邻域概念

a°
(, ) {x x }.
在微积分中常用到特殊的开区间——邻域.
设 x0, δ R, 其中δ > 0, 以 x0为中心, 以δ 为半径, 长为 2δ的 开区间. 即
( x0 , x0 ) {x x x0 , 0}
称为点 x0 的δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
6 4 72 4 8
o
o
x0 x0 x0
例1 点1的2邻域 { x | | x - 1| < 2} = (-1, 3). 点−( ½ )的 ½ 邻域记为 { x | | x + ½ | < ½ } = (-1, 0).
点 x0 的去心邻域. 即
0ห้องสมุดไป่ตู้
U( x0 , δ) {x 0 x x0 δ} ( x0 δ, x0 ) U ( x0 , x0 δ)
(A∪B) ∩C = (Ａ∩ C) ∪(Ｂ∩C)
(A∩B) ∪C = (A∪ C) ∩ (B∪C)
AUB AI B
AI B AUB
吸收律
A∪A = A
A∩A = A
A∪Ф = A A∩Ф = Ф
5.直积（或笛卡儿乘积 ）
设A、Ｂ是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在
集合B中任意取一个元素y, 由x , y组成一个有序对( x , y), 把这 样的有序对作为新的元素, 它们全体组成的集合称为集合A与
§1.1 集合
一. 集合的概念 二. 集合的运算 三. 区间与邻域
一.集合的概念
所谓集合是指具有某种确定性质的对象的全体. 组成集合
的每一个对象称为该集合的元素.
设M是具有某种确定性质的元素 x 的全体所组成的集合,
记作
M={ x | x具有的某种性质}
集合分有限集和无限集. 如方程x2 - 1=0的解集就是有限集. 如全体自然数的集合为无限集.
[a, b] {x a x b}, (a,b] {x a x b}, [a, b) { x a x b}, (,a) {x x a}, (, a] {x x a},
a•
•b
°a
•
b
•
b°
°a
•a
[a, ) {x a x },
a•
(a, ) { x a x },
3.集合的差集
设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成 的集合, 称为A与B的差集. 记做A\B, 即
A\B＝｛ x | xA 且 xB }
4.集合的运算规律
交换律 A∪B = B∪A; A∩B = B∩A
结合律 分配律 对偶律
(A∪B)∪C =Ａ∪(Ｂ∪C)
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
二.集合的运算
1. 集合的并集
设A、 B是两个集合, 由所有属于A或者属于B 的元素组成
的集合, 称为Ａ与B 的并, 记做A∪ B, 即
A∪B＝{x | xA 或 xB }
2.集合的交集
设A、B是两个集合, 由所有既属于Ａ又属于B的元素组成的
集合, 称为A与B的交集, 记做A∩B, 即
A∩B＝｛x | xA 且 xB }
B的笛卡儿乘积, 记做AB. 即
AB= {( x ,y )│xA 且 y B }
如图
B
A B
A
例如, 若A = { x | 1 ≤ x ≤ 2}, B = { y | 1≤ y ≤2} 则 A与 B的笛卡儿乘积
A B = {( x , y ) | 1≤ x ≤2 | 1≤ y ≤2} 为xoy平面上的一个矩形.
U(M0, ) {(x, y) (x x0)2 ( y y0)2 2, 0}
例2 点(1,1)的 ½ 邻域是平面上以点(1, 1)为心, ½ 为半径的
一个开圆—圆邻域, 即
{( x, y) ( x 1)2 ( y 1)2 1}
y
4
1
°
o
1
x
或以 M0 为心, 2δ 为边长的正方形区域. 即集合
U(M0 , ) {( x, y) x x0 , y y0 }
为M0 的子邻域 —— 方邻域.
y
y0
o
x0
x
(7) a b a b .
三. 区间与邻域
设a, b都是实数, 且a < b, 数集{ x | a < x < b }称为开区间.
记作(a, b), 即
(a,b) {x a x b}
其中 a 和 b 称为开区间的端点, a (a,b),b (a,b). (如图)
a° °b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数b−a 称为有限区间的长度.
第一章 函数
§1.1 集合 §1.2 函数 §1.3 复合函数与反函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的几个函数
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个 基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了 解, 在这一章中, 对集合、映射、函数、函数特性、基本初等 函数、初等函数等概念作进一步的讨论.
6.绝对值的性质
记
a, a a,
a0 a0
性质
(1) a a a , a a ;
(2) ab a b ; (3) a a (b 0);
bb
(4) b a b,(b 0) a b (a b 或 a b(b 0) a b);
(5) a b a b a b ; (6) a b a b a b ;
6 4 72 4 8
o
x0
°o
x0
x0
点 x0 的左邻域, 即 {x 0 x0 x } (x0 , x0 ) 点 x0 的右邻域, 即 {x 0 x x0 } (x0 , x0 )
可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.
平面上以点M0( x0, y0)为心, 以δ > 0 为半径的圆内的点 的全体. 即集合