第4课时 因式分解
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考点管理 归类探究 易错警Leabharlann Baidu 课时作业
第4课时 因式分解
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考点管理
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考点管理 归类探究 易错警示 课时作业
1．一个多项式所有的各项都含有的公共的因式，叫做这个 多项式各项的公因式．公因式应满足：系数是各项系数 的最大公约数，字母取各项相同的字母且相同字母的最 低次数．
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2．[2013·泰州]若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值 是__1__．
【解析】 ∵m＝2n＋1，即m－2n＝1， ∴原式＝(m－2n)2＝1.故答案为1. 【点悟】 两数的和，差，平方和，平方差，积都与 乘法公式有联系，此类问题要先因式分解，通过整体代入 法进行求值．
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()
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【错因】 A．错在提公因式时括号里少了“＋1”项； C.等式右边是和的形式，不是积的形式；D.第二项没有公 因式a，不能提取公因式a.
2．因式分解的一般步骤：若有公因式，先__提__公__因__式___； 若无公因式，则考虑__平__方__差__公__式___或完全平方公式分 解，直到不能分解为止．
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1．[2012·丽水]分解因式：x2－2x＝___x_(_x_－__2_)__． 2．[2013·江西]分解因式x2－4＝__(_x_＋__2_)_(_x_－__2_) __． 3．[2013·苏州]因式分解：a2＋2a＋1＝___(_a_＋__1_)2__． 4．[2013·莱芜]分解因式：2m3－8m＝__2_m__(m__＋__2_)_(m__－__2_)__． 5．[2013·安顺]分解因式：2a3－8a2＋8a＝___2_a_(_a_－__2_)2___． 6．[2013·郴州]已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2＝___1_2__．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为 止．
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1．[2013·温州]因式分解：m2－5m＝__m_(_m__－__5_) _． 2．[2013·邵阳]因式分解：x2－9y2＝__(_x_＋__3_y_)_(x_－__3_y_)__． 3．[2013·长沙]因式分解：x2＋2x＋1＝___(_x_＋__1_)_2 __． 4．[2013·菏泽]分解因式：3a2－12ab＋12b2＝__3_(_a_－__2_b_)2__．
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归类探究
类型之一 因式分解 [2013·恩施]把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是 (C)
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2 【解析】 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行 二次分解．x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2. 故选C.
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类型之三 因式分解的开放创新题 [2010·龙岩]给出三个单项式：a2，b2，2ab.
(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式 分解；
(2)当a＝2 014，b＝2 013时，求代数式a2＋b2－2ab的 值．
【解析】 用乘法公式或提公因式法进行分解． 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)； b2－a2＝(b＋a)(b－a)； a2－2ab＝a(a－2b)；
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易错警示
“因式分解”病毒防护 [2013·南昌]下列因式分解正确的是 A．x2－xy＋x＝x(x－y) B．a3－2a2b＋ab2＝a(a－b)2 C．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3 D．ax2－9＝a(x＋3)(x－3) 【错解】 A或C或D
∴(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)
＝1＋2＝3.
故选A.
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1．[2010·益阳]若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n ＝___2___．
【解析】 ∵m2－n2＝6， ∴(m＋n)(m－n)＝6. 又∵m－n＝3， ∴m＋n＝6÷3＝2，填2.
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2ab－a2＝a(2b－a)； b2－2ab＝b(b－2a)； 2ab－b2＝b(2a－b)． (2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 把a＝2 014，b＝2 013代入，得 a2＋b2－2ab＝(2 014－2 013)2＝1. 【点悟】 求多项式的值之类的问题，不宜先直接代 入数值计算，要先运用因式分解或其他方法化简，再代入 数值计算就方便多了．
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在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出 两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进 行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)； 或(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2； 或(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)； 或(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．
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类型之二 因式分解的应用
[2013·威海]若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋
2n的值是
(A )
A．3
B．2
C．1
D．－1
【解析】 所求式子后两项提取－2变形后，将m－n
的值代入计算．∵m－n＝－1，
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【点悟】 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因 式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次 提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完 全平方公式及其特点．
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考点管理
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1．一个多项式所有的各项都含有的公共的因式，叫做这个 多项式各项的公因式．公因式应满足：系数是各项系数 的最大公约数，字母取各项相同的字母且相同字母的最 低次数．
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2．[2013·泰州]若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值 是__1__．
【解析】 ∵m＝2n＋1，即m－2n＝1， ∴原式＝(m－2n)2＝1.故答案为1. 【点悟】 两数的和，差，平方和，平方差，积都与 乘法公式有联系，此类问题要先因式分解，通过整体代入 法进行求值．
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【错因】 A．错在提公因式时括号里少了“＋1”项； C.等式右边是和的形式，不是积的形式；D.第二项没有公 因式a，不能提取公因式a.
2．因式分解的一般步骤：若有公因式，先__提__公__因__式___； 若无公因式，则考虑__平__方__差__公__式___或完全平方公式分 解，直到不能分解为止．
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1．[2012·丽水]分解因式：x2－2x＝___x_(_x_－__2_)__． 2．[2013·江西]分解因式x2－4＝__(_x_＋__2_)_(_x_－__2_) __． 3．[2013·苏州]因式分解：a2＋2a＋1＝___(_a_＋__1_)2__． 4．[2013·莱芜]分解因式：2m3－8m＝__2_m__(m__＋__2_)_(m__－__2_)__． 5．[2013·安顺]分解因式：2a3－8a2＋8a＝___2_a_(_a_－__2_)2___． 6．[2013·郴州]已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2＝___1_2__．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为 止．
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1．[2013·温州]因式分解：m2－5m＝__m_(_m__－__5_) _． 2．[2013·邵阳]因式分解：x2－9y2＝__(_x_＋__3_y_)_(x_－__3_y_)__． 3．[2013·长沙]因式分解：x2＋2x＋1＝___(_x_＋__1_)_2 __． 4．[2013·菏泽]分解因式：3a2－12ab＋12b2＝__3_(_a_－__2_b_)2__．
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类型之一 因式分解 [2013·恩施]把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是 (C)
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2 【解析】 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行 二次分解．x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2. 故选C.
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类型之三 因式分解的开放创新题 [2010·龙岩]给出三个单项式：a2，b2，2ab.
(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式 分解；
(2)当a＝2 014，b＝2 013时，求代数式a2＋b2－2ab的 值．
【解析】 用乘法公式或提公因式法进行分解． 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)； b2－a2＝(b＋a)(b－a)； a2－2ab＝a(a－2b)；
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∴(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)
＝1＋2＝3.
故选A.
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1．[2010·益阳]若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n ＝___2___．
【解析】 ∵m2－n2＝6， ∴(m＋n)(m－n)＝6. 又∵m－n＝3， ∴m＋n＝6÷3＝2，填2.
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2ab－a2＝a(2b－a)； b2－2ab＝b(b－2a)； 2ab－b2＝b(2a－b)． (2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 把a＝2 014，b＝2 013代入，得 a2＋b2－2ab＝(2 014－2 013)2＝1. 【点悟】 求多项式的值之类的问题，不宜先直接代 入数值计算，要先运用因式分解或其他方法化简，再代入 数值计算就方便多了．
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在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出 两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进 行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)； 或(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2； 或(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)； 或(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．
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类型之二 因式分解的应用
[2013·威海]若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋
2n的值是
(A )
A．3
B．2
C．1
D．－1
【解析】 所求式子后两项提取－2变形后，将m－n
的值代入计算．∵m－n＝－1，
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【点悟】 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因 式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次 提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完 全平方公式及其特点．