康托的连续统基数问题

集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。

对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。与实数集R1对等的集的基数又称

为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中

a^a=c，c^a=c。诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。下一个便是序数的概念。Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是

m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。再则，若m1〈m2与m2〈m3，则

m1

作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集

合按它们的自然顺序，其序数w用表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)

3，2，1 的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为

*w+w。接着Cantor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二

个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个

最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。现在他引进超限序数的整个集合，这

在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引

进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数

都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3，……我们用Z1表示上述第一级

序数。在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……，2w，2w+1，……，3w，

3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。.Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个

集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，

Q+1，Q+2，……，Q+Q，……这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。而Z3这个序数的集合的基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。这个序

数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基

数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合

具有基数2^(阿列夫0)。Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。于是(阿列夫1)<=c。至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuumhypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。则或者是m1前于m2，或者是

m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。再则，若m1〈m2与m2〈m3，则

m1〈m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。

两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，

m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集

合按它们的自然顺序，其序数用w表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)

3，2，1 的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为

*w+w。接着Cantor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二

个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个

最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。序数的相等与不相等，也可以很明显地给出定义。现在他引用超限序数的整个集合，这

在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引

进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。一个全序集叫

做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数

都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3，……我们用Z1表示上述第一级

序数。在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……2w，2w+1，……，3w，3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，Q+1，Q+2，……，

Q+Q，……这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。而Z3这个序数的集合的

基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。这个序数与基数的级别可

以无穷无尽的这样继续下去。1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的

基数。如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合具有基数2^(阿列夫0)。Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。于是(阿列夫

1)<=c。至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuumhypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。

这个假设事实上相对于集合论的公理系[即Zermelo-Fraenkel(策梅洛弗伦克ZF)公

理系]是独立的，要从后者推出前者是不可能的。1940年，在《选择公理和广义连续