。
A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C
44
25 22 34 12 18 14
？
25＋22＋34－12－18－14 =37（人） 44－37=7（人）
答：三项都参加的有7人。
即学即练 某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三
个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有 27人，参加外语兴趣小组的有18人；其中同时参加数学、外语 两个兴趣小组的有7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4人； 同时参加语文、外语兴趣小组的有5人。问其中三个小组都参 加的有多少人？
A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C
博易新思维数学
易于学 乐于思
都作记号（每12厘米重复）
180÷3=60（段） 180÷4=45（段） 180÷12=15（段） 60＋45－15=90(段)
答：绳子共被剪成90段。
容斥原理二：
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元
素个数=A类元素个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又 是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C 类的元素个数＋既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
答：不能被2、3、5中任何一个整除的数有266个。
例6：某班有46人，其中有40人会骑车，38人会打乒乓球，35
人会打羽毛球，27个人会游泳，则这个班至少有多少人以上四项
运动都会？
从
对
不会骑车：46－40=6(人)
立
不会打乒乓球：46－38=8(人)
面 考
不会打羽毛球：46－35=11(人)
虑
不会游泳：46－27=19(人)
是3的倍数：100÷3=33(个)……1(个） 是5的倍数：100÷5=20(个) 既是3的倍数又是5的倍数： 100÷15=6(个)……10（个）
33＋20－6=47（个）
（2）不是3的倍数或不是5的倍数的数共有多少个？
100－47=53（个）
答：(1)是3的倍数或是5的倍数的数共有47个； (2)不是3的倍数或不是5的倍数的数共有53个。
8＋9＋11－5－3－4 =16 18－16=2
答：A，B，C三个图形公共部分（阴影部分）的面积是2。
例4：某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的 测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至 少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷
23＋27＋18－7－4－5 =52（人） 54－52=2（人）
答：其中三个小组都参加的有2人。
例3：边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片 放在桌面上，如图，它们盖住的面积是多少平方厘米？
A：10×10=100(cm2) B：8×8=64(cm2) C：4×4=16(cm2) A∩B：5×5=25(cm2) A∩C：4×2=8(cm2) B∩C：4×2=8(cm2) A∩B∩C：2×2=4(cm2) A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C
A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C
?
51 48 32 16 13 11
7
51＋48＋32－16－13－11＋7 = 98（人）
答：五年级的学生有98人。
即学即练
六年级有大量A、B、C三类图书供学生借阅，全校每个学 生都去至少借阅了其中的一种。已知有128人借阅了A类图书， 145人借阅了B类图书，136人借阅了C类图书，75人借了A、B两 类图书，56人借了A、C两类图书，82人借了B、C两类图书，另 知道有13人同时借了三种图书，问六年级一共有多少个学生？
17 18 15665求这个班的学生共有多少人？
短跑、游泳、投掷 2
A或B或C的个数= A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C
?
17 18 15 6
6
5
2
达到优秀的人：17＋18＋15－6－6－5＋2 =35(人) 全班的人数：35＋4=39(人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
某公司对活动现场观众对红、白、黑三种颜色的喜恶进行 了调查。已知现场有35人是3种颜色都不喜欢的，其余的观众 是至少喜欢其中一种颜色的。大家喜欢的颜色情况如下表所示：
不会打乒乓球：52－42=10(人) 不会打羽毛球：52－41=11(人) 不会游泳：52－24=28(人)
四项运动都不会的至多有：7人
答：这个班至多有7人四项运动都不会。
容斥原理二：
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元
素个数=A类元素个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又 是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C 类的元素个数＋既是A类又是B类而且是C类的元素个数。