三角函数图像变换

三角函数图像及其变换

一、

知识梳理

1、sin y x =与cos y x =的图像与性质

2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+

（1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系

二、

典型例题

1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π

=+，x R ∈

（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3

2y x π

=+，x R ∈

2、为得到函数πcos 23y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）

A ．向左平移

5π

12个长度单位 B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

3、函数πsin 23y x ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，的简图是（ ）

4、下面有五个命题：

①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =

Z k k ∈π

,2

|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36

)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π

π+= ⑤函数.0)2

sin(〕上是减函数，在〔ππ

-

=x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ）

5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3

π

个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4

x π

=,则θ的一个可能取值是

A.

π125 B. π125- C. π12

11 D. 1112π-

三、高考再现

1、已知函数2

π()sin

sin 2

f x x x x ωωω⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭

（0ω>）的最小正周期为π．

（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围．

2、已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域

3、已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2

π （Ⅰ）求f （

8

π

）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移

6

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.

自我检测

1为得到函数πcos 23y x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 A ．向左平移

5π

12个长度单位 B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

2. 函数)0,0)(cos()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则

+++)3()2()1(f f f )2009(f + 的值为

A ．2

B ．22-

C ．7

D ．0

3、已知函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x ，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调增区间；

（2）函数f （x ）的图象可以由函数y=sin2x （x ∈R ）的图象经过怎样的变换得到？