东南大学数值分析上机题答案

数值分析上机题

第一章

17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-=

N

j N j S 2

2

11

，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1

-1

···1-311-21222N S N +

++=，计算N S 的通用程序；

（2）编制按从小到大的顺序1

21

···1)1(111

222-++--+

-=N N S N ，计算N

S 的通用程序；

（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？

解： 程序：

（1）从大到小的顺序计算1

-1

···1-311-21222N S N +++=

：

function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1

format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n

sn1=sn1+1/(m^2-1); end end

（2）从小到大计算1

21

···1)1(111

2

22

-++--+-=

N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2

format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2

sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3）

总的编程程序为： function p203()

clear all

format long;

n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn

fprintf('精确值为%f\n',sn);

sn1=fromlarge(n);

fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1);

sn2=fromsmall(n);

fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long;

sn1=single(0);

for m=2:1:n

sn1=sn1+1/(m^2-1);

end

end

function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long;

sn2=single(0);

for m=n:-1:2

sn2=sn2+1/(m^2-1);

end

end

end

运行结果：

从而可以得到

N值真值顺序值有效位数

2 100.740050 从大到小0.740049 5

从小到大0.740050 6

4 100.749900 从大到小0.749852 3

从小到大0.749900 6

6 100.749999 从大到小0.749852 3

从小到大0.749999 6

（4）感想：

通过本上机题，我明白了，从小到大计算数值的精确位数比较高而且与真值较为接近，而从大到小计算数值的精确位数比较低。机器数在进行加法运算时，用从大到小的顺序容易出现

大数吃小数的情况，容易产生较大的误差，是因为对于相加的两个数值，计算机首先提供与大数相一致的位数，此时将小数的尾数向右移位，并进行四舍五入，之后对尾数进行依次相加。从大到小时，越往后计算，相加的数越小，从而出现大数吃小数的情况。相比之下。从小到大计算时，每次小数与大数相加，都会增加位数，从而精确度比较高。

第二章

20.（上机题）Newton 迭代法

（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程)(x f =0根的通用程序。

（2）给定方程x x x f -=3/)(3

，易知其有三个根*1x =-3，*2x =0,*

3x =3。

①有Newton 方法的局部收敛性可知存在δ>0，当0x ∈（-δ,δ）时Newton 迭代序列收敛于根*

2x ，试确定尽可能大的δ；

②试取若干初始值，观察当0x ∈（-∞，-1），（-1，-δ），（-δ，δ），（δ，1），（1，+∞）时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 解：

（1）程序

先编写函数function 文件： 文件fx.m

%定义函数f(x) function Fx=fx(x) Fx=x^3/3-x;

文件dfx.m

%定义导函数df(x)% function fx=dfx(x) fx=x^2-1;

接下来是具体步骤

文件newton1.m 求尽可能大的delta 值

%%课本56页计算最大delta 值 clear flag=1; k=1; x0=0;

while flag==1

delta=k*10^-6;

x0=delta;

k=k+1;

m=0;

flag1=1;

while flag1==1&&m<=10^3

x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);

if abs(x1-x0)<10^-6

flag1=0;

end

m=m+1;

x0=x1;

end

if flag1==1||abs(x0)>=10^-6

flag=0;

end

end

fprintf('%f\n',delta);

文件newton2.m求方程的根

%%课本56页newton法求方程的根，确定收敛于哪个根

format long;

ef=1e-6;

k=0;

x0=input('please enter the initial number as the x0:'); while k<1000

x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);

if abs(x1-x0)

break

end

x0=x1;

k=k+1;

end

fprintf('方程的根为%f\n',x0);