九年级第五届“睿达杯”初中数学能力竞赛一试试卷

a b c t ，则一次函数 y tx t 2 的图象必定经过的象限是（ ▲ ） bc ca ab
B．第一、二、三象限 D．第三、四象限
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A．第一、二象限 C．第二、三、四象限
7．如图，平行四边形 ABCD 的面积为 1，点 E、F 分别是边 AB、BC 的 中点，连 AF、CE 交于点 G，则四边形 AGCD 的面积 S四边形AGCD 等
第一试
考试时间 120 分钟
满分 120 分
【未经组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转 载．本卷复印无效． 】 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案） 1．设 x0 是方程
1 x x 0 的一个不为 1 的根，则（ ▲ ） 2
x 3 y 3 38 17． （本题共 6 分）已知实数 x、y 满足条件 求 xy 与 x 2 y 2 的值． ， x y 2
已知立方和与立方差公式如下：
a 3 b 3 (a b )( a 2 ab b 2 ) ， a 3 b 3 (a b )( a 2 ab b 2 ) ．
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(第 3 题)
4． 已知 α、 β 是方程 x2－x－3=0 的两个实数根， 则 α4+7β 的值为 （ ▲ A．17 B．19 C．21 D．23
5．如图，C、D 是线段 AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为 29，则 AB 可 以取的值是（ ▲ ） A A．7 6．若 B．9 C C．11 D B D．13
A
D F
C
G B
E
于（ A．
▲ ） B．
(第 7 题)
5 6
4 5
C．
3 4
D．
2 3
8．设∠β 是 Rt△ABC 的一个锐角，关于∠β 的有关结论不正确的是（ ▲ ） A． sin cos 1
2 2
B． sin cos 1 D． sin = cos tan
此类推，则 a2013
▲
．
12．如图，若将正方形分成 k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干 个，则 k 的值为 ▲ ． ▲ ．
(第 12 题)
13． 已知实数 a、 b 满足 a 2 -ab+b 2 1, 且t a 2 +ab+b 2 ， 那么 t 的取值范围是
14．设 a、b、c 分别是△ABC 的三边的长，且 b 2 a 2 ac ，则它的两个内角∠A、∠B 的数量关 系是 ▲ ．
18． （本题共 10 分） 对于二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0） ，如果当 x 取任意整数时，函数值 y 都是整数， 那么我们该把函数的图象叫做整点抛物线．请求出整点抛物线 y=ax²+bx+c（a≠0）的二次项系数 a 的绝对值最小值．
A
19． （本题共 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 E 在 AC 上（点 E 与 A、C 都不重合） ，点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A，B 都不重合） ．试问：是否存在直线 EF 将 Rt△ABC 的周长和面积同时平 分，若存在，求出 AE 的长，若不存在，说明理由．
B．5 种
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．a 是不为 1 的有理数，我们把 1 称为 a 的差倒数 ．如：2 的差倒数是 1 1 ， 1 的差倒数 ．．． 1 a 1 2 是
1 1 1 ．已知 a1 ， a2 是 a1 的差倒数， a3 是 a2 的差倒数， a4 是 a3 的差倒数，…，依 3 1 (1) 2
C．cosβ 随着∠β 的增大而增大 9．设 A＝ 48 ( A．22
1 1 1 2 ) ，则与 A 最接近的正整数为（ ▲ ） 3 4 4 4 2014 2 4
2
B．23
C．24
D．25
10．某校组织志愿者在节假日为社会做公益活动，学生和教师共 150 人积极参加．现在将 150 人一 起在台阶上拍照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3） ，且要求各行的人 数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上 述要求的排法的方案有（ A．3 种 ▲ ） C．7 种 D ．9 种
15 ．已知 m 、 n 分别为抛物线 y ＝ (x － p)(x － p － q) － 2 与 x 轴两个交点的横坐标， m<n ，则
m p p n 的值为
▲
．
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16．在等腰△ABC 中，已知 AB=AC，∠A=36°，则 sin18°=
▲
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分）
第五届“睿达杯”初中生数学能力竞赛试题卷（B 卷）Fra bibliotek九年级
考生须知：
1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效． 2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破． 3．答题前，在答题纸左侧考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息． 4．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用 2B 铅笔．
(第 19 题)
A
F E B C
20． （本题共 10 分）已知△ABC 的面积为 1，点 G 是重心，线段 AB、 BC 的中点分别是 D、E，连接 DE 交 BG 于点 F，求△DFG 的面积 S△DFG．
B
D F
G
E
C
(第 20 题)
21． （本题共 14 分）已知二次函数 y ax 2 bx c （a≠0）的图象 G 和 x 轴有且只有一个交点 A， 与 y 轴的交点为 B（0，4） ，且 ac b ． (1)将一次函数 y= 3 x 的图象作适当平移，使它经过点 A，记所得的图象为 L，图象 L 与 G 的 另一个交点为 C，求△ABC 的面积． (2) 在图象 G 上是否存在点 E，使△ACE 为直角三角形，如存在，直接写出 E 点的坐标；如不 存在，请说明理由．
2 B． x0 >2 x0 > x0 2 C． x0 > x0 >2 x0 2 D ．2 x 0 > x 0 > x0
2 A． x0 >2 x0 > x0
2．如图，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴的正半轴上，C(2，1)，D(1，1)．反比例 函数 y=
y D O A F E B C x
k 的图像与边 BC 交于点 E，与边 CD 交于点 F．已知 BE:CE=3:1，则 x
▲ ） B．3:1
2
DF:FC 等于（ A．4:1
C．2:1
D．1:1
(第 2 题)
3．已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示， 令 M 4a 2b c a b c 2a b 2a b ，则（ ▲ ） A．M>0 B．M<0 C．M=0 D．M 的符号不能确定 ）