纯形法的灵敏度分析与对偶
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19 50
X
X1
9+λ 8 2 4/3 -1/2 -1/3 λ–4 -2/3
b
2 1
Leabharlann Baidu
θ
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下： Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0 ► ◄ 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解：
XB
X4 X3
设 C1 = 9 + λ
则有：
X2 X3 50 0 1 0 0 X4 19 1 0 X5 0 X6 0
cB cj
原来的基仍为最优基？
解：
原最终单纯形表为
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50
X4 19
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3
-4 -2/3
0 1
0
1 0
0
2/3 -10/3 -1/6 4/3
-13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即： B-1b = 2/3 -10/3
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
2 +（2/3） λ 1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的 对偶价格是13/3。
！
注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 非可行解 非可行解
可行解 非可行解 可行解 非可行解
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过 改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
-1/6 4/3
18+λ 3
= 2 +（2/3） λ
1 – λ/6
≥0
求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。 在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品， （ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为： CBB-1b =（19，50）
（1） B-1b ≥ 0 （2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
C 改 变
不影响 B-1b ≥ 0
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
b
改 变 不影响 C – CBB-1A ≤ 0 最优解 XB= B-1b 将改变 可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题
三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上； b B 1b
Pj B 1Pj
j
c j aij yi
j 1
m
2.检查原问题是否仍为可行解； 3.检查对偶问题是否仍为可行解； 4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型 对偶价格的取值 等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值 等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值 的相反数
≤ ≥
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj 则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj， 检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变； 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。 要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 ，x6 ，x7 ≥0 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄
X
X1
9+λ 8 2 4/3 -1/2 -1/3 λ–4 -2/3
b
2 1
Leabharlann Baidu
θ
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下： Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0 ► ◄ 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解：
XB
X4 X3
设 C1 = 9 + λ
则有：
X2 X3 50 0 1 0 0 X4 19 1 0 X5 0 X6 0
cB cj
原来的基仍为最优基？
解：
原最终单纯形表为
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50
X4 19
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3
-4 -2/3
0 1
0
1 0
0
2/3 -10/3 -1/6 4/3
-13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即： B-1b = 2/3 -10/3
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
2 +（2/3） λ 1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的 对偶价格是13/3。
！
注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 非可行解 非可行解
可行解 非可行解 可行解 非可行解
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过 改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
-1/6 4/3
18+λ 3
= 2 +（2/3） λ
1 – λ/6
≥0
求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。 在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品， （ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为： CBB-1b =（19，50）
（1） B-1b ≥ 0 （2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
C 改 变
不影响 B-1b ≥ 0
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
b
改 变 不影响 C – CBB-1A ≤ 0 最优解 XB= B-1b 将改变 可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题
三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上； b B 1b
Pj B 1Pj
j
c j aij yi
j 1
m
2.检查原问题是否仍为可行解； 3.检查对偶问题是否仍为可行解； 4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型 对偶价格的取值 等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值 等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值 的相反数
≤ ≥
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj 则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj， 检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变； 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。 要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 ，x6 ，x7 ≥0 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄