EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理

旋度源
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV
V
上式称为矢量第二格林定理 ，或者，矢量格林第二恒等式 矢量格林第二恒等式，有时也称为标量 ，有时也称为标量 上式称为矢量第二格林定理，或者， 格林第二恒等式的矢量模拟 。 格林第二恒等式的矢量模拟。 一方面，矢量格林定理建立了区域V中的矢量场与边界S上的矢量场之间的关 系。因此，利用矢量格林定理可以将区域V中矢量场的求解问题转变为边界S上矢 量场的求解问题。 另一方面，矢量格林定理说明了两个矢量场之间应该满足的关系。因此，如 果已知其中一个矢量场的分布特性，即可利用矢量格林定理求解另一种矢量场的 分布特性。
F1 ,
令
F2
F1 F2 F
下面证明
F 0
4
由于F1和F2具有相同的散度和旋度，因此，
( F ) F1 F1 0 ( F ) F1 F1 0
可见，差场δF 是一个无散、无旋场，可表示为另一个标量场 是一个无散、无旋场，可表示为另一个标量场 的梯度
本科生课程“电磁场理论”讲义
EELC2021 Electromagnetic Field Theory 电磁场理论
主讲人：刘纯亮 西安交通大学电子与信息工程学院 第1章 矢量分析（3）
1-3 格林定理和亥姆霍兹定理
2014年03月04日
标量格林定理 标量格林定理
设有两个任意标量场 这两个标量场满足如下等式
矢量场的惟一性定理 矢量场的惟一性定理
位于某一区域中的矢量 场，当其散度 、旋度以及边界上 场，当其散度、 旋度以及边界上 场量的切向 分量或法向 法向分量给定 分量给定 场量的切向分量或 后，则该区域中的矢量场被惟一 地确定。
S
F(r)
F 和 F
及
V
Ft 或 Fn
矢量场的散度和旋度代表了产生矢量场的源，惟一性定理表明，矢量场被其 源及边界条件共同决定。 边界条件共同决定。 可采用反证法证明矢量场的惟一性定理，为此，假设有两个矢量场满足惟一性 定理给定的条件，只要证明这两个矢量场相等即可。 设满足惟一性定理给定条件的两个矢量场为
F
由差场δF 的散度为零可得
2 0
标量场 满足拉普拉斯方程。 根据第一标量格林定理，并令
2

，可得
V
( )dV
2
( )dS n
V

dV
(
)dS n
（1）给定边界上矢量场的法向分量
ˆ ( ) n ˆ ( F ) n
V
3
[ A ( B )] dS ( B ) ( A) A [ ( B )] dV
V
[ B ( A)] dS ( A) ( B ) B [ ( A)] dV
V
以上两式相减，可得
( A B ) B ( A) A ( B )
可得
[ A ( B )] ( B ) ( A) A [ ( B )]
将上式在区域V内积分，并应用散度定理，可得
[ A ( B )] dS ( B ) ( A) A [ ( B )] dV
因此
F 0
矢量场的分类 矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度，可把矢量场分为如下四种类型
A 0 A 0
无散、无旋场
A 0 A 0
有散、无旋场
A 0 A 0
无散、有旋场
A 0 A 0
有散、有旋场
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（1）无散、无旋场
Green’ Green’s Theorem

和

，在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，
( )dS (2 )dV n V
式中，S为包围V的闭合曲面， 表面的外法线 如果交换
为标量场 n ˆ 方向上的方向导数。 n
S
,
V
ˆ n
在S

和
，则有
A 0
A 0
该矢量场既无标量源，又无矢量源，仅存在于局部的无源区域，例如，无电荷 区域的静电场。 （2）无散、有旋场
A 0
（3）有散、无旋场
A J
该矢量场只有矢量源，例如，恒定磁场。
A
（4）有散、有旋场
A 0
该矢量场只有标量源，例如，电荷区域的静电场。
A
A J
该矢量场同时具有标量源和矢量源，属于最一般的矢量场，例如，存在时变磁 场的导电介质中的电场。
亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理
Helmholtz’ Helmholtz’s Theorem
z V' r' O r
若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域V 中，则 当矢量场的散度和旋度给定后，该矢量场 F(r) 可 表示为
0 t
V

(
2
dV
(
)dS n
dS n
( ) dS
)dS n
根据散度定理，上式可变为
2 ( )dS ( )dV dV n V V
结果可得
2 0
V
dV 0
2
0 n
V

2
dV
(
)dS n
结果可得
V
dV 0
2
由于上式中被积函数恒大于0，只能有
F 0
结果得证。
5
（2）给定边界上矢量场的切向分量
ˆ ( ) t ˆ ( F ) t

沿边界S上的切线方向没有变化，也就是说，在S上 为常量。
2
矢量格林定理 矢量格林定理
设有两个任意矢量场A和B，在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，这两个 矢量场满足如下等式
[ A ( B )] dS ( B ) ( A) A [ ( B )] dV
V
[ B ( A)] dS ( A) ( B ) B [ ( A)] dV
以上两式相减，可得
(
)dS (2 2 )dV n n V
上式称为标量第二格林定理 ，或者，标量格林第二恒等式 标量格林第二恒等式。 。 上式称为标量第二格林定理，或者， 一方面，标量格林定理建立了区域V中的标量场与边界S上的标量场之间的关 系。因此，利用标量格林定理可以将区域V中标量场的求解问题转变为边界S上标 量场的求解问题。 另一方面，标量格林定理说明了两个标量场之间应该满足的关系。因此，如 果已知其中一个标量场的分布特性，即可利用标量格林定理求解另一种标量场的 分布特性。
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本节课结束 下一节课内容：
第1章例题讲解
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(
)dS (2 )dV n V
ˆ ( ) n n ˆ ( ) n n
以上两式称为标量第一格林定理 ，或者，标量格林第一恒等式 标量格林第一恒等式。 。 以上两式称为标量第一格林定理，或者，
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标量第一格林定理的证明
r – r'
F(r)
y
F ( r ) ( r ) A( r )
式中
x
散度源
1 ( r ) 4
A( r ) 1 4
' F ( r ') ' V ' r r ' dV
' F ( r ') ' V ' r r ' dV
F(r) (r)
根据矢量恒等式
( fA) f A A f
可得
( ) 2
将上式在区域V内积分，并应用散度定理，可得
(