第九章 扭转
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工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学第九章 扭转
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
max
Tmax WP
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从 P=3动=802轮G221P、akW。3分，试别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
16T1
3
16 2819 3.14 70 106
0.059m 59mm
同理
d2 3
16T2
3
16 4238 3.14 70 106
0.068m 68mm
若两段采用同一直径，则取 d 68mm
工程力学第9章(扭转)
例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
第九章扭转变形详解
第九章扭转§9-1 引言工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）变形特点：M eM e 工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶M e扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩Ⅰ、传动轴的外力偶矩传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩M e 。
已知：求：传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系：)(n P 0247M e m N ⋅=(P —马力)M eM e A B min)/()(9549r n kW P M e =ωM P =ωPM =Ⅱ、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
eM T =11利用截面法来确定.扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。
e M T =11T T M eM e A B11BM e AM e 11x M e T 图+x T例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min；主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150kW，P3= 150kW，P4= 200kW。
试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN 9.15m N )3005009549(1⋅=⋅×=M mkN 78.4m N )3001509549(32⋅=⋅×==M M mkN 37.6m N )3002009549(4⋅=⋅×=M 解：221133M 1M 2M 3M 4ABCD分别计算各段的扭矩mkN 78.421⋅−=−=M T mkN 37.643⋅==M T 221133M 1M 2M 3M 4A B CDT 111xM 2AT 2AM 2BM 322xT 333DM 4x2239.56kN mT M M =−−=−⋅扭矩图T max = 9.56 kN·m在CA 段内M 1M 2M 3M 4ABCD 4.789.566.37T 图(kN·m)一、扭转试验与假设：§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均变成平行四边形。
弹性力学-第九章 等截面直杆的扭转
x
z
M
L
o
M
y
u = −α yz , v = α xz
图9.1
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ ∂ψ τ zx = α G ( ∂x − y ), τ zy = α G ( ∂y + x) σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∇ 2ψ = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
在A中， 在c上
∫
∂ψ τ zx dA = α G ( − y )dA ∂x A A
Hale Waihona Puke ∫∂ = αG∫ ∂x A
∂ψ ∂ ∂ψ x ∂x − y + ∂y x ∂y + x dA
∂ψ n + ∂ψ + x n ds = 0 = α G∫ x − y 1 2 ∂x ∂y c
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.2 扭转问题的应力解法
§9.2 扭转问题的应力解法
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
w = αψ ( x, y )
∂ψ ∂ψ ( − y )n1 + ( + x)n2 = 0 ∂x ∂y
∂ψ ∂ψ ∂ψ = n1 + n2 ∂n ∂x ∂y
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ = yn1 − xn2 ∂n
z
M
L
o
M
y
u = −α yz , v = α xz
图9.1
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ ∂ψ τ zx = α G ( ∂x − y ), τ zy = α G ( ∂y + x) σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∇ 2ψ = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
在A中， 在c上
∫
∂ψ τ zx dA = α G ( − y )dA ∂x A A
Hale Waihona Puke ∫∂ = αG∫ ∂x A
∂ψ ∂ ∂ψ x ∂x − y + ∂y x ∂y + x dA
∂ψ n + ∂ψ + x n ds = 0 = α G∫ x − y 1 2 ∂x ∂y c
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.2 扭转问题的应力解法
§9.2 扭转问题的应力解法
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
w = αψ ( x, y )
∂ψ ∂ψ ( − y )n1 + ( + x)n2 = 0 ∂x ∂y
∂ψ ∂ψ ∂ψ = n1 + n2 ∂n ∂x ∂y
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ = yn1 − xn2 ∂n
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
[精品]结构力学第九章薄壁杆件扭转
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§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其 他约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束 扭转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是 不相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改 变，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外， 还有因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截 面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴 随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截 面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形 成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上 的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可 见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
求扭转惯性矩及 剪流
300
400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄 壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f） 两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室 （图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。 薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。 如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并 不受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就 称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横 截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横 截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的 直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上 没有正应力而只有扭转引起的剪应力。
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
材料力学-第9章 扭转
Pk
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
09扭转(阅读版)教程
力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )
相对转角表达式及切应力表达式
1、变形几何关系
m
变形前
变形后
R A
O
dx
E
E
O1
γ
γ
B B
d
BB γ d x BB R d γd x R d
C
§9.2
动力传递与扭矩
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
设某传动轴,其传递的功率为P千瓦(kW),转速为n转／分（r／min）,
1秒内输入的功 力偶矩m的功
W P t P 1000 1 1000 P( N m)
则：
n mnπ W m m 2π ( N m) 60 30 W W
P m 9549 n
P m 7024 n
P ( N m) 9.55 n
P ( N m ) 7.02 n
(kN m)
若已知外力偶传递的功率为P马力（PS）,转速为n转／分（r／min）， 则
( kN m )
运用上二式时，应特别注意各量的单位。
二、扭矩与扭矩图 1、扭矩
dx
dy
a
d c
b
C、切应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的 变形相同，同一圆周线上各点的 R0相同，故可认为切应力沿圆周 线处处相等。 （2）又因壁厚很薄，又可近似 的认为沿壁厚方向均匀分布。 因此认为切应力在横截面均匀分布 横截面上内力系对O点的力矩为：
2 π R 0 R 0 2 π R 02
China University of Mining & Technology
工力第9章-扭转力
扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
单辉祖:工程力学(材料力学) 6
§2 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩的关系
扭矩与扭矩图
例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
7
功率、转速与扭力偶矩的关系
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）
M A ml
T M A mx Tmax ml
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
单辉祖:工程力学(材料力学) 10
例 题
例 9-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
M
M
x
0
0
T1 M A 0
单辉祖:工程力学(材料力学)
35
解：在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等 于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应 变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（C）。
单辉祖:工程力学(材料力学)
36
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形
圆轴扭转刚度条件
解：1. 扭矩分析
单辉祖:工程力学(材料力学) 31
2. 强度校核
危险截面： 截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] A 2 2 2πR0 1 2πR0 1
ml TB B 22 27.9 MPa [ ] 2 2πR0 2 2πR0 2
圆轴扭转刚度条件
单位长度的扭转角
d T dx GIp
单辉祖:工程力学(材料力学) 6
§2 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩的关系
扭矩与扭矩图
例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
7
功率、转速与扭力偶矩的关系
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）
M A ml
T M A mx Tmax ml
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
单辉祖:工程力学(材料力学) 10
例 题
例 9-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
M
M
x
0
0
T1 M A 0
单辉祖:工程力学(材料力学)
35
解：在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等 于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应 变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（C）。
单辉祖:工程力学(材料力学)
36
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形
圆轴扭转刚度条件
解：1. 扭矩分析
单辉祖:工程力学(材料力学) 31
2. 强度校核
危险截面： 截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] A 2 2 2πR0 1 2πR0 1
ml TB B 22 27.9 MPa [ ] 2 2πR0 2 2πR0 2
圆轴扭转刚度条件
单位长度的扭转角
d T dx GIp
工程力学第九章圆柱扭转
x
73.4MPa
从以上计算结果看出：最大切应力发生在扭矩较小的
BC段。由于max=73.4MPa＞[ ]，所以轴AC的强度不够。
第九章
圆轴的扭转
由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D＝90mm，壁厚 t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[ ] =60MPa，工作时最大 外扭矩Mn＝1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。
扭矩。
MA 一传动系统的主轴ABC，其转 速n=960r/min，输入功率 PA=27.5kW，输出功率PB=20kW， PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率 消耗。试作ABC轴的扭矩图。 解 1)计算外力偶矩。由式(9-1)得
MB 第九章
MC 圆轴的扭转
A
B
C
PA 27.5 M A 9550 9550 N m 274 N m n 960 PB 20 M B 9550 9550 N m 199 N m n 960 PC 7.5 M C 9550 9550 N m 75N m n 960
O
M
Mn O
A
max
=K 。
第九章
Mn 圆轴的扭转 O
=K
扭转切应力的计算如图，圆轴横截面上微 面积dA上的微内力为dA ，对截面中心O的力 矩为dA· 。 整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面 上的扭矩Mn，则有 （9-2）
A
max dA
Mn dA O
M n dA K 2dA
故AB轴满足强度要求 。
第九章
圆轴的扭转
已知：D＝90mm，t=2.5mm， [ ] =60MPa，Mn=1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。 2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则
弹性力学 第九章等截面直杆的扭转
llxxyzzzmmyx yyz
fx（n其zy它自f然y 满足） fy n z fz
在杆端 fx , fy 必须合成力偶，要求：
fxdxdy 0
oM
x
(a)
xy
fx
fydxdy 0
(b)
yfx xfy dxdy M (c)
y
fy
（a）式积分：
fxdxdy zxdxdy
y
l( xz )s m( yz )s 0
yz
GK ( y
x)
, zx
GK ( x
y)
l m yl xm x y
杆端的边界条件: (以上端为例)
l m 0, n 1
oM x
l x m yx n zx fx
y
l xy m y n zy f y
M
l xz m yz n z fz
o
y
dx
ds
dy
x N
N
即： d 0 在杆外侧是常量
ds
令： s 0 （应力函数在杆外侧面为零）
xz
y
,
yz
x
增加或减少一个常
数对应力没有影响
多连域： e 0 i const
s
s
②杆端: (以上端为例)
oM x
l m 0, n 1
y
M
力边界条件：
z
l x m yx n zx fx
s= 0
= Ñ (xl ym)ds 2dxdy
= 2dxdy
(c)
2 dxdy M
❖ 多连体：
fx
zx
y
fy
zy
x
A
M yfx xfy dxdy
第九章扭转杆件的强度与刚度计算
max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业： 9-1； 9-2； 9-7； 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3．计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp)，这是单位长度的扭转角，相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和
B，B和C）的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
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§9 圆轴扭转的力学模型
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
外力偶
扭矩的符号规定：
T
M0
正
M0 T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
32
画扭矩图：
AB段： 10kN m
T 10kN m
10kN m 10kN m
o A
T / kN m
10
B
20kN m
20
C
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W 60N1000 60000N
W m m 2n 1 2nm
W W'
N m 9550 n
Nm
单位
二、功率、转速和外力偶矩之间的关系
工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的， 而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下
推断结论：
横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直。
受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、 且作用面垂直于杆件轴线的力偶。 变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对 转动的变形。这种变形称为扭转。 扭转时杆件两个横截面相对转动 的角度称为扭转角--
630
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输 出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速 n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。
M 解： 36 1146 N .m A 300 11 M B M C 9549 350 N .m 300 14 M D 9549 446 N .m 300 9549
2.18 A D
AD段
最大扭矩在AB段，且
T图
1.64 3.28
T 3280 N m
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
315
2．截面法求各段扭矩
T1
315
315
T2 T3
486
M 0 T 315 0 T 315 M 0 T 315 315 0 T 630
x 1 1 x 2 2
T1 M B 350N.m
T2 (M B M C ) 700 N m
446
T3 M D 446
T
截面一侧
M
T (kN m)
350 700
从最外母线看，外力偶切线方向与 扭矩图从左到右突变方向相同。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭
以扭转为主的杆件通常称为轴。 截面形状为圆形的轴称为圆轴。 本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
2、按输入功率和转速计算
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶每秒作功完成：
W m 2 n 60
m 60000
扭矩正负规定
右手四指与扭矩转向一致，
拇指指向截面外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
右手螺旋法则
扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0 T m
3 扭矩的符号规定：
m
m
m
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让
离开截面
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
4、扭矩图
扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示
例 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、 30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
P P 9549 [N m] 2 n n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
P[马力] m 7024 [N m] n[r / min]
外力偶矩的计算
力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 35 n 700
M
x
0 T3 486 0 T3 486
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
486 T
315 （—） （+）
（kN.m）
建立T－x坐标系，其中x轴平行于圆轴 的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得 的各段的扭矩值，标在Tx－x坐标系中，得 x 到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即 得到所需要的扭矩图。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
m
Mn
M
X
0
Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 指向截面
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
B
C
D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
20
C
x
5kN
向
5kN
T / kN m
+
3kN
10
C B 在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 34
FN 图
-
5kN
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
x
Mn1
M
Mn2
X
0
mc
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所 有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
外力偶
扭矩的符号规定：
T
M0
正
M0 T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
32
画扭矩图：
AB段： 10kN m
T 10kN m
10kN m 10kN m
o A
T / kN m
10
B
20kN m
20
C
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W 60N1000 60000N
W m m 2n 1 2nm
W W'
N m 9550 n
Nm
单位
二、功率、转速和外力偶矩之间的关系
工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的， 而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下
推断结论：
横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直。
受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、 且作用面垂直于杆件轴线的力偶。 变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对 转动的变形。这种变形称为扭转。 扭转时杆件两个横截面相对转动 的角度称为扭转角--
630
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输 出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速 n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。
M 解： 36 1146 N .m A 300 11 M B M C 9549 350 N .m 300 14 M D 9549 446 N .m 300 9549
2.18 A D
AD段
最大扭矩在AB段，且
T图
1.64 3.28
T 3280 N m
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
315
2．截面法求各段扭矩
T1
315
315
T2 T3
486
M 0 T 315 0 T 315 M 0 T 315 315 0 T 630
x 1 1 x 2 2
T1 M B 350N.m
T2 (M B M C ) 700 N m
446
T3 M D 446
T
截面一侧
M
T (kN m)
350 700
从最外母线看，外力偶切线方向与 扭矩图从左到右突变方向相同。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭
以扭转为主的杆件通常称为轴。 截面形状为圆形的轴称为圆轴。 本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
2、按输入功率和转速计算
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶每秒作功完成：
W m 2 n 60
m 60000
扭矩正负规定
右手四指与扭矩转向一致，
拇指指向截面外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
右手螺旋法则
扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0 T m
3 扭矩的符号规定：
m
m
m
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让
离开截面
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
4、扭矩图
扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示
例 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、 30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
P P 9549 [N m] 2 n n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
P[马力] m 7024 [N m] n[r / min]
外力偶矩的计算
力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 35 n 700
M
x
0 T3 486 0 T3 486
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
486 T
315 （—） （+）
（kN.m）
建立T－x坐标系，其中x轴平行于圆轴 的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得 的各段的扭矩值，标在Tx－x坐标系中，得 x 到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即 得到所需要的扭矩图。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
m
Mn
M
X
0
Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 指向截面
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
B
C
D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
20
C
x
5kN
向
5kN
T / kN m
+
3kN
10
C B 在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 34
FN 图
-
5kN
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
x
Mn1
M
Mn2
X
0
mc
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所 有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。