高等数学：第三章 第三节 泰勒公式

第三节 泰勒公式
• 一、问题的提出 • 二、泰勒公式 • 三、简单应用
一、问题的提出
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x)
o
设 f ( x)在 x0处可导,则有 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ) 当 x x x0 较小时 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 若记 P1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 则 f ( x) P1( x), f ( x0 ) P1( x0 ), f ( x0 ) P1( x0 ),
f (n)( x0 ) Pn (n)( x0 )
Pn( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
Pn'( x) a 1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
Pn''( x) 2a 2 n (n 1)a n ( x x0 ) n2 Pn (n)( x) n!a n
, ,
因此所求 n 次多项式 Pn( x) 可表示为
Pn( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
f (x0)
f '(x 0)( x
x0 )
f
''(x 0)( x 2!
x0 )2
f
(
n)( x n!
0)
(
x
x
0
)
n
问题2: 上述 Pn( x) 能否满足问题1 中的要求？
x n1
介于 0 与 x 之间
再令 x , 0 1
则余项又可以写成
Rn( x)
f
(n1)( x )
(n 1)!
x n1
0 1
三、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x的 n 阶麦克劳林公式. 解 f ( x) f ( x) f (n) ( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
f
''( x 2!
0)
(
x
x0
)
2
f
(n)( x 0) ( x n!
x0 )n
Rn( x)
（1）
当 x0 0 时, 泰勒公式成为
f (x)
f (0)
f '(0) x
f ''(0) x 2 2!
f
(n) (0) n!
x
n
Rn
(
x
)
称之为马克劳林公式。
其中
Rn( x)
f (n1)( )
(n 1)!
Pn( x)
f (x0) f '(x 0)( x x0 )
f
(n)( x 0) ( x n!
x0 )n
f
''(x 0)( x 2!
x0 )2
近似表达 f (x) ，产生的误差恰好是 | Rn( x) |
| Rn( x) |
|
f (n1)(
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
|
(n
M 1)!
|
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题1：试找一个关于 ( x x0 ) 的 n 次多项式 Pn( x) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n 来近似表达 f (x) ，要求：
（1）误差 | Rn( x) | | f ( x) Pn( x)| 当 x x0 是比 ( x x0 ) n 高阶的无穷小
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
, ,
Pn( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
a0 an
f ( x0 ) , a1 f (n) ( x0 ) ,
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
Pn( x0 ) a0 f ( x0 ) , Pn'( x0 ) a1 f '( x0 ) ,
Pn''( x0 ) 2a 2 f ''( x0 ) ,
Pn (n)( x0 ) n!a n f (n)( x0 ) 所以可求得
a0 an
f ( x0 ) , a1 f (n) ( x0 ) ,
注意到 f (n1) (x) e x
x
x0
|
n1
0
|
(
Rn( x) x x0 )
n
|
M | x x0 | (n 1)!
lim Rn( x) 0 x x0 ( x x0 ) n
即当 x x0时 Rn( x) 是比 ( x x0 ) n 高阶的无穷小
我们称公式
f (x)
f (x0)
f '(x 0)( x x0 )
f
''( x 2!
0)
(
x
x0
)
2
f
(n)( x 0) ( x n!
x0 )n
Rn( x)
（1）
为泰勒公式， 而称余项
Rn( x)
f (n1)(
(n 1)!
)
(xx0源自)n1为拉格朗日型余项。 而称
（2）
Rn( x) [o( x x0 )n]
为佩亚诺（Peano) 余项
f (x)
f (x0)
f '(x 0)( x x0 )
（2）具体给出误差 | Rn( x) | | f ( x) Pn( x)| 的表达式 （3） Pn( x) 与 f (x) 在 x0 处的函数值以及直到
n 阶的导数值依次相等，即
f ( x0 ) Pn( x0 ) , f '( x0 ) Pn '( x0 ) , f ''( x0 ) Pn ''( x0 )
二、泰勒(Taylor)中值定理
定理（泰勒中值定理）如果函数 f (x) 在含有点 x0 的区间 ( a , b ) 内有直到 n + 1 阶的连续导数，
则当 x 在 ( a , b ) 内取任何值时，f (x) 可以表示为
( x x0 ) 的一个 n 次多项式 Pn( x) 与一个余项 Rn( x)
之和，即 f ( x) Pn( x) Rn( x), 其中
Pn( x)
f (x0)
f '(x 0)( x x0 )
f
''( 2
x !
0)
(
x
x
0
)
2
f
(n)( x 0) ( x n!
x0 )n
Rn( x)
f (n1)(
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
介于 x 与 x0 之间
由泰勒中值定理可知，若以 n 次多项式