第五章 控制系统的稳定性分析

5.3 代数稳定性判据
代数判据法:根据特征方程的系数来判断特征方程根的实部符号,从
而判定系统的稳定性,常用方法有Routh判据,赫尔维茨判据.
几何图形的稳定性判据法:根据开环系统的乃氏图和Bode图来判断 闭环系统的稳定性,常用的方法有Nyquist稳定判据,Bode判据.
5.3.1 劳斯稳定性判据 (Routh判据)
(i=0，1，2，…，n) 要使全部特征根均具有负实部，必须满足： （1）特征方程的各项系数都不等于0，a i ≠ 0
假如有任何系数为负数或等于零(缺项),则系统就是
不稳定的.
（2）特征方程各项系数a i 的符号都相同。
假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系
a i一般取正值，则上两条件简述为 a i >0
实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上.这 样,在干扰消失的时刻,系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的 初始偏差.因此,控制系统的稳定性也可以这样来定义:若控制系统 在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移, 逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳 定;否则,称该系统为不稳定的.
可见,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、 参数),与系统的输入信号无关.
(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增 长; (2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发 散的周期振荡; (3)上述两种情况下系统是不稳定的. (4)如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在 任何状态下平衡,称为随遇平衡状态; (5)如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称 为临界平衡状态(或临界稳定状态).
a1 b1 c1
a3 b2 c2
a5 b3 c3
a7 b4 c4
u1 v1 w1
u2
第一二行由特征方程的系数直接给出
直至其余bi项均为零. 按此规律一直计算到n-1行为止.在上述计算过程中,为了简化数值 运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论.
考察阵列表第一列系数的符号.假若劳斯阵列表中第一列系数均 为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于根平面的 左半平面.假若第一列系数有负数,则第一列系数符号的改变次数 等于在右半平面上根的个数.即:实部为正的特征根数＝劳斯阵列 中第一列的系数符号改变的次数.
Im
S平面
从控制工程的角度认为临界稳定状态 和随遇平衡状态属于不稳定.
稳 定 区
临 界 稳 定
不 Re 稳 定 区
解系统特征方程的根:系统稳定的充要条件是系统特征方 程的所有根,或闭环传递函数的所有极点均严格位于S平 面的左半平面.
阿贝耳定理:五次以及更高次的代数方程没有一般的代数 解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根 的方法).
三阶系统特征式为a 0 s 3 + a 1 s2 + a 2s + a3 劳斯表为 s3 s2 s1 a0 a1 a2 a3
s0
a3
故三阶系统稳定的充要条件是 a0>0, a1>0, a3>0且a1a2>a0a3
例5-3 设某反馈控制系统如下图所示,试计算使系统稳定的K值范围.
解:
系统闭环传递函数为
s4 s3 s2 s1 s0
1 8 15 40/3 5
17 16 5 0
5 0
劳斯阵列第一列中s 系数符号全为正,所以控制系统稳定.
来自百度文库
例5-2 设控制系统的特征方程式为
s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性. 解:
1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足 系统稳定的必要条件.
( s n an1s n1 ... a1s a0 ) X O (s) (bm s m bm1s m1 ... b1s b0 ) X i ( s)
+系数(取决于初始条件)
bm s m bm1s m 1 ... b1s b0 系数(取决于初始条件) X O ( s) n X i ( s) n s an 1s n 1 ... a1s a0 s an 1s n 1 ... a1s a0
xo (t ) xo1 (t ) xo 2 (t )
bm s m bm1s m 1 ... b1s b0 系数(取决于初始条件) X O ( s) n X i ( s) n s an 1s n 1 ... a1s a0 s an 1s n 1 ... a1s a0
例5-1 设控制系统的特征方程式为
s 4 8s 3 17 s 2 16s 5 0
试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性.
解:
s 4 8s 3 17 s 2 16s 5 0
(1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的 必要条件.
(2)列写劳斯阵列表如下
2)排劳斯阵列 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 -2 3 3 4 3 3
第一列系数改变符号2次,闭环系统的根中有2个实部为正, 控制系统不稳定.
对于特征方程阶次低(n≤3)的系统,劳斯判据可简化:
二阶系统特征式为 a0s2+a1s+a2 劳斯表为
s2 a0 a2
s1
s0
a1
a2
故二阶系统稳定的充要条件是 a0>0, a1>0, a2>0
(一)系统稳定性的必要条件
这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立.设系统特征方程为
a0 s n a1s n 1 an 1s an n a1 n 1 an 1 an a0 s s s a0 a0 a0 a0 s s1 s s2 s sn 0 （a0 0）
X O ( s) K X i ( s ) ss 1s 2 K
特征方程为 s 3 + 3 s2 + 2s + K =0 根据三阶系统稳定的充要条件,可知使系统稳定须满足:
故使系统稳定的K值范围为 0< K <6
两种特殊情况之一
在劳斯阵列表的计算过程中,如果出现:
(1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零,其余各系数不为零(或没 有其余项),这时可用一个很小的正数ε来代替这个零,从而使劳斯阵 列表可以继续运算下去(否则下一行将出现∞). 如果ε的上下两个系数均为正数,则说明系统特征方程有一对虚 根,系统处于临界状态; 如果ε的上下两个系数的符号不同,则说明这里有一个符号变化过 程,则系统不稳定,不稳定根的个数由符号变化次数决定.
s1, s2, …,sn为系统的特征根.
展开得根与系数的关系:
a1 s1 s2 sn a0 a2 s1s2 s1s3 sn 1sn a0 a3 s1s2 s3 s1s2 s4 sn 2 sn 1sn a0
c.继续计算劳斯阵列表;
d.关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得.
例5-6 设某系统特征方程为 s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0 试用劳斯判据判别系统的稳定性. 解: 劳斯阵列表为 s6 s5 1 2 8 12 20 16 16 0
例5-4: 设某系统的特征方程式为 s4+2s3+s2+2s+1=0 试用劳斯判据判别系统的稳定性.
解: 1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.
2)排劳斯阵列
s4 s3 s2
1 2 0 (ε) 1
1 2
1
s1
s0 1
符号改变2次,故有 2个实部为正的特征根.
例5-5 设某系统特征方程为 s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性.
2
时域表达式为：
xo 2 (t ) a j e
j 1 n1 p jt
bk e k k t cosk 1 k2 t ck e k k t sin k 1 k2 t
k 1 k 1
n2
n2
时域表达式为：
xo 2 (t ) a j e
xo (t ) xo1 (t ) xo 2 (t )
上式右边第一项为对应与由输入引起的响应过程。 第二项为对应于由初始状态引起的响应过程。 前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
X O 2 (s) 系数(取决于初始条件) n n 1 s an 1s ... a1s a0
5.2 系统稳定的充要条件
设系统的微分方程为:
xo (t ) an 1 xo
(n) ( n 1)
(t ) ... a0 xo (t ) bm xi
( m)
(t ) bm1 xi
( m 1)
(t ) ... b0 xi (t )
式中：xi(t)—输入，xo(t)—输出 ai , (i 0 ~ n 1); b j , j 0 ~ m) 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）
j 1 n1 p jt
bk e
k 1
n2
k k t
cosk 1 t ck e k k t sin k 1 k2 t
2 k k 1
n2
线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根 都具有负实部.
系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭 环传递函数极点全部在[s]平面的左半面.
n1
系数(取决于初始条件) ( s p j ) ( s 2 2 k k s k2 )
j 1 k 1 n1 n2
bk ( s kk ) ckk 1 k 2 s pj s 2 2 kk s k j 1 k 1 aj
n2
an n 1 s1s2 s3 sn 2 sn 1sn a0
要使全部特征根均具有负 实部,就必须满足以下两个 必要条件:
(1)特征方程的各项系数都
不等于零; (2)特征方程的各项系数的 符号都相同.
根据这一原则,在判别系统的稳定性时,可首先检查 系统特征方程的系数是否都为正数.
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 系统稳定性的基本概念 系统稳定的充要条件 代数稳定性判据 乃奎斯特稳定性判据(Nyquist判据) 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 由伯德图判断系统的稳定性 控制系统的相对稳定性
5.1 系统稳定性的基本概念
稳定的定义:如果一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡 状态,而当扰动取消后,经过充分长的时间,这个系统又能 够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳 定的.否则,称这个系统是不稳定的.
5 4 3 2 2 2 例如: 1 s 2s 24 s 48s 25s 50 ( s 1)( s 25)( s 2) 2 s 4 4 ( s 1 j )( s 1 j )( s 1 j )( s 1 j )
在这种情况下可做如下处理: a.利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数的; b.求辅助多项式对s的导数,将其系数构成新行,代替第k行;
解: 劳斯阵列表为 s3
s2
1
2
1
由于ε的上下两个系数(2和2) 2
符号相同,则说明无正实根,
有一对虚根存在.
s1
s0
0 (ε)
2
两种特殊情况之二 (2)若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零,则说明
特征方程具有大小相等而位置径向相反的根.至少要下述几种情 况之一出现,如:大小相等,符号相反的一对实根,或一对共轭虚根, 或对称于虚轴的两对共轭复根.
统是稳定的,还要做进一步的判别.因为上述所说的原则
——必要条件！
只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件.
(二)劳斯稳定性判据
1.充要条件:如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正,则系统稳 定. 2. 劳斯阵列表: sn a0 a 2 a 4 a6
s n 1 s n2 s n 3 s2 s1 s0