第十二章 图的基本概念
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G=<V,E>为任意一图,令
V1={v|v∈V∧d(v)为奇数} V2={v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2=V,V1∩V2= ,由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ,所以 d (v) 为偶数,
举例
NG(v1) = {v2,v5} NG(v1) = {v1,v2,v5} IG(v1) = {e1,e2,e3}
Г+D(d ) = {c} Г-D(d ) = {a,c} ND(d ) = {a,c} ND(d ) = {a,c,d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多于1条,则 称这些边为平行边,平行边的条数称为重数。 在有向图中,关联一对顶点的有向边如果多于1条,并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同),则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V,E>,记作G,其中 (1)V≠称为顶点集,其元素称为顶点或结点。 (2)E称为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向 边,简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V,E>,记作D,其中 (1)V≠称为顶点集,其元素称为顶点或结点。 (2)E为边集,它是笛卡儿积V×V的多重子集,其元素称为有向 边,简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数, 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题:在一个部门的25个人中间,由于意见不同,是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致?
第十二章机械能和内能的基础知识
第十二章 机械能和内能一,基本概念:1、一个物体能够做功,这个物体就具有 。
物体具有的能量越大,它就能够对其它物体__________就越多,反之则越少。
2、动能:物体由于 而具有的能叫动能,物体的动能大小与物体的________和_________有关,物体的_________越大,___________越快,这个物体具有的动能就越________。
3、势能分为 和 。
4、重力势能:物体由于 而具有的能。
物体 越大,被举得越 ,重力势能就越大。
5、弹性势能:物体由于发生 而具的能。
物体的 越大,它的弹性势能就越大。
6、机械能: 和 的统称。
(机械能=动能+势能)能量的单位是: 。
7、动能和势能之间可以互相 的。
8、人造卫星饶地球转动时,从近地点转到远地点的过程中人造卫星的重力势能将 ,动能 ,速度 。
(填“变大”、“变小”、“不变”)。
11、自然界中可供人类大量利用的机械能有 和 。
12、机械能的转化和守恒:动能和势能的相互转化过程中,如果没有摩擦等阻力,那么机械能的总量 。
13、内能:物体内部所有分子做无规则运动的 和 的总和叫内能。
14、物体的内能与 有关:物体的 越高,分子 越快,内能就 。
15、改变物体的内能两种方法 和 ,这两种方法对改变物体的内能是 的。
16、热量(Q ):在热传递过程中,转移 的多少叫热量;热量的符号 ,单位 。
(物体含有热量的说法是错误的)。
热传递发生的条件是物体或物体的不同部分之间有 。
17.物体吸收 ,当温度升高时,物体内能 ;物体放出 ,当温度降低时,物体内能 。
二、基础知识:1、在高空中飞行的运输机,具有 能和 能,统称为 能。
运动员拉弓把箭射出时,弓的 能转化为箭的 能。
2、以相同速度行驶的卡车和小轿车,卡车的动能比较大是因为卡车的_________大;两个质量相同的铁球高度越高,_________能越大。
3、陨石进入大气层后速度越来越快,这是由于 能转化成了动能;同时它与空气摩擦引导致温度升高,形成“流星”,这时除了动能,它的 能增大。
初中物理图像专题教案
初中物理图像专题教案一、教学目标1. 让学生掌握图像的基本概念,了解图像在物理中的应用。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 提高学生对物理图像的识别、理解和运用能力。
二、教学内容1. 图像的基本概念:图像的定义、类型及特点。
2. 物理图像的应用:力学图像、电学图像、热学图像等。
3. 图像的识别与分析:如何识别图像类型、如何分析图像信息。
4. 图像的实际运用:解决实际问题,如物体运动、电路分析等。
三、教学重点与难点1. 重点:图像的基本概念,物理图像的应用。
2. 难点:图像的识别与分析,图像在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法,讲解图像的基本概念和物理图像的应用。
2. 采用案例分析法,分析具体图像实例,引导学生学会识别和分析图像。
3. 采用实践操作法,让学生在实际问题中运用图像知识。
五、教学过程1. 引入:通过展示一些生活中的图像,引导学生关注图像在物理中的应用。
2. 讲解:讲解图像的基本概念,介绍物理图像的分类和特点。
3. 案例分析:分析具体图像实例,让学生学会识别和分析图像。
4. 实践操作:布置一些实际问题,让学生运用图像知识解决问题。
5. 总结:对本节课的内容进行总结,强调图像在物理学习中的重要性。
6. 作业布置:布置一些有关图像的练习题,巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价学生的图像基本概念掌握情况。
2. 评价学生对物理图像应用的理解程度。
3. 评价学生识别和分析图像的能力。
4. 评价学生在实际问题中运用图像知识的实际情况。
七、教学资源1. 图像实例:收集各种物理图像实例,用于教学演示和练习。
2. 实际问题:设计一些与生活实际相关的问题,让学生运用图像知识解决。
3. 教学工具:多媒体课件、黑板、粉笔等。
八、教学进度安排1. 第一课时:介绍图像的基本概念,讲解物理图像的分类和特点。
2. 第二课时:分析具体图像实例,教授识别和分析图像的方法。
3. 第三课时:布置实际问题,让学生运用图像知识解决问题。
图论-图的基本概念
证明:按每个顶点的度来计数边,每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中,奇度顶点的个数总是偶数(包括 0)。 4. 子图
子图(subgraph):如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ,则称图 H 是 G 的子图,记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ,则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常,图的顶点可用平面上的一个点来表示,边可用平面上的线段来表示(直的或曲的)。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如,例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注:(1)由于表示顶点的平面点的位置的任意性,同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
00.地图学原理与方法
第一节 多媒体电子地图 第二节 电子地图的设计和制作 第三节 互联网地图的特点和制作
第六篇 地图分析与应用
第十七章 地图分析
第一节 地图分析概述 第二节 传统地图分析的基本方法 第三节 数字地图分析的基本方法
第十八章 地图应用( 阅读章节)
第一节 地图在科学研究方面的应用 第二节 地图在国民经济建设中的应用 第三节 地图在军事上的应用
第五篇 现代地图制图的技术方法
第十四章 数字地图与地图数据库
第一节 数字地图 第二节 矢量数字地图 第三节 栅格数字地图 第四节 地图数据库
第十五章 数字地图制图技术与方法
第一节 数字地图制图技术的形成和发展 第二节 数字地图制图系统 第三节 数字地图数据处理与编辑 第四节 地图数据的符号化 第五节 纸质地图数字化生产与出版
第一篇 概论
第一章 地图
第一节 地图的基本特性和定义 第二节 地图的基本内容 第三节 地图的分类 第四节 地图的分幅与编号 第五节 地图的功能
第二章 地图学
第一节 地图学的现代特征和定义 第二节 地图学的学科体系和各主要学科的研究内容 第三节 现代地图学的基本内容 第四节 地图学与其他学科的关系 第五节 地图学发展的历史与趋势
第三篇 地图内容要素表示方法
第六章 地图信息源及其处理
第一节 地图信息源 第二节 地图资料(数据)处理 第三节 地图上地理内容要素的空间分布特征 第四节 地图上地理要素变量的量表方法
第七章 地图符号设计
第一节 地图符号的基本概念与特性 第二节 地图符号的视觉变量 第三节 地图符号的分类 第四节 地图符号的功能 第五节 地图符号设计的基本方法
第八章 地图整体效果设计
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中, 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中, 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知,d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边,剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1: 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗?为什么? 2. 已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点的 度数均小于等于2,问G中至少有多少个顶点?为 什么? 解: 1.由于这两个序列中,奇数度顶点个数均为奇数, 由握手定理的推论可知,它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然,图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知, 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序,度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序, 度数列:5,3,3,3 出度列:4,0,2,1
第十二章第三角投影法
12-4第三角投影法画图举例
【例1】根据图12一18 (a)所示 V形块.按第三角投影法绘制其三视图。 【例2】根据图12一20 (a)所示 U形体.绘制其三视图。
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12-5第三角投影法零件图的识读举例
【例3】连接圆盘零件图的识读(图12一22) (1)看标题栏 (2)视图分析 (3)尺寸分析 (4)技术要求分析
12一1第三角投影法的基本概念
一、正投影画图法的分类及使用情况
正投影画图法分为第一角法与第三角法两种基本投影法.世界各国 分别选用不同的基本图不规定。
依据我国国家标准《技术制图一投影法》规定:“技术图样应采用正 投影法绘制.并优先采用第一角法”“必要时才允许使用第三角 法”(GB/T 12692-1993)。我国国家标准中所用图样.除特别注明之外.均 为第一角法
二、第三角投影法
图12一1所示为三个互相垂直相交的投影面将空间分为八个部分.每 部分为一个分角.依次为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ分角
将物体置于第三象限所作的投影.称为第三角投影法.如图12一2所示
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12一2第三角投影法的视图名称和配置
一、三投影面体系的建立
1.投影面体系的建立 在第三分角内.三个相互垂直相交的平面即构成三投影面体系.其中.
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图12一10物体的空间方位
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图12一11三视图的方位对应关系
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图12一12第三角投影基本视图的形成
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图12一12第三角投影基本视图的形成
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图12一13第三角投影基本投影面的展开
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图12一14第三角投影基本视图的配置
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图12一18分析V形块的形状
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图12 - 20 U形块形体分析
离散数学教学大纲精选全文
精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是:1.学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法,包括:集合论的主要内容:集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等;图论的主要内容:图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等;2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法,熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型;3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法,并用于离散结构的性质分析。
4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。
5. 能够理论联系实际,用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。
6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练,进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。
二、教学内容1.集合(教材第一章)●引言●预备知识(命题逻辑)●预备知识(一阶谓词逻辑)●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2.二元关系(教材第二章)●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3.函数(教材第三章)●函数的基本概念、性质、合成、反函数4.自然数(教材第四章)●自然数的定义●自然数的性质5.基数(教材第五章)●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6.图(教材第七章)●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7.欧拉图与哈密顿图(教材第八章)●欧拉图●哈密顿图8.树(教材第九章)●树9.图的矩阵表示(教材第十章)●图的矩阵表示10.平面图(教材第十一章)●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11.图的着色(教材第十二章)●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12.支配集、覆盖集、独立集与匹配(教材第十三章)●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13.带权图及其应用(教材第十四章)●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统(教材第十五章)●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点(教材第十六章)●半群与独异点16 . 群(教材第十七章)●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域(教材第十八章)●环与域18. 格与布尔代数(教材第十九章)●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理(教材第二十章)●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式(教材第二十一章)●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法(教材第二十二章)●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理(教材第二十三章)●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑(教材第二十六章)●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑(教材第二十七章)●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主,辅以作业和练习,并配备助教对作业进行批改。
第十二章剖面图和断面图
重合断面图——画于视图以内
1、位置:重叠在基本视图轮廓之内
2、轮廓线:细实线
3、比例:同基本视图 4、标注:不加任何标注
5、适用:断面图形画于视图之内不会影响视图的清晰程度
6、注意: 当视图中的轮廓线 与断面图的图线重 合时,视图中的轮 廓线仍应连续画出。
重合断面图——画于视图以内
重合断面轮廓线与任何其它图线 重合,可将细实线画为粗实线
立面图 立面图 立面(展开剖面图) 立面(展开剖面图)
平面图
平面图 平面图
平面图 平面图
剖面图的种类——6.展开剖面图
弯 曲 梁 桥 展 开 剖 面 图
梁桥纵向中心线
桥面中心线
剖面图的种类——6.展开剖面图
2)适用: 物体带弯曲结构 3)标注:只注图名XX(展开剖面图) 4)画图注意: 各结构按弯曲剖面展平后的位置画图。
剖面图
A A-A
剖面图
A
剖面图
剖面图的种类——1.全剖面图
1)形成:
对物体用单一、平行剖切平面、剖开全部所得的剖面图。
2)适用:
物体外形简单、内形需要表达
3)标注:
考虑两种省略情况
剖面图的种类
不能 清楚 表达 内形
A-A 剖面图 A— A
不能 反映 外形
A
A
剖面图的种类——2.半剖面图
1)形成:
第十二章
剖面图和断面图
主要内容:
1.剖面图 形成、适用、标注、画图 2.断面图 3.其它规定画法
剖面图——表达内部结构形状
剖面图的概念
剖面图的形成
假想用一 剖切面将物体 剖开,移去剖 切面和观察者 之间的部分, 将其余部分向 投影面作投射, 得到投影图形。
图学基础教程习题集答案
图学基础教程习题集答案第一章:图学基本概念1. 图的定义是什么?答案:图是由顶点(或称为节点)和边组成的数学结构,其中边是顶点之间的连接。
2. 什么是有向图?答案:有向图是一种图,其中的边具有方向性,从一个顶点指向另一个顶点。
第二章:图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么?优点:易于实现,可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。
缺点:空间复杂度高,对于稀疏图来说效率较低。
2. 邻接表的优缺点是什么?优点:空间效率高,对于稀疏图特别适用。
缺点:需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。
第三章:图的遍历1. 深度优先搜索(DFS)的基本思想是什么?答案:从图中的一个顶点开始,沿着边尽可能深地搜索,直到无法继续,然后回溯到上一个顶点,继续搜索其他路径。
2. 广度优先搜索(BFS)的基本思想是什么?答案:从图中的一个顶点开始,逐层遍历所有可达的顶点,直到所有顶点都被访问过。
第四章:最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么?答案:在无向图中,最小生成树是一棵连接所有顶点的树,且边的总权重最小。
2. Kruskal算法的基本步骤是什么?答案:Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边,确保选择的边不会形成环,直到所有顶点都被连接。
第五章:最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么?答案:Dijkstra算法通过维护一个优先队列,不断地选择距离起点最近的顶点,并更新其邻接顶点的距离。
2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么?答案:Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图,而Dijkstra算法不能。
第六章:图的着色1. 图的着色问题的定义是什么?答案:图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色,使得相邻的顶点颜色不同。
2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么?答案:贪心算法在图的着色问题中,从顶点集合中选择一个顶点,为其分配一种颜色,然后移动到下一个顶点,并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。
最新人教版数学八年级上册第十二章-全等三角形(含答案)
第十二章 --全等三角形一、基本概念1.全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;(3)能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的表示两个三角形全等用“≌”符号表示;例如:△ABC与△DEF全等,那么我们可以表示为:△ABC≌△DEF。
3.全等三角形的基本性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等4.全等三角形的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)例:在如图所示的三角形中,AB=AC,AD是△ABC的中线,求证△ABD≌△ACD.AB D C(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)例:如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一点C不经过池塘可以直接到达点A和B。
连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离。
为什么?(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)例:如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C。
求证AD=AE.AD EB C(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).例:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证△ABC≌△DEF(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)例:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD.5.角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到角两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
二、灵活运用定理1.判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找相等的可能性。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等,可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、常见考法(1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等(2)利用判定公理来证明两个三角形全等练习题1.(2015•莆田)如图,AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB,需要添加下列选项中的()A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC2.(2015•茂名)如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A.6 B.5 C.4 D.33.(2015•贵阳)如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是()A.∠A=∠C B.∠D=∠B C.AD∥BC D.DF∥BE 4.(2015•青岛)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=()A.B.2 C.3 D.+25.(2015•启东市模拟)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组6.(2015•杭州模拟)用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右,则说明∠CAD=∠DAB 的依据是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 7.(2015•滕州市校级模拟)如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是()A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DCC.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC8.(2015•奉贤区二模)如图,已知AD是△ABC的边BC上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是()A.∠B=45°B.∠BAC=90°C.BD=AC D.AB=AC 9.(2015•西安模拟)如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有()A.4对B.3对C.2对D.1对10.(2015春•泰山区期末)如图,△A BC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题(共10小题)11.(2015春•沙坪坝区期末)如图,已知△ABC≌△ADE,若AB=7,AC=3,则BE的值为.12.(2015春•张家港市期末)如图,已知Rt△ABC≌Rt△ABCDEC,连结AD,若∠1=20°,则∠B的度数是.13.(2015春•苏州校级期末)如图,△ABO≌△CDO,点B在CD上,AO∥CD,∠BOD=30°,则∠A=°.14.(2015春•万州区期末)如图,已知△ABC≌△ADE,D是∠BAC的平分线上一点,且∠BAC=60°,则∠CAE=.15.(2015•黔东南州)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD.请添加一个适当的条件,使△ABD≌△CDB.(只需写一个)16.(2014秋•曹县期末)如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.17.(2015•盐亭县模拟)如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE 的度数是度.18.(2014秋•腾冲县校级期末)如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=度.19.(2015•聊城)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是.20.如图,在△A BC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是.三.解答题(共7小题)21.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C=42°,AB=9,AD=6,G为AB 延长线上一点.(1)求∠EBG的度数.(2)求CE的长.22.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请证明你的结论.23.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.24.如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;说明:(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB.25.如图,为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到一点C,连接AC,在AC的延长线上找一点D,使得DC=AC,连接BC,在BC的延长线上找一点E,使得EC=BC,测出DE=60m,试问池塘的宽AB为多少请说明理由.练习题参考答案一.选择题(共10小题)1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.D 9.B 10.C 二.填空题(共10小题)11.4 12.70°13.30 14.30°15.AB=CD 16.AC=DE 17.60 18.90 19. 20.4三.解答题(共7小题)21.解:(1)∵△ABE≌△ACD,∴∠EBA=∠C=42°,∴∠EBG=180°﹣42°=138°;(2)∵△ABE≌△ACD,∴AC=AB=9,AE=AD=6,∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3.22.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACD,∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACD,∴∠B=∠EAC,∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∵CE⊥AE,∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE(AAS);(2)AB=DE,AB∥DE,如右图所示,∵AD⊥BC,AE∥BC,∴AD⊥AE,又∵CE⊥AE,∴四边形ADCE是矩形,∴AC=DE,∵AB=AC,∴AB=DE.∵AB=AC,∴BD=DC,∵四边形ADCE是矩形,∴AE∥CD,AE=DC,∴AE∥BD,AE=BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥DE且AB=DE.23.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠BCE+∠CFD=90°,∠BCE+∠B=90°,∴∠CFD=∠B,∵∠CFD=∠AFE,∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中,,∴△AEF≌△CEB(AAS);(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD,∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.24.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC,∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,,∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL).∴CF=EB;(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=CE.在△ADC与△ADE中,∵∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+E B=AF+2EB.25.解:AB=60米.理由如下:∵在△ABC和△DEC中,,∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE=60(米),则池塘的宽AB为60米.。
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法,设G中各顶点的度数均不相同,则度数列 为0,1,2,…,n-1,说明图中有孤立顶点,这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图),所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时,子图的概念 是非常重要的。 所谓子图, 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图,子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈,称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然,初级通路必是简单通路,非简单通路称为复 杂通路。 在应用中,常常只用边的序列表示通路,对于 简单图亦可用顶点序列表示通路,这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中,若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路, 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图,由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图,简称G的补图,记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图,显然有以下结论: (1) G与 G 互为补图,即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
第十二章尺寸链ppt课件
3. 工艺尺寸计算 工艺尺寸计算是指已知封闭环和某些组成环的基本尺寸和
极限偏差,计算某一组成环的基本尺寸和极限偏差。这种计 算通常用于零件加工过程中计算某工序需要确定而在该零件 的图样上没有标注的工序尺寸。
在查找组成环时,应注意遵循“最短尺寸链原则”。
3. 位置误差按尺寸链中的尺寸来处理
(a)齿轮机构
(b)尺寸链图
图12-3 齿轮机构的尺寸链 1—轴;2—档圈;3—齿轮;4—轴套
(a)采用包容要求
(b)采用独立原则 图12-4 轴套
(c)实际零件
(a)零件图样标注
(b)实际零件
图12-5 齿轮
当齿轮轮毂宽度L1的尺寸公差与两端面的端面圆跳动Hale Waihona Puke 差t1之间的尺寸,称为封闭环。
• 组成环:尺寸链中对封闭环有影响的全部环。
组成环
增环 减环
• 补偿环
如图1-1所示的减速器中,用垫片(件号9)作为补偿件,它的厚度作为 补偿环,装配时选择并安装不同厚度的垫片来调整端盖的底端与对应滚动 轴承的端面之间的轴向间隙的大小。
• 传递系数
传递系数是指表示各组成环影响封闭环大小的程度和方向的系数, 用符号ζi表示。
采用分组法来解决使用要求与加工精
度的矛盾。
图12-13 活塞、连杆机构装配简图 1-活塞;2—活塞销;3—连杆
二、 修配法
修配法装配是指各组成环都按经济加工精度制造,在组成环中选择一 个修配环(补偿环的一种),预先留出修配量,装配时用去除修配环的 部分材料的方法改变其实际尺寸,使封闭环达到其公差与极限偏差要求。
图论 第1章 图的基本概念
G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1,G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint) 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 (edge-disjoint) G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点,若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路,则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路,则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支,简
证明:G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知, 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ,所以n为奇数个。 因此,| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) , 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1),则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ,存在y,使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
图论 图的基本概念
闭的迹称为回(circuit);闭的道路称作圈(cycle)
道路:v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同,则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同),则称该途径为道路(path) 。
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G),且H中边的重 数不超过G,则H称为G的子图,记作 H ⊆ G
若以下条件有一项成立,则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph),又称支撑子图。
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸,河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下,如何才能把这个地方所有的 桥都走遍?
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发,必须从一条边进,从另一条边出 一进一出,每个顶点相关联的边必须为偶数。
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题, 证明七桥问题无解,同时,欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则,以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析,最后发展成为了数 学中的图论。
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8
大学物理《电路和磁路》PPT课件
= 2f =
2 T
量完成一次变化所需要的时间。
13
2. 峰值和有效值 振幅在交流电中常称为峰值,就是0、I0和U0, 表示交流电简谐量随时间变化的最大幅度。
一般用有效值量度交流电的大小或强弱。
交流电通过某电阻在一周期内产生焦耳热,与某
恒定电流通过同电阻在相同时间内产生的焦耳热相
等,恒定电流的量值就是该交流电的有效值。
交流电在dt内焦耳热 dQ=i 2Rd t=(RI02cos2t)dt ,
一个周期内产生的焦耳热为
Q
dQ
0
T
( RI 0 cos t ) d t
2 2
1 2
RI 0 T
14
2
按照有效值的定义
I 1 2
RI T
2
1 2
RI 0 T
2
S
j dS 0
上式积分只有在导体与S截面上才不为零,而 在导体与S截面上对电流密度的积分正是该支路上 的电流, 于是可得基尔霍夫第一定律
4
列基尔霍夫第一方程组遵循的约定: 1. 对各支路的电流及其方向作出假设,假设的
电流方向作为该支路电流的标定方向;
2. 根据电流的标定方向,从节点流出的电流前
27
例1:角频率为1.8103 rads-1 的交流电压加在RC 串联电路的两端,电压峰值50V,R= 1.0102 , C=4.5F。求总电流的峰值、电路的阻抗以及电流 与电压的相位差。 u ~ 解:在串联电路中,各点的电流瞬 时值相同,用I0表示总电流的峰值
R
C
电路的阻抗为
Z
eL L
di dt
相当电路存在两个电源,u (t) + eL = iR .
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邻接矩阵—有向图
在物理实现时的考虑:分别用0、1、2、3 分别标识结点A、B、C、D。而将真正的数 据字段之值放入一个一维数组之中。
邻接矩阵—无向图
设无向图具有n 个结点,则用n 行n 列的布尔矩阵 A 表示该无向图;并且A[i,j] = 1 , 如果i 至j 有一条 无向边;A[i,j] = 0如果i 至j 没有一条无向边
子图
路径和路径长度
对1<i<N,结点序列w1,w2,…… wN中的结点对 (wi, wi+1)都有(wi, wi+1)∈ E或<wi, wi+1> ∈ E, 那么,w1,w2,…… wN是图中的一条路径。 非加权的路径长度就是组成路径的边数,对于路 径 w1,w2,……wN,非加权路径长度为N-1。 加权路径长度是指路径上所有边的权值之和。 简单路径和环:如果一条路径上的所有结点,除 了 起始结点和终止结点可能相同外,其余的结点 都不相同,则称其为简单路径。一个回路或环是 一条简单路径,其起始结点和终止结点相同,且 路径长度 至少为1。
Insert函数
template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge> bool adjMatrixGraph<TypeOfVer, TypeOfEdge>:: insert(int u, int v, TypeOfEdge w) { if (u < 0 || u > Vers - 1 || v < 0 || v > Vers -1) return false; if (edge[u][v] != noEdge) return false; edge[u][v] = w; ++Edges; return true; }
Exist函数
template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge> bool adjMatrixGraph<TypeOfVer, TypeOfEdge>:: exist(int u, int v) const { if (u < 0 || u > Vers -1 || v < 0 || v > Vers -1) return false; if (edge[u][v] == noEdge) return false; else return true; }
如G1:V = {A,B,C,D},E = { <A,B>, <B,A>, <A,C>, <C,A>,<C,D>, <D,A> }表示 的图如下所示
无向图 V = {A,B,C,D,E }, E = {(A,B),(A,C), (B,D),(B, E) , (D,E),(C,E)}
加权图
//邻接矩阵的初始化 edge = new TypeOfEdge*[vSize]; for (i=0; i<vSize; ++ i) { edge[i] = new TypeOfEdge[vSize]; for (j=0; j<vSize; ++j) edge[i][j] = noEdge; edge[i][i] = 0; } }
无向图的连通性
连通:顶点v至v’ 之间有路径存在 连通图:无向图 G 的任意两点之间都是 连 通的,则称 G 是连通图。 连通分量:非连通图中的极大连通子图
有向图的连通性
强连通图:有向图 G 的任意两点之间都是 连通的,则称 G 是强连通图。 强连通分量:极大连通子图 弱连通图:如有向图G不是强连通的,但如 果把它看成是无向图时是连通的,则称该 图是弱连通的
构造函数
template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge> adjMatrixGraph<TypeOfVer, TypeOfEdge>::adjMatrixGraph (int vSize, const TypeOfVer d[], TypeOfEdge noEdgeFlag) { int i, j; Vers = vSize; Edges = 0; noEdge = noEdgeFlag; //存放结点的数组的初始化 ver = new TypeOfVer[vSize]; for (i=0; i<vSize;++ i) ver[i] = d[i];
和应用紧密结合的运算:
拓扑排序 找最小生成树 找最短路径等。
图的抽象类
template <class TypeOfEdge> class graph { public: virtual bool insert(int u, int v, TypeOfEdge w) = 0; virtual bool remove(int u, int v) = 0; virtual bool exist(int u, int v) const = 0; virtual numOfVer() const {return Vers;} virtual numOfEdge() const {return Edges;} protected: int Vers, Edges; };ຫໍສະໝຸດ 加权的邻接矩阵—有向图
设有向图具有 n 个结点,则用 n 行 n 列的矩阵 A 表示该有向图; 如果i 至 j 有一条有向边且它的权 值为a ,则A[i,j] = a 。如果 i 至 j 没有一条有向边。 则A[i,j] = 空 或其它标志
邻接矩阵的特点
优点:判断任意两点之间是否有边方便, 仅耗费O(1) 时间。 缺点:即使<< n2 条边,也需内存n2单元, 太多; 仅读入数据耗费O( n2 )时间,太长。 而大多数的图的边数远远小于n2
private: struct edgeNode {//邻接表中存储边的结点类 int end; //终点编号 TypeOfEdge weight; //边的权值 edgeNode *next; edgeNode(int e, TypeOfEdge w, edgeNode *n = NULL) { end = e; weight = w; next = n;} }; struct verNode{ //保存顶点的数据元素类型 TypeOfVer ver; //顶点值 edgeNode *head; //对应的单链表的头指针 verNode( edgeNode *h = NULL) { head = h ;} }; verNode *verList; };
生成树
生成树是连通图的极小连通子图。包含图 的所有 n 个结点,但只含图的 n-1 条边。在 生成树中添加一条边之后,必定会形成回 路或环。
第12章 图的基本概念
图的定义 图的术语 图的运算 图的存储 图的遍历 图遍历的应用
图的运算
常规操作:
构造一个由若干个结点、若干条边组成的图; 判断两个结点之间是否有边存在; 在图中添加或删除一条边; 返回图中的结点数或边数; 按某种规则遍历图中的所有结点。
析构函数
template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge> adjMatrixGraph<TypeOfVer, TypeOfEdge>:: ~adjMatrixGraph() { delete [] ver; for (int i=0; i<Vers; ++i) delete [] edge[i delete [] edge; }
邻接表的特点
邻接表是图的标准存储方式 优点:内存 = 结点数 + 边数,处理时间 也是结 点数 + 边数,即为O(|V|+|E|)。 当我们谈及图的线性算法时,一般指的是 O(|V|+|E|) 缺点:
确定 i --> j 是否有边,最坏需耗费 O(n) 时间。 无向图同一条边表示两次。边表空间浪费一倍。 有向图中寻找进入某结点的边,非常困难。
完全图
完全图:每两个节点之间都有边的 无向图称为完全图。完全图有 n(n1)/2 条边的无向图。其中 n 是结点 个数。 即Cn2
有向完全图:每两个节点之间都有 两条弧的有向图称为有向完全图。 有向完全图有 n(n-1) 条边。其中 n 是结点个数。即2 Cn2 如果一个有向图中没有环,则称为 有向无环图,简写为DAG
邻接表类的定义
template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge> class adjListGraph:public graph<TypeOfEdge> { public: adjListGraph(int vSize, const TypeOfVer d[]); bool insert(int u, int v, TypeOfEdge w); bool remove(int u, int v); bool exist(int u, int v) const; ~adjListGraph() ;
图的存储
邻接矩阵和加权邻接矩阵 邻接表
邻接表
设有向图或无向图具有 n 个结点,则用结 点表、 边表表示该有向图或无向图。
结点表:用数组或单链表的形式存放所有 的结点 值。如果结点数n已知,则采用数组 形式,否则应 采用单链表的形式。 边表(边结点表):每条边用一个结点进 行表示。同一个结点出发的所有的边形成 它的边结点单链表。