计数原理精品教案

第一章计数原理

第1节两个基本计数原理

教材分析

本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.

学情分析

高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强.

目标分析

1、掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2、能准确地运用这两个原理来分析和解决一些实际问题。

3、培养归纳概括能力，提高抽象思维能力和逻辑思维能力。

教学重难点分析

教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握

教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．

教法、学法分析

教法分析：

①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.

教学过程

场景一

某人从万州到重庆，他可以坐汽车、火车和船三类交通工具。汽车每天有8个班次，火车有4个班次，船有6个班次，那么一天之内他从万州到重庆有多少种不同的方法？

问：（1）他要完成的是一件什么事？

（2）他如何完成？

(3)如何计算种数？

一、分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法。在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2

种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，则完成这件事共有

N= m1+m2+…+ mn 种不同的方法

例1、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放

有2本不同的体育杂志.

从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

场景二：

场景2：

①

②

③④⑤草地小岛房子

狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自己的房子（安全地）。

二、分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤。第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方

法， ……，第n 步有mn 种不同的方法，则完成这件事共有

N= m1×m2×… ×mn 种不同的方法

例2、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放

有2本不同的体育杂志.从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?

例3. 学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。

（1）若你只吃一样，你有多少种选择？

（2）若要配成一素一荤的套餐，可以配制出多少种不同的套餐？

（3）若要配成一素一荤一汤的套餐，可以配制出多少种不同的套餐？

分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

1、判断下列问题是分类计数还是分步计数。

⑴某学校高一年级共8个班，高二年级6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法？

⑵教学大楼共有4层，每层都有东西2个楼梯，由1层到4层共有多少种走法？

二、建构数学

在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.

探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点

设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.

探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）

探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.

不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.

探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理

探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.

探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.

若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.

设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.

探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤

探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.

探究结果：1、明确要完成什么事 2、判断分类还是分步 3、计算总方法数

（一）两个计数原理内容

1、分类计数原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.

2、分步计数原理：

完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.