一次函数教材分析

分析与解决问题涉及的是运用已 知，而发现问题与提出问题涉及的是 相关的未知。
初中数学课程
数与式
数与 代数 数学 课程
图形与 几何 统计与 概率 综合与 实践
方程与 不等式
函数
函数
八年级
一次函数
反比例函数 二次函数
九年级
对函数的 整体认识
图象语言 描述性语言 思 维 载 体 核心 知识 符号化语言
函数的表示法 某些现实问 题中变量之 间相互联系
建立 数学模型
函数
自变量的取值范围 函数的图象
平面直角坐标系
表达式：y=kx+b(k≠0)
数 学 变量思想 思 想 数形结合
函数思想 模型思想 分类讨论
再认识
一次 函数
探 究
一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程（组）
图象：一条直线
性质： k＞0 y随x的增大而增大 k＜0 y随x的增大而减小
（1） 曲线从点 A（－6，－4）至点 K（7，2）
30
函数三种表示法的优缺点：
1.图象法直观，但数量关系精确度较差；
2.列表法简单易行，有一定的直观性，精 确度高，但只能反映局部情况；
3.解析式法表示对应关系精确，便于进行 计算和数据分析，但直观性较差，而且很 多情况下不能求出函数解析式.
坐标(有序数对),(x, y)
②有公共原点
建立平面直角坐标系
象限与象限内点的符号 特殊位置点的坐标 用坐标表示位置
坐标系的应用 用坐标表示平移
自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含自变量的
代数式都有意义.
（1）使分母不为零；
（2）开平方时被开方数为非负数； （3）代数式为整式时其自变量的范围是 全体实数. (4) 符合实际问题意义
函数图象特征 曲线与 y 轴交于点 D（0，4） 曲线与 x 轴分别交于点 B（－5，0）、F （2，0）、H（6，0） 曲线经过点 E（1，2） 由左至右曲线 AC 呈上升状态 由左至右曲线 CG 呈下降状态 由左至右曲线 GK 呈____________ 曲线上的最高点是 C（－2，5） 曲线上的最低点是____________ 曲线 BCF 位于 x 轴的上方
注意：函数的三种表达形式不一定是可以互相 转化的。表示方法起源于对实际问题中表达函 数的需要；当然在研究函数性质时，函数的不 同表达方式体现出不同的价值。
28
函数的图象
例：根据图中的函数图象特征及表中的提示，说出此函数的 变化规律．此外，你还能说出此函数的哪些性质？
29
序号 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
一次函数的应用
是学习函数的终极目的，应注意培养学生在解决实际问题时建立 函数模型的意识，并掌握建立函数模型的技能.
教学目标
函数概念的建立
教学难点
函数的概念，由于它是动态的，并具有抽象性而形成教学 的难点，要善于引导学生联系身边的实际，建立变量、常 量和对应等观念，理解函数的意义.
一次函数的应用
在本章中，更重要的是培养学生能初步用函数的观点观 察分析要解决的问题，会把有关的实际问题归结为一次 函数问题.
建立 数学模型
函数
自变量的取值范围 函数的图象
平面直角坐标系
表达式：y=kx+b(k≠0)
知 识 体 系 化
一次 函数
探 究
图象：一条直线
重点
再认识
一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程（组）
性质： k＞0 y随x的增大而增大 k＜0 y随x的增大而减小
应用
本章知识结构
解析法 列表法
图象法
第十四 章 一次函数
教材分析
2019.3.8
1
史宁中教授提出数学核心素养的“三会”： 会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思 维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世 界。
2
新型中考题目的评价特点
对于学生数学能力和数学素养的评价， 不能仅仅从“会做数学”的角度进行评价， 而是从学生 有没有“会学数学”的能力和 素养进行评价．其中 特别重要的体现就是 学生能否总结出知识的内在 联系、脉络、 结构，形成整体理解，同时又能理解哪些 地方是关键, 还有对于 相关知识应用的一般 方法的掌握.
对数学思想、方法的感悟
本章主要涉及到函数与方程、数形结合、分类讨论、 特殊与一般、模型等数学思想，以及归纳、类比、抽 象、概括等探索研究问题的一般方法.
函数概念初高中比较
函 初中 数 概 念 高中
在一个变化过程中，有两个变量x和y,对于变量x的 每一个值，变量y都有唯一确定值和它对应，那么x 称为自变量，y称为因变量，y是x的函数. 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x).
例：下列各题中y是x的函数的是
(1) y (4 )
1
x y x
(2) xy 1 (5) y x 2
(3) y x
（6）三角形的面积y和底边x
易错： 1.自变量变化时，函数不变误认为不是函数关系 2.忽视函数值的唯一性 3.两个变量
19
平面直角坐标系 确定平面内点的位置
画 两 条 数 轴 ①互相垂直
函数的概念与表示
单调性 对称性
函数的 性质
周期性
奇偶性
函数
思 维 特 征
核心 方法
利用表达式 研究函数性质
基本初 等函数
利用函数图象 研究函数性质
一 次 函 数
二 次 函 数
反 比 例 函 数
三 角 函 数
幂 指 对 函 数
自 变 量
因 变 量
本章知识结构
基础
解析法 列表法
图象法
函数的表示法
某些现实问 题中变量之 间相互联系
②正比例与反比例等内容就渗透了变化的思想；
③七年级的代数式求值、探索规律等、二元一次方程 的解等知识加强了学生对量的变化的“规律意识”; ④相对前面教材，使用新教材的学生在对事物规律的 发现和探究上有明显的优势.《一次函数》一章则是 在前述基础之上第一次集中的讨论变量间的关系.
15
小学数学到中学数学
从定义上看初高中函数定义本质上一样，只是呈现方式不同。都叙述的是对 于一个确定的自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。初中主要以 文字形式叙述，高中第一章学习了集合以后，从数集之间的对应关系来叙述就 更符号化一些，也就是更抽象一些。所以初中函数学不好的同学到了高中就很 难学懂学通函数。
学生已有基础分析 ①学生在小学时已接触到观察与分析、数字推理;
24
函数的图象
描点：描出表格中数值对应的各点， 是数转化为形的过程。
连线：形成图象的过程， 图象是函数的另一种表示
25
函数的图象
研究函数图象时，列表这一活动的价值是什么？ 背后的思想是什么？列表中的自变量如何取值？需 要注意什么？ 列表：求各点坐标的过程，体现函数与代数式或方程 的关系，是动态中的静态。是函数的又一种表示方法。
算术研究具体的确定的常数以及它们 之间的数量关系； 方程研究确定的常数和未知的常数之 间的数量关系； 函数研究变量之间的数量关系.
Hale Waihona Puke Baidu
学生学习障碍分析
1. 函数概念本身的原因 从数学自身的发展过程看，变量与函数概念的引入，标志着数学由常量数 学向变量数学的迈进 ．函数概念是用“变量说”来定义的，这种定义方式有 利于学生接受的一面，也有其不足的一面 ．例如，“变量”、“对应”这些 词汇，并没有给出比较明确的定义，这就造成了学生对函数定义理解 的困 难 ．另外 ，函数概念可以用列表、图象、解析等方法来表示 ．每一种表示 形式都可以独立地表示函数概念 ．这又是一个与其它概念不同的地方 ．由于 函数概念需要同时考虑几种表示形式 ，并且要协调好各种表示之间的关系， 有时需要在各种表示之间进行转换 ．故容易造成学习上的困难． 2. 学生思维发展水平方面的原因 在函数概念的学习中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语 言与图形语言之间的灵活转换 ．但在学生的认知结构中，数与形基本上是割 裂的 ．这就要求学生的思维能在静止与连续、离散与连续之间进行转化．但 学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、 割裂的，还不善于把抽象的概念. 与具体事例联系起来，这与函数概念的运动、 变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个原因.
对函数概念的深化认识
给出不同形式的数量关系，紧扣函数定义，让学生判断它们是否为x的函数。
点P是数轴上一动点, 它所表示的实数为m, P点到坐标原点的距离为S. (1) S是m的函数吗? 为什么? (2)m是S的函数吗? 为什么?
18
对函数概念的深化认识
给出不同形式的数量关系，紧扣函数定义，让学生判断它们是否为x的函数。
P16 3 P17 提升
使 解 表 达 式 有 意 义
21
自变量的取值范围
等腰△ABC的周长为20 （1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为 自变量）； （2）写出自变量取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象。
22
函数的图象
学习函数图象的画法，一个重要的目的， 就是让学生通过画图，观察图象的特征，从而 能够利用函数的图象研究函数的性质，进而解 决实际问题。
带着学生经历分析解析式、列表、描点、连 线的整个过程，体会函数三种表示方法的相互 转化，理解各种表示方法之间的联系。
23
函数的图象
描点法画函数图象的注意问题
①先确定函数自变量的取值范围。
②列表时选值要恰当，要具有代表性。
③画出的函数图像，一般只是局部的近似图象， 描出的点越多，图象越精确．
画图前要分析自变量的取值范围对图象的影响
应用
本章知识结构
解析法 列表法
图象法
函数的表示法 某些现实问 题中变量之 间相互联系
建立 数学模型
函数
自变量的取值范围 函数的图象
平面直角坐标系
表达式：y=kx+b(k≠0)
知 识 发 展
一次 函数 静态的数学
探 究
图象：一条直线
动态的数学
再认识 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程（组）
性质： k＞0 y随x的增大而增大 k＜0 y随x的增大而减小
建议：学生每画完一个图象，都从图象特征和函 数变化规律两个方面进行描述。（画图、看图、 识图紧密结合）
易错：画函数图象时，忽略自变量的取值范围，实 点、空点、线段、射线、散点的处理。
27
函数的图象
通过画图体会函数的三种表示方法:
（1）解析法（主要用于计算和推理功能） （2）列表法（通过观察，产生猜想） （3）图象法（连续地看到函数的具体变化过程和趋 势，便于图象自身的比较、图象与图象之间的比较）
函数变化规律 自变量的取值范围是______． 当 x=______时，y=______． 当 x 的值分别为时______，y=0． 当 x=______时，y=______． 当－6≤x≤－2 时，y 随 x 的增大而______． 当______时，y 随 x 的增大而___________． 当______时 y 随____________． 当 x=______时，y 有______值，且这个值为 ____________． 当 x=______时，y 有______值，且这个值为 ____________． 当______时，y______0．
应用
2019中考要求
11
教学目标
函数的概念
教学重点
是理解并掌握一次函数（包括其他各类函数）的基础，也是 关系全局的基础知识，教学中应充分重视.
一次函数的图象和性质
是本章的核心内容，具有广泛的应用价值，学生对这部分知 识的理解和掌握程度，直接决定了他们的应用能力和灵活运 用数学知识解决问题的水平.要认真落实对一次函数的图象 和性质的教学.
3
新课标有一个变化较大的地方 就是由原来的“双基”：基础知识、 基本技能，变为了“四基”：基础 知识、基本技能、基本思想、基本 活动经验。 “四基”与数学素养：掌握数学基 础知识、训练数学基本技能、领悟 数学基本思想、积累数学基本活动 经验。
由双能变四能:
过去的“双能”指的是分析问 题与解决问题的能力，现在新课标 指的“四能”包括发现问题和提出 问题的能力、分析问题和解决问题 的能力。
列表、描点实质上是一种样本推断，用函 数中的一部分点来感知、推断图象的形状。因 此，取点并不是一定要等间距取点，这在研究 二次函数、反比例函数时，就体现出来了，在 图像变化剧烈的地方，把握不清图象走势的地 方就需要密集取点，反之就可以大间距取点。 背后体现的是归纳的思想。
26
函数的图象 通过画图体会函数表达式对函数图象形状 和位置的影响.并不是所有的函数都可以用解析 式来表示，但可以通过函数图象直观观察变化 趋势。