纯形法的灵敏度分析与对偶
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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
单纯形法的灵敏度分析与对偶
目标函数： max z=50x1+100x2
x1+ x2≤300 s.t. 2x1+x2≤400
x2≤250 x1 ≥0, x2≥0
max z=50x1+100x2
x1+ x2+s1=300
s.t.
2x1+x2+s2=400
x2+s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, si≥0
一、线性规划问题解的基本概念
△C3 ≤－（－50）=50；
c’=c+△C<=0+50=50
最优解不变。
（2）再分析基变量的系数分析：
ck k
max J ak jjak j0 ckm J i ak n jjak j0
例如对基变量X1的系数C1进行灵敏度分析：
从表中获得了:
a11=1, a12=0, a13=1, a14=0, a15=-1
❖
OBJ COEFFICIENT RANGES
❖ VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
❖
COEF INCREASE DECREASE
❖
X1
50.000000 50.000000 50.000000
❖
X2
100.000000 INFINITY 50.000000
❖
RIGHTHAND SIDE RANGES
4. 对偶问题的约束条件系数矩阵A是原问题的AT
maxz c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1nxn b1
s.t.
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 y2 bm ym
灵敏度分析与对偶理论
min f 300 y 1 400 y 2 250 y 3 1 y 1 2 y 2 50 y 1 y 2 y 3 100 y1 , y 2 , y 2 0
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
运筹学第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
② 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），采 用单纯形法继续求解
③ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题有可行解（ δ≤0 ）， 采用对偶单纯形法继续求解
④ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0）， 设法使bi>0，并引入人工变量，采用大M 法继续求解
P38：例3.6
某公司生产甲、乙、丙、丁四种产品，已知制造单件产品时分
别占用的设备A、B的台时，设备A、B每天可用于生产的能力 以及单件产品的收益情况如下表所示。问该公司应该如何制定 最优生产计划？ 项目 甲 乙 丙 丁 每天可用能力
设备A（h） 设备B（h）
单件利润(元)
3 2
4
2 3
3
1 2
上式两边左乘B-1，得到
题的最优基B不变，我们可以直接 求出新问题的最优解
X B B1b B1NX N
(1)
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
设 Pj
为初始单纯形表中的第j 列列向量，
设 Pj’为最终单纯形表中的第j 列列向量 例如： 3 P 1 2 我们不难得到：
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
同时，
Pj ' B1Pj
(3)
例如：
3 5 2 5 3 1 B P 1 1 2 0 P ' 2 5 3 5
1
再考察式(1)，由于XN＝[0, 0]T，因而
X B * B1b
(2) 解：设乙的收益c2直接反映到原问题的最终单纯形表中，得到
为使最优生产计划不变，则δ3, δ4 ,δ5, δ6 ≤0，得到
(优选)对偶单纯形法灵敏度分析
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0Βιβλιοθήκη CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
初始对 偶单纯 形表
此时，初始单纯形表检验数均小于等于0，对偶可行，但原问 题初始解不可行
先选出基变量
后选进基变量cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b 0 x5 -3 0 x6 -2
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?
答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
（优选）对偶单纯形法灵敏度 分析
第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。
4.5 单纯形法的灵敏度分析解析
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
单纯形法的灵敏度分析
bk bk
时，也就是原来的初始单
纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 令 b bk ... 0 则有 b ' b b
9
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了
X 'B B .(b b ) B b B b 。
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。
对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这将使得最优目
+ CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当J
δj a' kj
δ j ΔC k a' kj 0, ΔC k a' kj δ j 当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
0;
当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
δj a' kj
0; Z k ΔC a' kk , 因为 X K 是基变量， δj a' kj
14
zj 标值 “变差”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取
值的相反数-j z
。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程的 人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变量的 值z j 。
7
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
对偶单纯形法灵敏度分析
对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
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对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
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对偶单纯形法是一种线性规划 算法
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计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
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2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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（1） B-1b ≥ 0 （2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
C 改 变
不影响 B-1b ≥ 0
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
原来的基仍为最优基？
解：
原最终单纯形表为
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50
X4 19
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3
-4 -2/3
0 1
0
1 0
0
2/3 -10/3 -1/6 4/3
-13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即： B-1b = 2/3 -10/3
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解：
XB
X4 X3
设 C1 = 9 + λ
则有：
X2 X3 50 0 1 0 0 X4 19 1 0 X5 0 X6 0
cB cj
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。 要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 ，x6 ，x7 ≥0 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下： Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料） x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0 ► ◄ 其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
XB
X4 X3
cB cj
19 50
X
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
2 +（2/3） λ 1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的 对偶价格是13/3。
！
注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
b
改 变 不影响 C – CBB-1A ≤ 0 最优解 XB= B-1b 将改变 可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 非可行解 非可行解
可行解 非可行解 可行解 非可行解
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过 改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型 对偶价格的取值 等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值 等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值 的相反数
≤ ≥
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj 则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj， 检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变； 若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
19 50
X
X1
9+λ 8 2 4/3 -1/2 -1/3 λ–4 -2/3
b
2 1
θ
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
-1/6 4/3
18+λ 3
= 2 +（2/3） λ
1 – λ/6
≥0
求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。 在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品， （ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为： CBB-1b =（19，50）
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题
三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上； b B 1b
Pj B 1Pj
j
c j aij yi
j 1
m
2.检查原问题是否仍为可行解； 3.检查对偶问题是否仍为可行解； 4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤