数列、推理与证明
数列、推理与证明
× ｛ ＋ ３ × （ １ Ｊ ２ ＋ ４ × ｌ １ Ｊ ３ ・ ＋ （ 肘 １ ） × 所 以 ＝ 丢 （ － 一 吉 ＋ ÷ 一 ÷ ＋ ． ． ‘ ＋ 一 ２
数列的 通项公 式和前／ ｚ 项和公 式 列
） （ ｎ ， ｍ， Ｐ， ｑ∈Ｎ ） ； 有 关 和 的
性质 ， Ｓ ， ３ ２ ２ － Ｓ ｋ ， ￥ ３ ￣ － Ｓ ， … 仍 成 等 差
（ 比） 数 列 等 ．需 要 指 出 的是 ， 等差 、 等 比数 列 的 性 质 具 有 对 称 性 ， 因 此
思维 瓶颈 ．
数列 推理与证明
。 逢葙活 。 凄 ‘ … 荡 ・
【 毒情分析】
等 差 数 列 与 等 比 数 列 是 新 课
标高考 的必考热 点之一 ， 一 般 的考 查方 式 是 一 道 客 观题 、 一道 解 答 题 ， 试 题 难 度 多为 中偏 低档 或 中档 ， 总 分
１ 二 ， 口 ≠ ｔ ． 【 １ 一 ｇ
② 性质法 ， 即运用等 差 （ 比） 数
列 的相 关 性 质 解 题 ， 常 可 整体 代换 ，
【 经爨 ｝ 例 艇】
ｏ例 １ 已知等差数列 ｛ ａ ｎ ｝ 满足 ：
７ ， ａ ￣ ＋ ａ Ｔ ＝ ２ ６ ， ｛ ％｝ 的 前ｎ 项 和 为Ｓ ．
（ ２ ）由 （ １ ） 知ａ ｎ ＝ ２ ｎ＋ １ ， 所 以６ ＝
— １ ｒ因 为 ＝ ｃ ＋ ｃ ２ ＋ … ＋ ｃ ， 所 以 ＝ 一 一 ＝ 一 ） ＝ ～ ‘ ｌ ＼ — ｎ ） ｆ ｌ ’ ， （ １ ４ ｎ （ ｎ ＋ ｌ ４ ｎ ＋ １Ｊ
Ｅ 三 孱
六 大 主 干 知 识
为 了让 您理 清 数 列 、 推理 与证 明 的复 习要 点 ， 理 顺 数 列 中的 一对 姐 妹 花 （ 等 差数 列 与等 比数 列） ， 成 功 穿越 数 列 的应用 ， 理 透 推理 与证 明 的横 向联 系和纵 向延伸 ， 整合 知 识 ， 提炼破解技巧， 现 走进 经典 例题 ， 通过 跟踪 练 习， 让 您 复 习数 列 、 推 理 与证 明 ｓ ０ ｅ ａ ｓ ｙ， 轻 松突破 数 列 、 推理 与证 明 的
2016高考理科数学二轮复习与增分策略课件(全国通用)：专题四 数列 推理与证明 第4讲
)
解析 由{an}为等差数列，设公差为d，
a1＋a2＋„＋an n－1 则 bn＝ ＝a1＋ 2 d， n
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
n c 则 dn＝ c1· c2· „· cn＝ 1 q
n
n
n2 n 2
c1q
n 1 2
，故选 D.
答案 D
x2 y2 (2)若点 P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过点 P0 作该 椭圆的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在 x0x y0y x2 y2 直线的方程为 a2 ＋ b2 ＝1.那么对于双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0) ， 类 似 地 ， 可 以 得 到 切 点 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 ____________________.
x0x y0y 答案 a2 － b2 ＝1
x0x y0y 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线 a2 － b2 ＝1 上， x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在直线的方程为 a2 － b2 ＝1.
热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果， 而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证 明方法.
1 2 3 4
即集合AB表示如图所示的所有圆点 “ ”＋所有圆点“ ” ＋所有圆点“ ”，共45个. 故AB中元素的个数为45.故选C. 答案 C
1 2 3 4
2.(2014· 北京 ) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，
依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数 学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙， 则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位 学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数 学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 )
数学推理与证明的基本方法
数学推理与证明的基本方法数学是一门严谨而抽象的学科，其研究对象是数和量之间的关系以及形式描述的模型。
而在数学中，推理和证明是非常重要的基本方法。
通过推理与证明，数学家们能够建立起完善的数学体系，深入研究各种数学问题，达到发现新知的目的。
本文将介绍数学推理与证明的基本方法，包括归纳法、逆推法、假设推理法等。
一、归纳法归纳法是数学推理与证明的一种基本方法，其核心思想是从具体情况出发，通过观察和总结相同规律的特征，推导出一般规律。
归纳法可分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
1. 弱归纳法弱归纳法又称为数学归纳法，常用于证明递推数列性质的正确性。
其基本思路为：首先证明当n取某个特定值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再通过这一假设证明当n=k+1时命题也成立。
这样，通过不断推理，可以得出当n取任意自然数时命题都成立的结论。
2. 强归纳法强归纳法是在弱归纳法的基础上进行推广而得到的一种证明方法。
强归纳法常用于证明某个关于自然数的数学命题的正确性。
与弱归纳法不同的是，强归纳法在假设部分多了包括前面所有情况作为条件。
二、逆推法逆推法是一种从结果出发，逆向思考的证明方法。
当我们需要证明一个命题时，可以倒过来先假设结论成立，然后通过逆向推理来证明这一假设是正确的。
逆推法常用于证明相等关系、包含关系、存在性等问题。
通过假设结果成立，并最终得出与已知条件相符的结论，说明假设是正确的，从而推出原命题成立。
三、假设推理法假设推理法是通过假设一些条件来推导出结论的一种证明方法。
在假设推理法中，我们通过对问题的设想和分析，假设某些条件成立，然后推导出与已知条件相符的结论。
假设推理法常用于证明存在性问题和推理漏洞的存在。
通过假设某个条件成立，然后通过推理来得出结论，如果假设的条件不符合实际情况，那么结论就是错误的。
通过这种方法，我们可以发现问题中的漏洞并得出正确的结论。
四、直接证明法直接证明法是最常见、最直接的证明方法之一。
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
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1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
数列的数学归纳法与证明总结
数列的数学归纳法与证明总结在数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字。
数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法之一，尤其在涉及到数列时起到重要作用。
本文将对数列的数学归纳法以及相关证明方法进行总结。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种通过证明第一个命题为真，且若某一命题为真，则下一个命题也为真的方法，用于证明涉及正整数的命题。
它包含以下两个步骤：1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时命题成立，通常是证明n=1时为真；2. 归纳步骤：假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
通过以上两个步骤的迭代，可以得出结论：对于任意正整数n，命题都成立。
二、数列的数学归纳法证明当我们处理数列时，常常需要证明其中一些性质是否成立。
数学归纳法可以帮助我们进行这样的证明。
以斐波那契数列为例，我们将展示如何使用数学归纳法进行证明。
斐波那契数列是一个以0和1开始，后续每个数都是前两个数之和的数列。
即：F(1) = 0，F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n>2现在我们使用数学归纳法证明斐波那契数列的性质：F(n)的值大于等于n。
我们按照数学归纳法的步骤来进行证明。
1. 基础步骤：当n=1时，F(1)=0，而0大于等于1不成立。
所以我们需要验证n=2时，F(2)的值是否大于等于2。
经计算可知F(2)=1，显然1小于2。
因此基础步骤不成立。
2. 归纳步骤：假设当n=k时，F(k) >= k 成立。
我们需要证明当n=k+1时，F(k+1) >= k+1也成立。
根据斐波那契数列的定义，有F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
由归纳假设，F(k) >= k，而F(k-1) >= k-1。
因此有F(k+1) = F(k) + F(k-1) >= k + k-1 = 2k-1。
下一步我们可以尝试使用数学归纳法证明2k-1 >= k+1，其中k为正整数。
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
数列与推理证明——学生版
第1讲 等差数列、等比数列【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2． 等差数列和等比数列等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ≥1)(a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m q n－m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列 前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1考点一 与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值；(2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．(1)(2012·浙江改编)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号)①若d <0，则数列{S n }有最大项；②若数列{S n }有最大项，则d <0；③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0；④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.考点二 与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国改编)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．1． 在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2． 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3． 等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值．d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值．d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4． 常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5． 易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1． 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.2． 已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．3． 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． (2013·江西改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．2． (2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 3． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.4． 已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.5． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝________.6． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于________． 7． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.8． 在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．9． 已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 二、解答题10．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．11．设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .12．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．第2讲数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n＋1的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1.常见的拆项公式：①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；③1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项a n与它的前一项a n－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.考点一分组转化求和法例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(2013·安徽)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二 错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.考点三裂项相消求和法例3(2013·广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n}(a n>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为S n，对于所有大于1的正整数n都有S n＝f(S n－1)．(1)求数列{a n}的第n＋1项；(2)若b n是1a n＋1，1a n的等比中项，且T n为{b n}的前n项和，求T n.考点四 数列的实际应用例4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克．(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ；(2)试写出销售量S 与n 的函数关系式；(3)当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？1． 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．(3)递推关系形如a n ＋1a n＝f (n )，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1转为用迭加法求解．2． 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和． (3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解． 提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3． 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1． 在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.2． 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．3． 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n ＝________.2． 在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于________．3． 对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2，…，则a 2 013＝________.x 1 2 3 4 5 f (x )543124． 设{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，记M n ＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ，则数列{M n }中不超过2 013的项的个数为________．5． 在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是________．6． 数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012＝________.7． 已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝________.8． 数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是________．10．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．二、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n项和S n.12．将函数f(x)＝sin 14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．13．在等比数列{a n}中，a2＝14，a3·a6＝1512.设b n＝log2a2n2·log2a2n＋12，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1． 合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理①类比推理是由特殊到特殊的推理②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2． 演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3． 直接证明(1)综合法：用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(2)分析法：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件4． 间接证明：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一 归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014＝________.(2)(2012·江西改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.考点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． (2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．考点三 直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列．1． 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2． 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．2． 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________． 3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．7． (2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．9． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________． 二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x ＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
2014年高考数学三轮专项模拟 数列、推理与证明试卷 理
数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)，x ∈R }，集合N ＝{x |4x ＞4，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]【解析】 由x 2＋1≥1知lg(x 2＋1)≥0，所以M ＝{y |y ≥0}，由4x ＞4知x ＞1，所以N ＝{x |x ＞1}，所以M ∩N ＝{x |x ＞1}，故选C. 【答案】 C2．如果命题“綈(p ∧q )”是真命题， 则( ) A ．命题p 、q 均为假命题 B ．命题p 、q 均为真命题C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题【解析】 命题“綈(p ∧q )”是真命题，则命题“p ∧q ”是假命题，则命题p 、q 中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【解析】 设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9， 解得a 1＝19，故选C.【答案】 C5．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C6．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D8．已知f (x )＝12 013＋log 2x 1－x ，则f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014的值为( ) A ．1B ．2C ．2 013D ．2 014【解析】 对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014 则S ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 1022 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 014 于是2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫22 014＋⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫12 014] ＝22 013×2 013＝2，所以S ＝1. 【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－255，55，则sin 2α的值为________． 【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－255， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45. 【答案】 －4510．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n＋S 1)都成立，则S 15等于________．【解析】 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x 2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，则所求面积为S ＝∫2π0[]2－(cos x ＋1)d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.【答案】 2π13．(2013·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.【解析】 由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ， 即sin(A ＋B )＝sin 2C ， 所以sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°， 所以sin C ＝1， 即C ＝90°， 所以B ＝60°. 【答案】 60°14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋(n －2)×2n 2＝n 2－2n ＋3. 【答案】 n 2－2n ＋315．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－(12)n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)， 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝⎛⎭⎫45，35， ∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝⎛⎭⎫45，35， ∴|OA |＝(－1)2＋(3)2＝10，|OB |＝1， 得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010，则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(2)令d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2n S n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.②由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， 所以S 2nS n ＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)2×2log a 2n (1＋2log a 2)＋n (n －1)2×2log a 2＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2＝λ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(λ－4)log a 2＝0，(λ－2)(1＋log a 2)＝0，解得λ＝4，a ＝12.19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8. (2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，n ≥8. 20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n .(3)设c n ＝a n ·sin 2n π2－b n ·cos 2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ， 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2， 所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ， n 为奇数，－(2n －1)， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1. (3)设数列{c n }满足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12， 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2， 所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1， 所以2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. 因为b n ＝2n a n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，所以a n ＝n 2n (n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝n ＋1na n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n， 所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1， 所以T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与5n2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时，2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方法二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1.(3)因为c n ＝3n＋(－1)n －1λ·na n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ]＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0，所以(－1)n －1·λ＜⎝⎛⎭⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时， ①式即为λ＜⎝⎛⎭⎫322k －2，②依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1， 当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝⎛⎭⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立， 所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。
高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第1讲等差数列与等比数列讲学案理(2021学年)
２018年高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第1讲等差数列与等比数列讲学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（20１８年高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第1讲等差数列与等比数列讲学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第１讲等差数列与等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算1.通项公式等差数列:a n=a1+(n－1)d；等比数列:ａn=ａ1·q n-1.2.求和公式等差数列：S n＝错误!＝nａ１＋错误!d;等比数列:S n＝错误!＝错误!(q≠１)．3.性质若ｍ+n＝p+q，在等差数列中a m＋aｎ=a p+a q;在等比数列中a m·a n＝a p·ａｑ。
例1 （１）（2017届吉林二调)错误!是公差不为0的等差数列,满足a错误!＋a错误!＝a错误!+a 错误!，则该数列的前10项和S10等于( )Ａ.－10 Ｂ.-5 Ｃ．0 D。
5答案C解析由题意,得ａ错误!-a错误!＝a错误!-a错误!,即错误!错误!=错误!错误!，即-3d错误!＝d错误!，又因为d≠0,所以ａ4+ａ7＝a6＋ａ５=0,则该数列的前10项和S10=＼f(1０ａ１+a１0，2）=５错误!＝0。
故选C.(2)(20１7届武汉武昌区调研)设公比为q(q＞０)的等比数列错误!的前n项和为Sｎ，若S2＝３a+２,Ｓ４＝3a4+2,则a1等于( ）２A.－2 Ｂ.－１C。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
江苏专版2018高考数学大一轮复习第七章数列推理与证明43四种命题和充要条件课件文
3. (必修5P48习题13改编) 如图所示的三角形数阵，根据图 n2－n＋2 中的规律，第n行(n≥2)第2个数是______________ ． 2
2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：
(1) 根据题意建立数列模型； (2) 运用数列知识求解数列模型； (3) 检验结果是否符合题意，给出问题的答案．
课堂导学
子数列问题
例1
(2016·南师附中)已知实数q≠0，数列{an}的前n项
和为Sn ，a1≠0，对任意正整数 m ， n ，且n>m， Sn － Sm ＝ qmSn － m 恒成立． (1) 求证：数列{an}为等比数列；
(第 3 题)
【解析】设第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2)，不难得出 a2 ＝2，且当 n≥3 时，an＝an－1＋(n－1)，所以 an－an－1＝n－1， n2－n＋2 累加得，an－a2＝(n－1)＋(n－2)＋„＋2，所以 an＝ . 2 n2－n＋2 又当 n＝2 时，a2＝2，满足上式，所以 an＝ . 2
②若 Si＋3，Si，Si＋6 成等差数列，则 2Si＝Si＋3＋Si＋6，即 q S3＋q S6＝0，解得 q＝－ 2；
i i
3
③若Si＋3，Si＋6，Si成等差数列，则2Si＋6＝Si＋3＋Si，
即 q S3＋q S6＝0，解得 q＝－
i＋3
i
1 3 2
.
综上所述，q＝1 或 q＝－ 2或 q＝－
数列与函数、不等式等综合问题
专题07 推理与证明(4月)(期中复习热点题型)(理)(原卷版)
专题07 推理与证明一、单选题 1．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 A ．8=24(8)4n n n n -+--- B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+- D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-2．有一个三段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列{}n a 是等比数列，所以0n a ≠”，这个推理 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的3．在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为A ．x ，y 都小于0B ．x ，y 至少有一个大于0C ．x ，y 都大于0D ．x ，y 至少有一个小于04<A ．22< B ．22<C ．22<D ．(22<5．用数学归纳法证明()224nn n ≥≥时，第二步应假设A ．2n k =≥时，22k k ≥B ．3n k =≥时，22k k ≥C ．4n k =≥时，22k k ≥D ．5n k =≥时，22k k ≥6．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”．已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是①cos y x =（x ∈R ）是三角函数：②三角函数是周期函数；③cos y x =（x ∈R ）是周期函数 A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①8．根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情况是A ．其中包括了100320081⨯+个○B ．其中包括了100320081⨯+个●C ．其中包括了10042008⨯个○D ．其中包括了10032008⨯个●9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的 A ．庚子年 B ．辛丑年 C ．己亥年D ．戊戌年10．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在号座位上．A ．1B ．2C ．3D ．411．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为351715131191921232527172931A ．1915B ．1917C ．1919D ．192112．某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码．丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1．”乙说：“我看到一个2和两个1．”丙说：“我看到三个2．”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有 A ．乙 B ．甲、乙 C ．丁D ．乙、丁13．已知函数()cos sin f x x x =-，()'f x 为() f x 的导函数，定义1()()f x f x '=，[]21()()f x f x '=，…，[]()1()()n n f x f x n *+'=∈N ，经计算，1()sin cos f x x x =--，2()cos sin f x x x =-+，3()sin cos f x x x =+，…，照此规律，则2021()f x =A ．cos sin x x -+B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --14．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(2,1)A -，且法向量为(1,2)n →=-的直线（点法式）方程为1(2)2(1)0x y -⨯-+⨯+=，化简得240x y --=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,1,2)B --，且法向量为(1,2,1)m →=-的平面的方程为 A ．210x y z +++= B ．210x y z ---= C ．210x y z ++-=D ．210x y z +--=15．在等差数列{}n a 中，若20200a =，则有等式12124039n na a a a a a -+++=+++（4039n <且n *∈N ）成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若20211b =，则有 A ．12124041n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅（4041n <且n *∈N ） B ．12124040n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅⋅⋅（4040n <且n *∈N ）C ．12124041n n b b b b b b -+++=+++（4041n <且n *∈N ）D ．12124040n n b b b b b b -+++=+++（4040n <且n *∈N ）16．下列推理正确的是A ．如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖B ．若命题“0x ∃∈R ，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是(2,6)C ．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a ⋅>⋅， 类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q >，则4857b b b b +>+D ．如果m ，n 均为正实数，则lg lg m n +≥17．请阅读下列材料：若两个正实数1a ，2a ，满足22122a a +=，求证：122a a +．证明：构造函数()()2212()f x x a x a =-+-()212222x a a x =-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ，所以Δ0，即()2124160a a +-，所以122a a +． 根据上述证明方法，若 n 个正实数1a ，2a ，，n a ，满足222122n a a a n +++=，你能得到的结论是 A ．12na a a n +++B ．1222nn a a a +++C ．12n a a a n +++D ．122na a a n +++18．设a ，b 两个实数，能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 A ．a +b >1 B ．a +b =2 C ．ab >1D ．a +b >219．实数x ，y ，0z >，4a x y =+，4b y z =+，4c z x=+，则a ，b ，c 三个数 A ．都小于4 B ．至少有一个不小于4 C ．都大于4D ．至少有一个不大于420．下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理：②归纳推理是由一般到一般的推理：③演绎推理是由一般到一般的推理：④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A ．②③④ B ．①③⑤ C ．②④⑤D ．①⑤21．下列推理形式正确的是A ．大前提：老虎是食肉者 小前提：老李是食肉者 结论：所以老李是老虎B ．大前提：凡对顶角都相等 小前提：A B ∠=∠ 结论：A ∠和B 是对顶角C ．大前提：白马是马 小前提：白马有四条腿 结论：马有四条腿D ．大前提：所有演说家都是骗子 小前提：所有说谎者都是演说家 结论：所有说谎者都是骗子22．高三上学期期末考试结束后，甲､乙､丙､丁四位同学不清楚自己的总分，仅打听到他们的总分在年级的位次(按总分由高到低的顺序排列且四人总分均不相同)是2､5､7､9中的某一个，他们向数学老师打听自己总分的具体位次，由于成绩暂时不能公布，老师只能给出如下答复：“命题p ：甲､丙总分的位次之和大于乙､丁总分的位次之和，命题q ：丁的总分最高，命题r ：四位同学中，甲的总分不是最低的，且()p q ⌝∧，()q r ⌝∨均为真命题．”据此，下列判断错误的是A ．甲､乙总分的位次之和一定小于丙､丁总分的位次之和B ．若丁总分的位次是7，则丙总分的位次一定是5C ．乙的成绩一定比其他三个都好D ．丙总分的位次可能是223．已知各项均大于1的数列{}n a 满足()1 2.71828a e e =≈，{}n a 中任意相邻两项具有差为2的关系．记n a 的所有可能值构成的集合为n A ，n A 中所有元素之和为n S ，*N n ∈，下列四个结论： ①2A 为单元素集； ②6312S e =+； ③2212n n S S n --=；④若将23n A +中所有元素按照从小到大的顺序排列得到数列{}n b ，则{}n b 是等差数列． 其中所有正确结论的编号为 A ．①② B ．①③ C ．①③④D ．②③④24．关于x 的方程20x ax b -+=，有下列四个命题：甲：1x =是方程的一个根；乙：4x =是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则假命题是． A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁25．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18二、多选题1．16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45次方程454341534594595364379545x x x x x x C -+-⋅⋅⋅+-+=的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当2sin C α=时，此方程的全部根为22sin(),(0,1,2,,44)45k x k πα+==⋅⋅⋅，根据以上信息可得方程4543415345945953643795450x x x x x x -+-⋅⋅⋅+-+=的根可以是A B ．1-C ．D ．22．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有 A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗3．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容A ．可能是家常菜青椒土豆丝B ．可能是川菜干烧大虾C ．可能是烹制西式点心D ．可能是烹制中式面食4．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{()|00}x y x y ≥≥，，内大面积植树造林，第1棵树在点1(01)A ，处，第2棵树在点11(1)B ，处，第3棵树在点1(10)C ，处，第4棵树在点2(20)C ，处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树，则．A ．第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则1935n = B ．第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则1936n = C ．第2021棵树所在点的坐标是(344)， D ．第2021棵树所在点的坐标是(443)，5．不等式()2(1)430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243=-+y x x 的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有()2(4)0--+≤ax x b 成立，则+a b 的值可以是 A ．0 B ．3- C ．15D ．2三、填空题1．观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n 个图中有____________小圆圈．2．用数学归纳法证明11151236n n n +++>++(n ＞1且n ∈N *)，第一步要证明的不等式是____________．3．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数()f x 在[]0,1上有意义，且()()01f f =，如果对于不同的1x 、[]20,1x ∈，都有()()1212f x f x x x -<-，求证：()()1212f x f x -<．那么他的反设应该是____________． 4．观察下列各式：211121122C -+=， 3122211211233C C -++=， 41233331112112344C C C -+++=， 512344444111121123455C C C C -++++=， ……照此规律，当*n N ∈时，121111231nn n n C C C n ++++=+____________． 5．甲、乙、丙三位同学是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C 城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过B 城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为____________．6．观察下列式子：2222221311511171,1,1,,222332344+<++<+++<根据以上式子可以猜想：2221111232021++++<_____________． 7．已知点(,ln )A a a ，(,ln )B b b 是函数ln y x =的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，因此有结论ln ln ln 22a b a b++<成立，运用类比思想方法可知，若点(),2aA a ，(),2bB b 是函数2xy =的图象上任意不同的两点，则类似地有结论____________成立． 8．观察下列不等式：111223++<，11113237++++<，111142315++++<，…，可归纳的一个不等式是11123++++____________n <（n *∈N 且1n >）．9．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =．在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =____________．10．如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（2n ≥）第2个数是____________．11．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____________．（1）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； （2）各面都是全等的正三角形，相邻两个面所成二面角都相等； （3）各面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．12．凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线条数(1)()f n f n +=+____________．13．2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=，2223sin 8sin 68sin 1282︒+︒+︒=．通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题____________．14．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积()12S r a b c =++，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则此四面体的体积V =____________．15．如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是____________．四、双空题1．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{()|00}x y x y ≥≥，，内大面积植树造林，第1棵树在点1(01)A ，处，第2棵树在点11(1)B ，处，第3棵树在点1(10)C ，处，第4棵树在点2(20)C ，处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树，那么：（1）第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则n =____________； （2）第2021棵树所在点的坐标是____________．2．用数学归纳法证明“当n ∈N +时，1+2+22+23+…+25n -1是31的倍数”，当n=1时，原式为___________，从k 到k+1时需增添的项是___________． 3．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………………则2021在第____________行，从左向右第____________个数．4．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有___________个小正方形，第n 个图中有___________个小正方形．5．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．（1）n 级分形图中共有____________条线段； （2）n 级分形图中所有线段长度之和为____________． 五、解答题1．双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），有下列性质：若AB 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则22OM ABb k k a⋅=为定值，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>也有类似的性质．若AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，猜想OM AB k k ⋅的值，并证明．2．对于正整数集合12{,,,}n A a a a =（n *∈N ，3n ≥），如果去掉其中任意一个元素ia （1,2,,i n =）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”． （1）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）； （2）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数； （3）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值． 3．已知函()(01)1xxf x a a x =+<<-． （1）用导数法证明()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）用反证法证明方程()0f x =没有负数根．4．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n na S a =+-，且0n a >． （1）求1a 、2a 、3a ；（2）猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．5．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．。
江苏省2020版高考数学一轮复习第七章数列、推理与证明第38课等比数列课件苏教版
第38课 等比数列
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回归教材 1. (必修 5P49 习题 1 改编)已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，那么数 列{an}的通项公式为 an＝__9_·_23__n－_2_.
(2) 设 bn＝an＋3，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
【解答】 因为 Sn＝2an－3n，所以 Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减得 an＋1＝2an＋3(*)， 将 bn＝an＋3 及 bn＋1＝an＋1＋3 代入(*)式，得 bn＋1＝2bn，且 b1＝6， 所以数列{bn}是以 6 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 bn＝6×2n－1， 所以 an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．
(2) 判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 【解答】 {bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 理由如下：由题知na＋n＋11＝2nan，即 bn＋1＝2bn， 因为 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(3) 求数列{an}的通项公式． 【解答】 由(2)知ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，则 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2＝aa24＝49，又 q>0，所以 q＝23，所以 an＝9·23n－2.
2. (必修 5P48 例 2 改编)已知－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么 b＝___－__3___， a·c＝____9____.
【解析】由等比数列的性质可得 ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9，且 b 与奇数项 的符号相同，故 b＝－3.
数学学习中的推理与论证技巧
数学学习中的推理与论证技巧数学是一门需要严密推理和准确论证的学科。
在数学学习中，掌握一些推理与论证技巧是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数学概念、解决问题以及提高解题能力。
本文将介绍一些常用的数学推理与论证技巧，并给出一些实例进行说明。
一、数学推理1. 归纳推理：归纳推理是从具体的事物总结出一般规律的一种推理方法。
在数学中，归纳推理常用于证明数列的性质、数学归纳法的运用等方面。
例如，在证明一个数学命题时，可以首先验证当n=1时，命题成立；然后假设当n=k（k为任意正整数）时，命题也成立；最后通过递推关系推导出当n=k+1时，命题仍然成立，从而得到结论。
2. 演绎推理：演绎推理是从已知条件出发，按照逻辑规则进行推理，得到结论。
在数学中，演绎推理常用于数学证明、定理证明等方面。
例如，在证明一个定理时，可以从已知条件出发，运用逻辑推理规则逐步得到结论。
演绎推理一般包括假设、条件、推理和结论四个步骤，其中推理过程需要运用到一些常见的逻辑规则，如析取、合取、蕴含等。
3. 反证法：反证法是一种通过假设反面来推导出与已知条件矛盾的方法，从而证明原命题为真。
在数学中，反证法常用于证明一些命题的唯一性。
例如，要证明一个命题P成立，可以先假设P不成立，然后推导出与已知条件矛盾的命题，从而得出假设错误，即P成立。
二、数学论证1. 数学归纳法：数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的数学命题的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k（k为任意正整数）时命题也成立，最后通过递推关系证明当n=k+1时命题仍然成立。
数学归纳法常用于证明数列的性质、不等式的成立等。
举个例子，我们来证明当n为正整数时，1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2。
首先，当n=1时，左边为1，右边为1，两边相等，命题成立。
接下来，假设当n=k（k为任意正整数）时，命题也成立，即1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2。
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
2021_2022年高中数学第二章推理与证明1
④平面上，“在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 将三角形 分成两部分的面积比SS△ △ABEECC＝ABCC”，将这个结论类比到空间中， 有“在三棱锥 A－BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－CD－B， 且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比 VA－CDE＝S△ACD”． VB－CDE S△BDC
• 1．类比推理 • 由两类对象具有某些__类__似____特征和其中一类对象的某些
_已__知__特__征_____，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊____到 __特__殊____的推理． • (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
牛刀小试
• 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“ 锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在 形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B说法都不对
• [答案] B
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
• [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似 的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应 关系：
• 弦 ↔ 截面圆， • 直径 ↔ 大圆， • 周长 ↔ 表面积， • 圆面积 ↔ 球体积， • 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.
2021年全国各地高考三模数学试题汇编 专题4 数列、推理与证明第1讲 数列(理卷B)
专题4 数列、推理与证明 第1讲 数列(B 卷)一、选择题（每题5分，共60分）1.（2021·海南省高考模拟测试题·12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a <2．（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·6）已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和．若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29B ．31C ．33D ．353．(2021济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．(2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ） A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5）6．（2021·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7.(2021·北京市东城区综合练习二·3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ） （A ）4（B ）8（C ）16 （D ）648．（2021·厦门市高三适应性考试·7） 已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（ ）.31A .62B .170C .1023D9．(2021·北京市西城区高三二模试卷·6)数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．8410. (2021.芜湖市高三5月模拟·5)11. (江西省九江市2021届高三第三次模拟考试·8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为（ ）A ．91B ．90C ．55D ．5412．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·4）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．23二、非选择题（ 40分）13.（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·16）设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n －1+a n －2－a n－3（n=4,5, ……）,则a 2021 = ．14.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15）15. (2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·13)已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .16. (2021·海淀区高三班级其次学期期末练习·9)若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．17.（2021·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·15）18．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11）在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．19．(2021.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分10分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．。
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数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于( )A．[0，＋∞) B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]【解析】由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x ＞1，所以N＝{x|x＞1}，所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.【答案】 C2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题，则( )A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题【解析】 命题“綈(p ∧q )”是真命题，则命题“p ∧q ”是假命题，则命题p 、q 中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【解析】 设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9， ∴⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎨⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C.【答案】 C5．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C.【答案】 C6．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( )A ．48B ．32C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2×4×4×cos120°＋42＝0. 【答案】 D 8．已知f (x )＝12 013＋log 2x 1－x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014的值为( )A ．1B ．2C ．2013D ．2014【解析】 对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014 则S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 1022 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014 于是2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014] ＝22 013×2013＝2，所以S ＝1. 【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55，则sin2α的值为________．【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－255， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45. 【答案】 －4510．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于________．【解析】 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2013＝335×6＋3，所以a 2013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】y＝2cos2x2＝cos x＋1，则所求面积为S＝∫2π0[]2－(cos x＋1)d x＝(x－sin x)|2π＝2π.【答案】2π13．(2013·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝c sin C，b2＋c2－a2＝3bc，则角B＝________.【解析】由b2＋c2－a2＝3bc得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32，所以A＝30°.由a cos B＋b cos A＝c sin C得sin A cos B＋cos A sin B＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，所以sin C＝sin2C.因为0°＜C＜180°，所以sin C＝1，即C＝90°，所以B＝60°.【答案】60°14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．图1【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋(n －2)×2n 2＝n 2－2n ＋3.【答案】 n 2－2n ＋315．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm ，最下面的三节长度之和为114cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－(12)n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)， 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴|OA |＝(－1)2＋(3)2＝10，|OB |＝1，得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010， ∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010， 则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n －1， 所以d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， 所以S 2nS n ＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)2×2log a 2n (1＋2log a 2)＋n (n －1)2×2log a 2＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2＝λ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ， 所以⎩⎨⎧(λ－4)log a 2＝0，(λ－2)(1＋log a 2)＝0，解得λ＝4，a ＝12.19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，所以a n＝⎩⎨⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为S n＝⎩⎨⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，n ≥8.20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . (3)设c n ＝a n ·sin2n π2－b n ·cos2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2， 所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.② ①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6， 则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6. (3)c n ＝⎩⎨⎧2n， n 为奇数，－(2n －1)， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n2n ＋1. (3)设数列{c n }满足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12， 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2， 所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 所以2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. 因为b n ＝2n a n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，所以a n ＝n2n (n ∈N *)． (2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝32－n ＋32n ＋1， 所以T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n 2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)， 于是确定T n 与5n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小， 由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下：方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立．②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时，2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1.方法二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1. (3)因为c n ＝3n ＋(－1)n －1λ·na n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ]＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0，所以(－1)n －1·λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －2，② 依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0， 所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。