实数的概念及分类
实数知识点总结
实数知识点总结一、实数的定义实数是可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为两个整数之比。
二、实数的分类1. 有理数a. 整数：正整数、负整数和零。
b. 分数：可以表示为两个整数之比的数，包括有限小数和无限循环小数。
2. 无理数a. 非循环小数：无法表示为分数的小数，其小数部分无限且不重复。
b. 根号开不尽的数：如根号2、根号3等。
3. 特殊实数a. 圆周率πb. 自然对数的底数e三、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数集合在加法、减法、乘法和除法（除以非零实数）下是封闭的。
3. 完备性：任何实数序列都有极限，即任何实数序列都收敛于某个实数。
四、实数的运算1. 加法a. 同号相加，结果的符号与原数相同。
b. 异号相加，结果的符号取决于绝对值较大的数。
c. 任何实数与零相加等于原数。
2. 减法a. 减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 乘法a. 正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数。
b. 正数乘以负数得负数，负数乘以正数得负数。
c. 任何实数与零相乘等于零。
4. 除法a. 除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。
b. 零除以任何非零实数等于零。
五、实数的绝对值和倒数1. 绝对值：一个实数的绝对值是它与零之间的距离，用符号| |表示。
2. 倒数：一个非零实数的倒数是1除以这个数。
六、实数的平方和平方根1. 平方：一个实数的平方是它自身乘以自身。
2. 平方根：一个正实数的平方根是满足平方等于该实数的数。
七、实数的对数1. 对数定义：如果 \(a^x = b\)，那么 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底\(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作 \(\log b\) 或\(\log_{10} b\)。
3. 自然对数：以 \(e\) 为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。
实数的分类和表示
实数的分类和表示实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
本文将探讨实数的分类和表示方法。
一、实数的分类实数可以细分为有理数和无理数两个大类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数、分数和有限小数。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和零。
它们可以用于计数和描绘负债等概念。
（2）分数：分数由一个整数（分子）除以另一个非零整数（分母）得到。
分数可以表示一个数的部分或比例。
（3）有限小数：有限小数是有限位数的小数，可以通过有限步骤进行准确表示。
2. 无理数无理数是无法表示为两个整数的比值的数，其表示是无限不循环小数。
无理数包括无限不循环小数和无理代数数。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数在十进制表示中有无限位数，且不存在循环模式。
例如，√2、π等。
（2）无理代数数：无理代数数是无理数的一个子类，可以满足一个代数方程，但不能被有理数表示。
例如，√2是方程x²-2=0的一个解。
二、实数的表示方法实数可以用不同的表示方法来准确描述。
1. 十进制表示法十进制表示法是最常用的一种实数表示方法。
在这种表示法中，实数用整数部分、小数部分和小数点来表示。
例如，3.14、-0.25、2等都是十进制表示的实数。
2. 分数表示法分数表示法将实数表示为两个整数的比值。
这种表示方法适用于有理数。
例如，1/2、3/5等都是分数表示的实数。
3. 根式表示法根式表示法是一种表示无理数的方法，常用于表示开方根式。
例如，√2、√3、√5等都是根式表示的无理数。
4. 近似表示法近似表示法使用有限位数的小数来逼近实数的真实值。
这种方法常用于测量和实际计算中。
例如，3.14159可以近似表示π。
总结：实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两大类。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
无理数是无法表示为有理数的比值的数，包括无限不循环小数和无理代数数。
实数可以用十进制、分数、根式和近似等表示方法来准确描述。
实数教学总结知识点
实数教学总结知识点一、实数的定义和分类1. 实数的定义实数是指能用数线上的一点表示的数。
包括有理数和无理数两个部分。
有理数是指可以表示为两整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类实数分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无理数是指不能表示为有理数的数，比如π和e等。
二、实数的性质和运算1. 实数的大小比较实数之间可以通过大小关系进行比较，可以使用大小关系进行排序。
在实数范围内，大于0的数为正数，小于0的数为负数。
2. 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循交换律和结合律，满足加法逆元和减法逆元的性质。
3. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循交换律和结合律，分母不为0时可进行除法运算。
4. 实数的运算性质实数的运算满足分配律、结合律、交换律和消去律等性质。
三、实数的代数运算1. 实数的乘方和开方对于实数的乘方运算，有着指数运算的法则，例如乘方和开方的逆运算。
2. 实数的多项式运算实数的多项式运算包括加法、减法、乘法和除法等运算。
3. 实数的根式运算根式运算是对实数的开方运算，需要注意分母不为0，并且运算结果可能是有理数或无理数。
四、实数的应用1. 实数在代数方程中的应用实数在代数方程中起到了重要作用，可以通过实数的代数运算解决方程，例如一元一次方程、二元一次方程等。
2. 实数在几何中的应用实数在几何中有着广泛的应用，比如用实数表示坐标、长度、面积和体积等概念。
3. 实数在金融和经济中的应用实数在金融和经济中也有着广泛的应用，比如利息计算、货币兑换和股票投资等。
五、实数教学方法和策略1. 实数教学方法在实数教学中，老师可以采用讲解、示范、演练、实验、讨论等多种教学方法，提高学生对实数的理解和应用能力。
2. 实数教学策略在实数教学中，老师可以引导学生进行探究性学习，激发学生的学习兴趣，培养学生的实际动手能力和解决问题的能力。
六、实数教学中的注意事项1. 注重基础知识的建立实数是数学的基础，老师要注重实数的基本概念和分类，使学生能够对实数有一个清晰的认识。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的基本概念之一，在数轴上表示，包括有理数和无理数两个部分。
有理数可以表示为一个整数除以另一个非零整数的商，而无理数则表示为一个无限不循环小数或一个无穷不循环循环小数。
下面将详细介绍实数的概念及分类。
一、实数的概念实数是指可以在数轴上表示的所有数的集合。
数轴上的每一个点都对应一个实数，实数包括有理数和无理数两部分。
有理数：可以表示为两个整数的比值。
有理数集合通常用Q 表示，Q = {a/b | a, b是整数，且b≠0}。
无理数：无理数无法表示为两个整数的比值，通常可以通过无穷不循环小数来表示。
无理数集合通常用R-Q表示。
二、实数的分类1. 有理数的分类有理数可以分为整数、正整数、负整数、分数、正分数和负分数等几个分类。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和0。
整数集合通常用Z表示。
（2）正整数：正整数是大于0的整数。
（3）负整数：负整数是小于0的整数。
（4）分数：分数是可以表示为一个整数除以另一个整数的商的数，其中分母不为0。
（5）正分数：正分数是大于0的分数。
（6）负分数：负分数是小于0的分数。
2. 无理数的分类无理数可以分为无限不循环小数和无穷不循环循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限延伸，且没有循环节的小数。
例如，π、e、根号2等都是无限不循环小数。
（2）无穷不循环循环小数：无穷不循环循环小数是指小数部分有无线循环的小数。
例如，1/3 = 0.333...、1/7 = 0.142857142857...等都是无穷不循环循环小数。
三、实数的性质1. 实数的加法性质（1）交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。
（2）结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
（3）存在零元：存在一个实数0，使得任意实数a + 0 = a。
（4）存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
第1讲实数的概念
7、 3 的绝对值等于 3 ， 2 4 的平方根等于 3 ， 9
1 3 的倒数是 2
2 7 。
8. 2的相反数是 A． 1 B．
2
9. A
1 2
2
C．-2
D．2
2的相反数是（）
2
B
C -2
1 2
D 2
10、的相反数的倒数是 .
课时训练
1、把下列各数填在相应的大括号内： 5 , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, tg 300 , 1, 7
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， . 3 3 3，cos60°， 3 64 }； 3
1
；
（2） 3 －2的绝
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y=
3 ; 8; 3 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: 22 ; 3.14; 0.100110001 ; sin 300 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }； 3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· 分数集合：{ }； 有理数集合： 3-1；3 27 ；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 无理数集合：{
4、下列运算正确的是
A.
1 1 5 5
2
B. ( 2) 2
1 3 1 D. ( ) 2 8
实数知识点总结
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
实数的有关概念ppt完美版
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
4．绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的__距__离____，记作|a|，
第6行 16 23 …
第第11讲 讲┃┃实实数数的的有有间关关概概依念念 次多一个0),共有2个。
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不
循环小数是无理数．无理数有：－π，0.
解 析 第1行的第1列与第2列差个2，第2列与第3列差个3，第3列与第4列差个4，…，第6列与第7列差个7；
解 析 1亿＝108，11.2亿＝1.12×109。
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
带有计数单位的数，一般要把计数单位化去，再 用科学记数法表示。
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
探究四 创新应用题
命题角度：
1．探究数字规律；
2．探究图形与数字的变化关系．
考点聚焦
第1讲┃实数的有关概念
探究三 科学记数法
命题角度： 用科学记数法表示数．
例3 [2013·邵阳] 据邵阳市住房公积金管理会 议透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中 11.2亿元可用科学记数法表示为( B )
A．11.2×108元 B．1.12×109元 C．0.112×1010元 D．112×107元
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的一个重要的数系，包括有理数和无理数。
实数可以用于描述物理、化学等自然科学问题，也可以用于解决经济、统计等社会科学问题。
实数的概念及其分类是初中数学的基础知识，下面就此展开讨论。
一、实数概念：实数是可以直观地表示在数轴上的数，它包括有所有的有理数和无理数。
实数在数轴上按大小是有序的，两个实数之间有无穷多个实数。
二、实数的分类：1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数。
有理数包括整数、正整数、负整数、零以及分数。
有理数之间的运算有加法、减法、乘法和除法等。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比的数，即不能写成分数形式的数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分有无穷无尽的数字，并且没有循环节。
如开不尽的根号2、根号3等。
（2）无限循环小数：无限循环小数是指小数部分有一段数字不断循环出现。
如1/3=0.3333...、22/7=3.142857142857...等。
3. 整数：整数包括正整数、负整数和零。
整数是有理数的一种特殊类型。
4. 正数和负数：正数是大于零的数，负数是小于零的数。
正数和负数都是有理数的一种特殊类型。
5. 零：零是整数中既不是正数也不是负数的数。
零是有理数及整数的一种特殊类型。
6. 小数：小数是没有到达个位的十进制数，它包括有理数中的所有小数和无理数中的无限不循环小数。
三、实数的性质：1. 有理数和无理数共同构成了实数集合，任意两个实数之间存在着无穷多个实数。
2. 实数在数轴上是有序的，可以比较大小。
对于任意的两个实数a和b，必定有且仅有下面三种关系之一：a=b、a>b或a<b。
3. 实数之间满足加法、减法、乘法和除法的运算规则。
实数运算遵循整数和有理数的运算规律。
4. 实数也具有传递性、互补性、逆元性、等式性、分配率等基本性质。
综上所述，实数是数学中的一个重要概念，包括了有理数和无理数，可以用来描述各种自然科学和社会科学问题。
实数的知识点
实数是数学中的一种基本概念，它包括有理数和无理数。
实数的概念在数学中具有重要的地位，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、实数的性质、实数的分类以及实数的应用等方面逐步展开。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的一个数系。
从直观上来理解，实数是包括所有可能的数值，无论是整数、分数还是无理数，都被认为是实数。
实数集通常用符号R表示，其中R代表实数的意思。
实数包括有理数和无理数两个部分。
二、实数的性质 1. 实数的有序性：实数集中的任意两个数都可以进行比较大小。
这是实数集的一个重要性质，它使得我们可以进行数字的排序和比较大小操作。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，总是可以找到另外一个实数。
这个性质说明实数集中没有任何空隙，每个数都可以用一个区间包围住。
3. 实数的完备性：实数集中的每个非空有上界的子集都有上确界。
这个性质保证了我们能够对实数进行精确的计算和推理。
三、实数的分类实数可以进一步分为有理数和无理数两个部分。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。
2. 无理数：无理数是无法表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
无理数不能用分数的形式表示，例如π和√2等。
四、实数的应用实数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用领域：1. 几何学：实数被广泛应用于几何学中，用于描述线段的长度、角的度量等。
2.物理学：实数用于描述物理量的大小和关系，例如时间、质量、速度等。
3. 统计学：实数被用于统计学中，用于描述数据的分布、平均值、方差等。
4. 金融学：实数用于描述金融市场中的价格、收益率等。
5. 计算机科学：实数在计算机科学中被广泛使用，用于表示计算机程序中的浮点数和精确计算。
总结：实数是数学中的一个基本概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数具有有序性、稠密性和完备性等性质，这些性质使得实数集在数学中具有重要的地位。
实数的概念与分类
实数的概念与分类在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它贯穿了从基础数学到高等数学的各个领域。
要理解实数，首先得清楚它的定义和分类。
实数，简单来说，就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数，比如－3、0、5 等等；还有分数，比如 1/2、－3/4 等等，这些都属于有理数的范畴。
有理数可以表示为两个整数的比值。
那什么是无理数呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数e 了。
还有像根号2 、根号 3 这样开方开不尽的数，也是无理数。
我们先来仔细看看有理数。
整数很好理解，就是像－2、－1、0、1、2 这样的数，它们没有小数部分。
而分数呢，比如 1/2 ，它表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。
有理数在我们的日常生活中应用非常广泛。
比如去买东西算价格，或者计算路程和时间的关系等等，很多时候用到的都是有理数。
接下来谈谈无理数。
以根号 2 为例，它的值约等于 141421356 是一个无限不循环小数。
为什么说它是无限不循环的呢？假设我们去计算根号 2 的小数部分，如果一直计算下去，是找不到任何规律的，不会像 1/3 等于 03333 这样循环。
无理数的发现其实还有一段有趣的历史。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是有理数。
但是后来他们的一个成员发现了根号2 不能表示为有理数，这在当时引起了巨大的震动。
实数的分类除了按照有理数和无理数来分，还可以从正负的角度来看。
正实数，就是大于 0 的实数，比如 2、35、π 等等。
负实数则是小于 0 的实数，像－1、－25 等等。
0 既不是正实数，也不是负实数。
在数轴上，实数与点是一一对应的。
也就是说，每一个实数都能在数轴上找到一个唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
这种一一对应的关系非常重要，它帮助我们更好地理解实数的连续性和稠密性。
第1课时实数的有关概念
第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。
实数基础知识点
实数基础知识点实数是数学中一个非常重要的概念。
它是数轴上所有的有理数和无理数的集合，包括正数、负数以及零。
在数学中，实数用R来表示。
接下来，我们将逐步介绍实数的一些基础知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
1.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
它包括正整数、负整数、零，以及所有可以表示为两个整数的比值的分数。
例如，1、-5、0、1/2等都属于有理数。
2.无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
它包括无限不循环小数，如根号2、π等。
无理数的小数表示是无限不循环的，例如根号2≈1.4142135…，π≈3.1415926…等。
二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们来逐一介绍。
1.加法：实数的加法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2.减法：实数的减法是加法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b，有a - b = a + (-b)。
3.乘法：实数的乘法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a * b = b * a和(a * b) * c = a * (b * c)。
4.除法：实数的除法是乘法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b（其中b≠0），有a / b = a * (1 / b)。
三、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和连续性。
1.有序性：实数可以进行大小比较。
对于任意的实数a和b，有a < b、a = b或者a > b。
这是实数的一个重要性质，它使得我们可以对实数进行排序。
2.稠密性：实数是稠密的，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着其他的实数。
这意味着在数轴上，任意两个实数之间都可以找到一个实数。
3.连续性：实数具有连续性，即在数轴上不存在间隙。
任意两个实数之间都存在着无限个实数。
这个性质对于实数的运算和分析非常重要。
1、实数的概念
A．－4 C．0
图1－1
B．－2
D．4
探究二 实数的有关概念 命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念； 2．绝对值的概念及计算．
例2 填空题： (1)相反数等于它本身的数是____0____． (2)倒数等于它本身的数是___±__1___． (3)平方等于它本身的数是___0_或__1__． (4)平方根等于它本身的数是____0____． (5)绝对值等于它本身的数是__非__负__数__．
A．＋2
B．－3
C．＋3
D．＋4
[解析] 根据题意，最接近标准的数就是绝对值最小的那个 数，选A.
9．[2011·遵义]某种生物细胞的直径约为 0.00056m，将 0.00056
用科学记数法表示为( B ) A．0.56×10－3
B. 5.6×10－4
C. 5.6×10－5
D. 56×10－5
[解析]将一个比较小的数表示成a×10p的形式，其中1≤|a|<10， p为整数，确定p的方法是第一个有效数字前有多个零，p就等于 多少．
[注意]
(1)任何分数都是有理数，如272，－131等． (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． (3)常见的几种无理数：
①根号型： 2，3 4等开方开不尽的； ②三角函数型：sin60°，tan30°等；
π ③与π有关的： 3 ，π－1 等； ④构造型：1.323223222…(每两个 3 之间依次多一个 2)等．
若a、b互为相反数，则有a ＋b＝0，
|a|＝|b|.0的相反数是0
__乘__积____为1的两个数互为 0没有倒数，倒数等于本身
倒数
实数知识点大全总结
实数知识点大全总结实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
实数包括正数、负数、零、有理数、无理数等各种类型的数。
实数有着丰富的数学性质和运算规律，在数学和其他学科中都有广泛的应用。
1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用分数表示的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数具有分数形式和小数形式两种表达方式，例如3/4和0.75都是有理数。
无理数是不能用分数表示的数，或者说是无限不循环小数的数。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数，例如π和√2都是无理数。
2. 实数的运算实数可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法、除法等。
实数的运算遵循一定的性质和规律。
加法和减法：实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律，即a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a*(b+c)=a*b+a*c。
加法的逆元是减法，即a+(-a)=0。
乘法和除法：实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，a*(b*c)=(a*b)*c，a/(b*c)=(a/b)/c。
乘法的逆元是除法，即a*(1/a)=1。
3. 有理数的性质有理数具有以下性质：a) 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和、积仍然是有理数。
b) 有理数的序关系：任意两个有理数可以比较大小，成立大小关系。
c) 有理数的密集性：在任意两个有理数之间，都可以找到另一个有理数。
d) 有理数的稠密性：在有理数的任何两个不同的数之间总存在无数个有理数。
4. 无理数的性质无理数具有以下性质：a) 无理数的加法和乘法封闭性：两个无理数的和、积仍然是无理数。
b) 无理数的密度性：在任意两个无理数之间，总存在另一个无理数。
c) 无理数的非周期性：无理数小数部分是无限不循环小数。
d) 无理数的无限性：无理数是无限不可数的。
5. 实数的绝对值实数a的绝对值记作|a|，定义为：a≥0时，|a|=a；a<0时，|a|=-a。
数学实数知识点
数学实数知识点数学实数知识点实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0.(若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)【知识点一】实数的分类1、按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值|a|≥0.3.倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.a(a≥0)的平方根记作.(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零.【知识点三】实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可.【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小.3.无理数的比较大小：【知识点五】实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加，仍得这个数.2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数有奇数个时，积为负.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方;正数、负数和0都可以开立方.(3)零指数与负指数【知识点六】有效数字和科学记数法1.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字.2.科学记数法：把一个数用(1≤<10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法.1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
实数知识点总结归纳
实数知识点总结归纳一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数。
无理数是无限不循环小数，如π、√2 等。
有理数和无理数的区别在于能否表示为两个整数的比值。
有理数可以表示为分数形式，而无理数则不能。
实数可以用数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
二、实数的分类1、按定义分类（1）有理数：有限小数或无限循环小数。
（2）无理数：无限不循环小数。
2、按正负分类（1）正实数：包括正有理数和正无理数。
（2）零：既不是正数也不是负数。
（3）负实数：包括负有理数和负无理数。
三、实数的运算1、加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同 0 相加，仍得这个数。
2、减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数与 0 相乘都得 0。
4、除法（1）除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。
（2）0 除以任何一个不为 0 的数都得 0。
5、乘方求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
6、实数的运算顺序先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。
四、实数的性质1、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
实数 a 的相反数是 a，0的相反数是 0。
2、绝对值数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。
3、倒数乘积为 1 的两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a，0 没有倒数。
五、平方根与立方根1、平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
实数章节知识点总结
实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。
（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。
无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。
3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。
二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。
（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。
（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。
3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。
初二数学《实数》知识点
初二数学《实数》知识点初二数学《实数》知识点一、实数的概念实数是由有理数和无理数组成的无限小数。
实数可以分类为正实数、负实数和零。
正实数包括正整数、正小数和正分数；负实数包括负整数、负小数和负分数；零是实数的特殊形式，既不是正实数也不是负实数。
二、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除和乘方。
运算时，先算乘方再算乘除，最后算加减。
当一个算式中含有多种运算时，应先算乘除后算加减。
乘方的计算规则是底数不变，指数相乘。
三、实数的性质1、有序数对可以确定一个点在数轴上的位置，反过来，一个点在数轴上的位置也可以用有序数对表示。
2、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
3、任意一个数除以一个正数，得正实数；除以一个负数，得负实数；除以零，得零。
4、有理数和无理数的乘积都是有理数。
5、两个正实数的积是正实数；两个负实数的积是负实数；正实数和零的积是零；负实数和零的积是零。
6、两个正实数的商的符号取决于它们的绝对值，两个负实数的商的符号取决于它们的绝对值的商的符号。
7、任何一个有理数都可以表示为一个分数形式的有理数，其中分子为该数的整数部分，分母为1。
四、实数的应用实数在实际生活中有着广泛的应用，例如长度、面积、体积、质量等计量单位都是由实数表示的。
此外，实数还应用于科学、工程、经济等领域，如物理学中的速度、加速度等概念，化学中的摩尔质量、溶液浓度等概念，以及经济学中的成本、收益等概念都需要用到实数的知识。
总之，初二数学《实数》知识点是数学学习中的一个重要内容，对于学生掌握数学基础知识和提高数学应用能力都具有重要意义。
在学习过程中，学生应该认真掌握实数的概念、运算和性质，并学会将所学知识应用到实际生活中去。
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。
有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。
实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。
实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78- 无限循环小数：1.333...、2.71828...除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如：- 分数形式：1/2、3/4、5/7实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。
二、实数的分类根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。
实数可以分为有理数和无理数。
1. 有理数有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。
有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。
整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。
整数之间的运算遵循基本的数学规则。
分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。
分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或小数的形式精确表示。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。
三、实数的基本运算实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将依次介绍这些运算。
1. 加法实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。
加法运算遵循交换律和结合律。
例如，将实数-2和实数3相加，得到：-2 + 3 = 12. 减法实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，求得它们的差。
减法运算不满足交换律，但满足结合律。
例如，将实数5减去实数2，得到：5 - 2 = 33. 乘法实数的乘法运算是指将两个实数相乘，求得它们的积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
3
π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o 等 平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a
注意a 的双重非负性：
a ≥0
3、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>-
,0b a b a =⇔=-
b a b a <⇔<-0
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b
a b a b a b a b a
<⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>2
2。
实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律 a b b a +=+
加法结合律 )()(c b a c b a ++=++
乘法交换律 ba ab =
乘法结合律 )()(bc a c ab =
乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(。