2017-2018年山西省太原市高二上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知点A（1，0），B（﹣1，1），则直线AB的斜率为（）A．B．C．﹣2 D．22．（3分）下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是（）A．B．C．D．3．（3分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2），4 B．（1，2），4 C．（﹣1，﹣2），2 D．（1，2），24．（3分）直线y=x﹣1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定5．（3分）已知m，n是两条不同直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α6．（3分）直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，△O'A'B'是△OAB用斜二测画法画出来的直观图，其中O'B'=4，A'C'=6，A'C'∥y'，则△OAB的面积（）A．6 B．12 C．24 D．488．（3分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．8 B．6 C．﹣8 D．9．（3分）若直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，则实数m=（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或0 D．110．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．11．（3分）若关于x的方程有两个不同实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．D．12．（3分）已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，OM=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．4二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知空间直角坐标系中点P（1，2，3），Q（3，2，1），则|PQ|=．14．（3分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．15．（3分）已知经过点M（2，1）作圆C：（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为．16．（3分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2，设点K是△ABC内一点，现定义f（K）=（x，y，z），其中x，y，z分别是三棱锥K﹣PAB，K﹣PBC，K﹣PAC的体积，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．18．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是BD1，B1C 的中点，（1）求证：MN⊥B1C；（2）求三棱锥B1﹣BCD1的体积．19．已知圆C1：x2+y2﹣4x=0与圆C2：x2+y2+2my+n=0关于直线y=x对称．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）求经过圆C1与圆C2的公共点以及点P（﹣1，1）的圆的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E，F，G，M，N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点（1）求证：AN∥平面EFG；（2）求证：平面MNE⊥平面EFG．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E、F、G、M、N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点．（Ⅰ）若AB=2CD，求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：MN⊥平面EFG．22．已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，点A在圆C1上，点B 在圆C2上．（Ⅰ）求|AB|的最小值；（Ⅱ）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P由无数对相互垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知圆C1：x2+（y+2）2=4与圆C2：（x﹣4）2+y2=4（1）若直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）与圆C1相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值；（2）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知点A（1，0），B（﹣1，1），则直线AB的斜率为（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：直线AB的斜率k==﹣．故选：A．2．（3分）下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是（）A．B．C．D．【解答】解：几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，由旋转体的性质得选项B中梯形绕下底旋转，形成的几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成，故选：B．3．（3分）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣1，﹣2），4 B．（1，2），4 C．（﹣1，﹣2），2 D．（1，2），2【解答】解：∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，则圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=2，故选：D．4．（3分）直线y=x﹣1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定【解答】解：圆心（0，0）到直线y=x﹣1的距离d==＜1，∴直线与圆相交．故选：B．5．（3分）已知m，n是两条不同直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【解答】解：对于A，m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，所以A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m∥α，m⊥n，则n、α可能相交，故错；对于D，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确．故选：D．6．（3分）直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：直线2x+2y+1=0化为：x+y+=0．∴平行直线x+y﹣1=0与直线2x+2y+1=0的距离d==．故选：A．7．（3分）如图，△O'A'B'是△OAB用斜二测画法画出来的直观图，其中O'B'=4，A'C'=6，A'C'∥y'，则△OAB的面积（）A．6 B．12 C．24 D．48【解答】解：由已知中的直观图可得：△OAB中OB=4，AC=12，AC⊥OB，故△OAB的面积S=×12×4=24，故选：C．8．（3分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．8 B．6 C．﹣8 D．【解答】解：由实数x，y满足条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，z取得最大值，由解得A（2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×（﹣2）=6．故选：B．9．（3分）若直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，则实数m=（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或0 D．1【解答】解：∵直线m2x+（m2﹣m）y+1=0与2x﹣y﹣1=0互相垂直，∴2m2﹣m2+m=0，解得m=﹣1或m=0，当m=0时，m2x+（m2﹣m）y+1=0不成立，故选：A．10．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，由AB=1，BC=3，得AC=，由PA=2，AB=1，得PB=，则S=1，，，，△PAB∴该几何体的表面积为1+=．故选：A．11．（3分）若关于x的方程有两个不同实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．（﹣1，1）C．D．【解答】解：∵方程，∴设函数y=x+b，和y=，则﹣1≤x≤1，由y=得x2+y2=1，∵﹣1≤x≤1，∴函数y=为圆的上半部分．作出函数y=的图象如图：当直线x﹣y+b=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=，解得b=，由图象可知b＞0，即b=．当直线经过点（﹣1，0）时，直线满足﹣1+b=0，即b=1，∴要使x的方程有两个不同的实数解，则满足1，故选：D．12．（3分）已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，OM=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：设两圆的公共弦长为AB，C为AB的中点，连结MC、OC，则OC⊥AB，MC⊥AB，∴∠MCO就是圆O与圆K所在的平面所成的二面角的平面角，即∠MCO=30°∵Rt△MOC中，OM=1，∴OC==2，Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即R2=4+（）2，解得R=4．故选：D．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知空间直角坐标系中点P（1，2，3），Q（3，2，1），则|PQ|=2．【解答】解：|PQ|==2，故答案为：2．14．（3分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得r=1，l=2．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为．15．（3分）已知经过点M（2，1）作圆C：（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为3x+y+2=0．【解答】解：（x+1）2+y2=1的圆心为C（﹣1，0），半径为1，以M（2，1）、C（﹣1，0）为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程3x+y+2=0，故答案是：3x+y+2=0．16．（3分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2，设点K是△ABC内一点，现定义f（K）=（x，y，z），其中x，y，z分别是三棱锥K﹣PAB，K﹣PBC，K﹣PAC的体积，若，则的最小值为．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，∴V P=××2×2×2==a++b，﹣ABC∴a+b=1．则==（）（a+b）=4+，由题意可得a＞0，b＞0，且a+b=1，∴=4+，当且仅当b=时，上式“=”成立．∴的最小值为．故答案为：4+2．三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，﹣1），B（2，1），C（1，3）．（Ⅰ）求边AB高所在直线的点斜式方程；（Ⅱ）求边AB上的中线所在直线的一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）AB边上的高所在的直线为直线CH，H为垂足，由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），得：，而k AB k CH=﹣1，则k CH=﹣2，而C（1，3），所以直线CH的方程为y﹣3=﹣2（x﹣1）；（Ⅱ）AB边上的中线所在的直线为直线CE，E为AB中点，由已知A（﹣2，﹣1），B（2，1）得：E（0，0），而C（1，3），得：，所以直线CE的方程为y=3x即3x﹣y=0．18．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是BD1，B1C 的中点，（1）求证：MN⊥B1C；（2）求三棱锥B1﹣BCD1的体积．【解答】证明：（1）取BD，CD的中点为P，Q，连接PQ，MP，NQ，在△ADD1中，，同理在△BCB1中，又BB1=DD1，BB1∥DD1，所以MP=NQ，MP∥NQ，所以四边形MNQP是平行四边形，所以MN∥PQ，又PQ∥DC，DC⊥平面BCC1B1，所以PQ⊥平面BCC1B1，所以PQ⊥B1C，所以MN⊥B1C；解：（2）三棱锥B1﹣BCD1的体积：．19．已知圆C1：x2+y2﹣4x=0与圆C2：x2+y2+2my+n=0关于直线y=x对称．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）求经过圆C1与圆C2的公共点以及点P（﹣1，1）的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，圆的标准方程为x2+（y+m）2=m2﹣n，圆心C2（0，﹣m），半径∵圆C1与圆C2关于直线y=x对称，所以，解得．（Ⅱ）解得，或，即圆C1与圆C2的交点为（0，0），（2，2）．令O（0，0），Q（2，2），又OP⊥OQ，∴所求圆的圆心为线段PQ的中点，即；半径，∴所求圆的方程为：．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E，F，G，M，N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点（1）求证：AN∥平面EFG；（2）求证：平面MNE⊥平面EFG．【解答】解：（1）在△PAB中，E，F分别是PB，AB的中点，所以EF∥PA，所以EF∥平面PAC在△ACB中，F，G分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，所以FG∥平面PAC又EF∩FG=F，所以平面PAC∥平面EFG，所以AN∥平面EFG（2）∵E、F分别是PB、AB中点，∴EF∥PA又AB⊥PA，∴AB⊥EF同理可证AB⊥FG．又EF∩FG=F，EF、FG⊂面EFG，故AB⊥EFG．又M、N分别为PD、PC中点，∴MN∥CD，又AB∥CD，故MN∥AB，∴MN⊥EFG，∵MN⊂EMN，∴EFG⊥EMN．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E、F、G、M、N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点．（Ⅰ）若AB=2CD，求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：MN⊥平面EFG．【解答】解：（Ⅰ）连结CF，∵E、F分别是PB、AB的中点，∴EF是△PAB的中位线，∴EF∥PA，又∵AB∥DC，AB=2DC，∴AF∥DC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，又∵EF∩EC=E，PA∩AD=A，∴平面EFC∥平面PAD，∵CE⊂平面EFC，∴CE∥平面PAD．（Ⅱ）∵AB⊥AC，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAC，又∵E、F、G分别是PB、AB、CB的中点，∴EF∥PA，EG∥AC，∴平面EFG∥平面PAC，∴AB⊥平面EFG，又∵M、N分别是PD、PC的中点，∴MN∥DC∥AB，∴MN⊥平面EFG．22．已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，点A在圆C1上，点B 在圆C2上．（Ⅰ）求|AB|的最小值；（Ⅱ）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P由无数对相互垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）两圆的圆心距为|C1C2|==2＞2+2=4，∴圆C1与圆C2外离，∴|AB|的最小值为2﹣4．（Ⅱ）设P（3，a），当直线l1斜率不存在时，显然不符合题意，舍去；当直线l1斜率存在且不为0时，设直线l1：y=k（x﹣3）+a，即kx﹣y+a﹣3k=0，直线，即x+ky﹣ak﹣3=0，∴两圆圆心到直线l1，l2的距离分别为：∵两圆半径相等，弦长相等，∴d1=d2，即，化简得：（a2﹣4a﹣5）k2+4（a+1）k+1﹣a2=0，∴上式对任意k≠0恒成立，故，解得a=﹣1．故存在点P（3，﹣1）满足题意．23．已知圆C1：x2+（y+2）2=4与圆C2：（x﹣4）2+y2=4（1）若直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）与圆C1相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值；（2）直线x=3上是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线mx﹣y+（m﹣1）=0（m∈R）过定点M（﹣1，﹣1），∴当AB⊥C1M时，|AB|取得最小值，∵，∴|AB|的最小值为2=2．（2）设P（3，a），当直线l1斜率为0或斜率不存在时不符合题意，舍去；当直线l1斜率存在且不为0时，设直线l1：y=k（x﹣3）+a，即kx﹣y+a﹣3k=0，设直线，即x+ky﹣ak﹣3=0，则C1到直线l1的距离为d1=，C2到直线l2的距离为d2=，∵两圆半径相等，弦长相等，∴，化简得：（9﹣a2）k2﹣（12+4a）k+a2+4a+3=0，∴上式对任意k≠0恒成立，故，解得a=﹣3．故存在点P（3，﹣3）满足题意．第21页（共21页）。