康托的连续统基数问题
希尔伯特传
注释：蓝色字迹为希尔伯特的在解决数学问题中的一些数学思想咖啡色的是希尔伯特的23条公理希尔伯特传生平简介：希尔伯特出生于东普鲁士的一个中产家庭。
祖父和父亲都是法官，祖父还获有“枢密顾问”头衔。
母亲是商人的女儿，颇具哲学、数学和天文学素养。
希尔伯特幼年受到母亲的教育、启蒙，八岁正式上学，入皇家腓特烈预科学校。
这是一所有名的私立学校，E〃Kant曾就读于此。
由于该校偏重于文科，而希尔伯特从小喜欢数学，因此在最后一学期转到了更适合他的威廉预科学校。
在那里，希尔伯特的成绩一跃而上，各门皆优，数学则获最高分“超”。
老师在评语中写到：“该生对数学表现出强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握的、灵活的应用它们。
”1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。
大学第二学期，他按当时的规定选择了海德堡大学听课。
在哥尼斯堡，希尔伯特主要跟从H〃Weber学习数论、函数论和不变量理论。
他的博士论文知道老师是赫赫有名证明 超越性的F〃Lindemann教授后者建议他做代数形式的不变性质问题。
希尔伯特出色的完成了学位论文，并与1885年获得了哲学博士学位。
在大学期间，希尔伯特与年长他三岁的副教授Hurwitz 和比他高一级的Minkowski结下了深厚的友谊。
这友谊对各自的科学工作产生了终身的影响。
大学毕业后，希尔伯特曾赴莱比锡、巴黎等地做短期的游学。
在莱比锡，他参加了F〃Klein的讨论班，受到后者的器重。
正是在Klein推荐希尔伯特去巴黎访问，使他结识了H〃Poincare、C〃Jordan、E〃Picard与C〃Hermite等法国著名数学家。
1884年获得博士学位,1886年获哥尼斯堡大学讲师资格。
除授课外，他继续探索不变量理论并与1888年秋取得突破性进展---解决了著名的“哥尔丹问题”。
1892年，希尔伯特接替胡尔维兹任哥尼斯堡大学副教授。
1893年被任命为正教授,1895年,由于Klein举荐，希尔伯特转任格廷根大学教授,此后一直在格廷根生活和工作,直到1930年退休。
希尔伯特23个问题
连续统假设提示：本条目的主题不是连续体假设。
在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。
其为：在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。
康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。
而连续 统就是实数集的一个旧称。
更加形式地说，自然数集的基数为 为 。
而连续统假设的观点认为实数集的基数。
由是，康托尔定义了绝对无限。
等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得("艾礼富数")而实数的序数是，连续续假设指假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：大于， 而连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：对于所有的序数 ,库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。
也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。
作为希尔伯特第一问题主条目：希尔伯特的 23 个问题1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。
Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。
Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。
(见 Woodin 2001a).集合的大小主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。
数学之最：世界上最难的23道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年,康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设.1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此,连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否.希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决.2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年,哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
198 8年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体,它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M。
W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般.满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件.1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即:是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼(1933，对紧群情形)、庞德里亚金（1939,对交换群情形）、谢瓦荚（1941,对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。
史上最难数学题
史上最难的数学题连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。
常记作CH。
通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C1。
2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。
直到1847年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。
自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。
康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。
是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。
康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。
这个猜想就称为连续统假设。
1938年，K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。
这样，在ZF公理系统中，CH是不可能判定真假的。
然而到了21世纪，前人的结论又开始被动摇PS:双击获取文档，ctrl+A,ctrl+C，然后粘贴到word即可。
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悖论、否定式定义与与康托无最大基数定理
二罗素型悖论与康托无最大基数定理山东枣庄二中赵录(emall：****************)先看三条悖论。
一、罗素悖论【注一】1902年6月罗素写信给弗雷格告诉他这样一个悖论。
集合可分为两类：一类是集合A是它本身的元素，即A∈A（本身分子集），如“一切概念的集合”，它本身也是一个概念，它也属于这个集合，“一切集合”也是一个分子集。
第二类是非本身分子集。
试问“一切非本身分子集构成的集合W是哪一种集合”，则得到一个悖论，显见W∈W，当且仅当W W，构成悖论。
二、说谎者悖论。
这虽最古老、最重要的悖论之一。
是语义学悖论中最重要的一个。
这个悖论依欧布里德的叙述形式可以通俗的表示为：“我现在所说的这句话是假的”。
由这句话的真可以推出其为假，由其假又可以推出其为真，矛盾。
美籍波兰数学家逻辑学家A·塔斯基在关于语义学悖论的研究中，对此悖论作了现代形式的严格表述，他首先提出命题真理性定义的T原则：(T)x是真的，当且仅当，P。
(其中P是任意一命题的名称。
)按T原则说谎者悖论可严格表示为：1．命题C：“C不是真的”由T原则有：2．“C不是真的”是真的，当且仅当C不是真的。
3．C是真的，当且仅当C不是真的，矛盾。
这个悖论是用最简单的笔法用一句话构成的悖论――“一步即成奇异的循环”。
所以这个悖论具有最“纯粹”形态的悖论。
它在各个时代以各种不同的方式一再出现，并引起人们经常注意，能解决它，就会随着解决了一切其他悖论。
至今各种解决悖论的方案仍然难于跳出这个由“对立面结合”所形成的“奇异的循环。
”三、理发师悖论。
罗素在二十世纪初提出重要的“罗素悖论”之后，于1916年构造了下列关于“罗素悖论”的通俗提法，称为“理发师悖论”：萨维尔村里的理发师，给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。
于是村子里的人分为两类：一类是自己刮脸的人，另一类是自己不刮脸的人。
村子里的每个人必属于且仅属于其中一类。
可理发师也是这个村的人，他自己应属于哪一类，他该不该给自己刮脸？理发师属于哪一类，当且仅当他不属于这一类，这个矛盾构成“理发师悖论”。
希尔伯特23个数学问题
希尔伯特23个数学问题希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G.Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M.Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论) 这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A.O.Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T.Schneieder)及西格尔(C.L.Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E.Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H.Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L.Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V.Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学) 由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论)1929年，德国数学家伯恩斯坦(L.Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P.Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．。
康托的连续统基数问题
集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。
对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。
对于无穷的集合，要引进新的基数。
自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。
集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。
可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。
与实数集R1对等的集的基数又称为连续基数或连续势，用c表示。
Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中a^a=c，c^a=c。
诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。
下一个便是序数的概念。
Cantor抽象地来引进这个概念。
一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。
再则，若m1〈m2与m2〈m3，则m1<m3，即这顺序关系有传递性。
一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。
两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。
两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。
作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。
对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。
正整数集合按它们的自然顺序，其序数w用表示。
另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)3，2，1 的序数用*w表示。
正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为*w+w。
接着Cantor定义序数的加与乘。
两个序数的和是第一个全序集的序数加第二个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。
例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。
序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。
现在他引进超限序数的整个集合，这在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。
数学之最：世界上最难的23道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
198 8年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，195 2年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。
后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。
代数artin答案
代数artin答案【篇一：大学应该读的几本数学书】，感觉很有价值，供大家参考：讲几本数学书。
这几本一定要读1，蒋中一，这本也太经典了，无需我多说。
总之很简单。
不过没有概率论，模型也有点陈旧。
新版修订本在这点上毫无建树。
让人很可惜。
这本书我以为写的最超乎同类著作之处是斯勒茨基方程，花了很大篇幅，解释得很清楚。
但是这本书的篇幅限制了对很多问题的详细说明，微分方程仓促得简直像是公式大全。
这本书初学者会喜欢，但是回头看看，也许只是手册一类或者拿本大著的数学附录。
数学分析：1，同济的高等数学，我相信几乎所有学经济学的学生都念过。
当然那本书是不够的。
2，菲赫金哥尔茨微积分学教程三大本。
这套书真是经典得没话说，可惜我认识到这点已经迟了。
3，科朗微积分和数学分析导论我大一下学期因为贪读这本书多次旷课，可见它有多伟大。
这本书的好处在于它不是很死板，可以和作者的另一本书《数学是什么》对照阅读。
（本来科朗在前者的脚注里就特别喜欢说请参考敝人的另一本书数学是什么??害我对后者一直心驰神往^_^不过后者写得确实很有趣，可以当消遣）4，apostol 数学分析。
此公的《微积分》煌煌2大卷，实在叫人头晕??呵呵。
不过这本分析实在是一本只能用“绝妙”二字形容的书。
其中的证明如风行水上，让人看了大呼过瘾，习题也很不错，强烈热情推荐！！！！继续上面的5 数学分析新讲张筑生老师的牛书，大概是中国人自己写的最好的数学分析教科书了。
线性代数嗯，这个部分其实要看高等代数，光看线性是绝对不够的，哄小孩子。
1，蓝以中简明高等代数好书，看了之后很长段数。
2，ng ,linear algibra,这本书写给本科生看的，似乎是深了点，但是很有趣。
3，丘维声高等代数内容不深，自己看一周就看完了，偏代数，不过讲得很清楚。
4 artin 代数。
这本书机械工业好像有影印本。
atin是大家，这本书写得还是值得去看。
5 jacobson 好像是抽象代数，时间太长记不得了。
希尔伯特的23个问题
巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。
1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……。
这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。
年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。
这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！科学发展的每一个时代都有自己的问题。
希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。
现在，时光已过去80多年。
这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。
80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。
据统计，从1936〜1974年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。
1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。
重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。
1884年获哥尼斯堡大学博士学位。
1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。
他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。
1900年前后致力于数学基础──元数学。
后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。
希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。
1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。
我们应该知道的数学大师：大卫.希尔伯特
我们应该知道的数学⼤师：⼤卫.希尔伯特(许兴华数学/选编)Wir müssen wissen, wir werden wissen.we must know---we will know.我们必须知道，我们终将知道。
⼤卫·希尔伯特(Hilbert,David，1862～1943)德国著名数学家。
他于1900年8⽉8⽇在巴黎第⼆届国际数学家⼤会上，提出了新世纪数学家应当努⼒解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制⾼点，对这些问题的研究有⼒推动了20世纪数学的发展，在世界上产⽣了深远的影响。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的⼀⾯旗帜，希尔伯特被称为“数学界的⽆冕之王”，他是天才中的天才。
简介希尔伯特⽣于东普鲁⼠哥尼斯堡（前苏联加⾥宁格勒）附近的韦劳，中学时代他就是⼀名勤奋好学的学⽣，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以⾄能应⽤⽼师讲课的内容。
他与17岁便拿下数学⼤奖的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的⽼师）结为好友，同进于哥尼斯堡⼤学，最终超越了他。
1880年，他不顾⽗亲让他学法律的意愿，进⼊哥尼斯堡⼤学攻读数学，并于1884年获得博⼠学位，后留校取得讲师资格和升任副教授。
1893年他被任命为正教授，1895年转⼊哥廷根⼤学任教授，此后⼀直在数学之乡哥廷根⽣活和⼯作。
他于1930年退休。
在此期间，他成为柏林科学院通讯院⼠，并曾获得施泰讷奖、罗巴契夫斯基奖和波约伊奖。
1930年获得瑞典科学院的⽶塔格 - 莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院⼠。
希尔伯特是⼀位正直的科学家，第⼀次世界⼤战前⼣，他拒绝在德国政府为进⾏欺骗宣传⽽发表的《告⽂明世界书》上签字。
战争期间，他敢于公开发表⽂章悼念“敌⼈的数学家”达布。
希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。
由于纳粹政府的反动政策⽇益加剧，许多科学家被迫移居外国，其中多数流亡到美国，曾经盛极⼀时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
数学之最世界上最难的道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是着名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
198 8年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。
连续统
康托居士关于连续统假设的评论康托居士 /u/1452947787 2010-04-06 17:37:11关于连续统假设的评论1. 连续统假设的来源及其历史演变连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托是怎样建立集合论的。
康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。
[1]第一种方法是利用幂集合，他证明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素个数相等）。
这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合N, P(N), P(P(N)), ……第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始，任何序数α加1后仍是一个序数。
这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列1, 2, 3, …, n, ……在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。
这样，从ω开始反复加1，又可以得到一系列无穷极限序数ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,……但这些极限序数都是等势的。
第三原则，康托认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，所以必然存在一个更大的超穷序数ω1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。
这样，反复利用这三条原则，就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数（又被称为超穷基数）ω1, …, ω2, …, ωn, ……康托自然就提出这样一个问题：实数集R的基数2ω到底和上述哪个超穷基数等势呢？他认为2ω等于ω1，这就意味着在N和R之间不存在其他无穷集合。
但康托不能给出证明，这一问题就被称为连续统假设。
后来人们把CH进行了推广，认为对于任何一个超穷基数ωn,都有2ωn=ωn+1成立，这就是广义连续统假设GCH。
但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后建立了几个集合论公理系统，这些系统被证明都是等价的。
数学之最：世界上最难的23道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1 952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
康托尔
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
康托尔的生平1845年3月3日，乔治·康托尔生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
集合论的背景为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。
希尔伯特23个数学问题及其解决情况
希尔伯特23个数学问题及其解决情况（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。
苏联的盖尔封特（Gelfond）1 929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。
七大千年数学难题
七大千年数学难题1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上提出了23个数学问题，认为这些是人类在20世纪里应该努力去解决的问题。
一百年之后，美国克莱数学研究所相对应地提出了七大数学难题，并对每个问题设立百万美元巨奖征集答案。
克莱研究所提出的七大难题分别为:(1)庞加莱猜想(已证明) 庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的:“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。
”它后来被推广为:“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。
”(2)P与NP问题(没什么进展) P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。
某决定性(非概率)算法计算一个问题所花的时间t是问题尺度n的多项式函数t=P(n)，我们就称之为“多项式时间决定法”。
而能用这个算法解的问题就是P 问题;反之，就叫做“非多项式时间决定性算法”，这类的问题就是“NP 问题”，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。
由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。
但是否NP 问题里面有些不属于P 问题等级的东西呢,或者NP 问题终究也成为P 问题,这就是相当著名的PNP 问题。
一般认为，NP 问题里面有不属于P 问题等级的东西。
(3)黎曼假设(暂无希望) Zeta 函数ζ (s)(s属于C)的全部非平凡零点都在复平面的直线Re(z)=1/2上。
(4)杨,米尔理论(太难，几乎没人做) 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。
他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。
然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢,而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。
一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。
(5)纳维叶,斯托克斯(Navier-Stokes)方程(流体力学基本方程组)的存在性与光滑性(离解决相差很远)(6)波奇和斯温纳顿,戴雅猜想(比费玛大定理难100倍) y^2=x^3+ax+b的有理数解问题。
基于黑箱子学说的连续统问题解答之第二部分
ｎ ｕ ｍｂｅ ｒ ； ｇ ｅ ｔ ｂ ａ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ａ ｎ ｄ ｎ ｏ — ｂ ａ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ；ａ ｎ ｄ Ｓ Ｏ ｏ ｎ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｐ ｏｂ ｒ ｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ｃ ｏ ｍｐｌ ｅ ｔ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ．
【 Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ］ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｕ ｍ； Ｎ ｏ — ｂ ａ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ａ ｓ ｓ ｕ ｍ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ； Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ； Ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ ｓ ｅ ｔ
２ ０ １ ３ 年
第２ ３ 期
Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ＆Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ ＭＡ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
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科技信息
基于黑箱子学说的连续统问题解答之第二部分
童宁 江 （ 台州科 技职 业学 院 机 电与模具 工 程学 院 ， 浙 江 黄岩 ３ １ ８ ０ ２ ０ ）
数学之最：世界上最难的23道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
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集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。
对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。
对于无穷的集合，要引进新的基数。
自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。
集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。
可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。
与实数集R1对等的集的基数又称
为连续基数或连续势，用c表示。
Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中
a^a=c，c^a=c。
诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。
下一个便是序数的概念。
Cantor抽象地来引进这个概念。
一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是
m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。
再则，若m1〈m2与m2〈m3，则
m1<m3，即这顺序关系有传递性。
一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。
两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。
两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。
作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。
对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。
正整数集
合按它们的自然顺序，其序数w用表示。
另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)
3，2，1 的序数用*w表示。
正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为
*w+w。
接着Cantor定义序数的加与乘。
两个序数的和是第一个全序集的序数加第二
个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。
例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个
最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。
序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。
现在他引进超限序数的整个集合，这
在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。
为了引
进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。
一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。
序数与基数
都存在着级别。
第一级是所有的有限序数：1，2，3，……我们用Z1表示上述第一级
序数。
在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……，2w，2w+1，……，3w，
3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。
.Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。
这个
集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。
接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。
第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，
Q+1，Q+2，……，Q+Q，……这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。
而Z3这个序数的集合的基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。
这个序
数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。
1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基
数大于所给集合的基数。
如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合
具有基数2^(阿列夫0)。
Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。
另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。
于是(阿列夫1)<=c。
至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuumhypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。
则或者是m1前于m2，或者是
m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。
再则，若m1〈m2与m2〈m3，则
m1〈m3，即这顺序关系有传递性。
一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。
两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，
m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。
两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。
作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。
对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。
正整数集
合按它们的自然顺序，其序数用w表示。
另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)
3，2，1 的序数用*w表示。
正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为
*w+w。
接着Cantor定义序数的加与乘。
两个序数的和是第一个全序集的序数加第二
个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。
例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个
最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。
序数的相等与不相等，也可以很明显地给出定义。
现在他引用超限序数的整个集合，这
在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。
为了引
进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。
一个全序集叫
做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。
序数与基数
都存在着级别。
第一级是所有的有限序数：1，2，3，……我们用Z1表示上述第一级
序数。
在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……2w，2w+1，……，3w，3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。
Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。
这个集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。
接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。
第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，Q+1，Q+2，……，
Q+Q，……这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。
而Z3这个序数的集合的
基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。
这个序数与基数的级别可
以无穷无尽的这样继续下去。
1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的
基数。
如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合具有基数2^(阿列夫0)。
Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。
另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。
于是(阿列夫
1)<=c。
至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuumhypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。
这个假设事实上相对于集合论的公理系[即Zermelo-Fraenkel(策梅洛弗伦克ZF)公
理系]是独立的，要从后者推出前者是不可能的。
1940年，在《选择公理和广义连续
统假设二者与集合论公理的相容性》(The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory)中，Godel(哥德尔)证明了，连续统假设与ZFC系统(除去选择公理，即Zermelo(注2)
公理：对于给定的非空且不相交的集合的任何一个总体，总可以在每一集合中选取一个元素，从而构成一个新的集合。
)合在一起也是相容的。
1963年，斯坦福(Stanford)大学的数学教授Paul J.Cohen证明了，连续统假设对于ZFC系统是独立的；就是说，它是不能以这个系统为基础去证明的。
还有，即使把选择公理保留在ZFC系统中，连续统假设也还是不能证明的。
这些结果意味着，我们可以随意去构造数学的新系统，在其中这条有争议的公理被否定了。