2014广西高一“创新杯”数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准
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即 b a 2b ， (a, b) {(3, 2), (4,3), (5,3), (5, 4), (6, 4), (6,5)} ，
2
其概率为
6 1 . 36 6
三、 （20 分） 解：由图象过点（2,5） ，解得 a 4 . …………………………5 分
2 x 2 x 5, 2 故 y x 4 | 2 x 1| = x 2 2 x 3,
所以，原式=（
5．选（C）.
解析：由已知，有 x
k 1 3 ，由 x 为整数可知 k 1, 3,5 ，且只要 x 为整数， y 也 1 k 2 k 2
必为整数. 故整数 k 的可能值共 4 个.
6．选（B）.
解 析 ： 设 三 边 长 分 别 为 a, b, c ， 则 有 a b c
2014 广西高一“创新杯”数学竞赛决赛试题 参考答案与评分标准
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后 面的括号内） 1．选（B）. 2．选（C）. 3．选（B）. 4．选（A）. 5．选（C）. 6．选（B）. 1．选（B）. 解析：易知 x 0，故 ( x 1) 2 =1-x.
于是 B、G、F、P 四点共圆.
………………………………………15 分
由 AP //BG , AC //BF ，
可得 APC GBF ABP BPG BFG ACP . ……………………20 分
3
五、 （20 分）
解:由 49(a+b)=4(a +ab+b )及 a,b 都是正整数，(4,49)=1
1 ab ， 代 入 a 2 b 2 c 2 ， 得 2
8 ab ，由于 a, b 都是正整数，故有 5,12,13 或 6,8，10 符合 (ab 4a 4b 8) 0 ，即 a 4 4 b4 题意.
二、填空题（每小题 9 分，共 54 分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横 线上）
2 2
知 4∣(a+b)，故存在正整数 k,使 a+b=4k 从而 a 2 +ab+b 2 =49k, 即（a+b） 2 -ab=49k,故 ab=16k 2 -49k 从而 a,b 是关于 x 的方程 ②
① ………………………………5 分
x 2 -4kx+(16k 2 -49k)=0
③
的两个正整数根．………………………………………………………………10 分 由⊿=16k 2 -4（16k 2 -49k）≥0，得 0≤k≤
2 2 2
a 4 解得： b 5 ，所以 c 2
4a+2b+c＝28.
8．0
解：令 y tx ，则 (1 t 2 ) x 2 4 x 1 0 ，由 (4) 2 4(1 t 2 ) 0 3 t 3
m 3, n 3 m n 0 . 9．222
49 , 12
k 为正整数∴k=1,2,3,4. ……………………………………………………15 分
容易验证，当 k=1,2,3 时，方程③均无正整数根； 当 k=4 时，方程③为 x 2 -16x+60=0,解得 x 1 =10,x 2 =6.故 a+b=4k=16. ……20 分
4
1 1 CF AB 2 2 2 4 . 2 2
11．29
解：设前 5 场总成绩为 x 分，第十场成绩至少为 y 分，则
x 23 14 11 20 x ① 9 5 ， x 23 14 11 20 y 18 ② 10
解：由已知易得： a 2 ，从而 bb c 999 33 37 ，所以 b 3 ， c 37 ，所以 abc 222 . 10．4 解：延长 CB 至 F，使 BF ED ，连接 AF，AD，易得 ABF AED 90 .
又 AB AE ，所以 ABF ≌ AED ，所以 AF AD . 又 FC BC BF BC ED CD 2 ， AC AC ，所以 ACF ≌ ACD . 从而 S ABCDE 2 S 0, x 1 0 的交集可得.
3．选（B）.
解析：易证 (a b)(b c)(c a) 0 与已知等式等价，故 a, b, c 中必有两个数互为相反数.
4．选（A）.
解析： an
1 1 n n 1 1 1 n n 1 (n 1) n n 1 n ( n n 1) n 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 9 ）+（ ）+…+（ ）= 10 1 2 2 3 99 100
7．28
8．0
9．222
10．4
11．29
12．
1 6
7．28
1
a 4 解：因为 4 x 3 x 1 a( x 1) b( x 1) c ax 2a b x a b c 对任意 x 成立，所以 2a b 3 ， a b c 1
2
1 2 …………………………10 分 1 x 2
x
易知 y x 2 x 5 在 [ ,3] 上的最小值为 4，最大值为 8；…………15 分
1 2
1 y x 2 2 x 3 在 [4, ] 上的最小值为 2，最大值为 11. 2
故在[－4,3]上 ymin 2 ， ymax 11 . ………………………………20 分
四、 （20 分）证明：如图，作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP，连结 GF，
则 AC FB, ACE FBD . ………………………………………………………………5 分 又 BD CE ，从而 AEC FDB BDF AEC 于是 FD // AE ，又 PD // AE ，则 P, D, F 三点共线. ………………………………………10 分 故 BFP BFD EAC BAP BGP ，
由①得： x 85 ，所以 x 84 ； 由②得： y 112 x ，所以 y 112 x 112 84 28 ，所以 y 29 .
12．
1 6
解：设 f ( x) ax 2 (a b) x (a 2b) ，则由题设
f (1) a (1) 2 (a b)(1) (a 2b) 0 得 f (0) (a 2b) 0 f (1) a (a b) (a 2b) 0
2
其概率为
6 1 . 36 6
三、 （20 分） 解：由图象过点（2,5） ，解得 a 4 . …………………………5 分
2 x 2 x 5, 2 故 y x 4 | 2 x 1| = x 2 2 x 3,
所以，原式=（
5．选（C）.
解析：由已知，有 x
k 1 3 ，由 x 为整数可知 k 1, 3,5 ，且只要 x 为整数， y 也 1 k 2 k 2
必为整数. 故整数 k 的可能值共 4 个.
6．选（B）.
解 析 ： 设 三 边 长 分 别 为 a, b, c ， 则 有 a b c
2014 广西高一“创新杯”数学竞赛决赛试题 参考答案与评分标准
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后 面的括号内） 1．选（B）. 2．选（C）. 3．选（B）. 4．选（A）. 5．选（C）. 6．选（B）. 1．选（B）. 解析：易知 x 0，故 ( x 1) 2 =1-x.
于是 B、G、F、P 四点共圆.
………………………………………15 分
由 AP //BG , AC //BF ，
可得 APC GBF ABP BPG BFG ACP . ……………………20 分
3
五、 （20 分）
解:由 49(a+b)=4(a +ab+b )及 a,b 都是正整数，(4,49)=1
1 ab ， 代 入 a 2 b 2 c 2 ， 得 2
8 ab ，由于 a, b 都是正整数，故有 5,12,13 或 6,8，10 符合 (ab 4a 4b 8) 0 ，即 a 4 4 b4 题意.
二、填空题（每小题 9 分，共 54 分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横 线上）
2 2
知 4∣(a+b)，故存在正整数 k,使 a+b=4k 从而 a 2 +ab+b 2 =49k, 即（a+b） 2 -ab=49k,故 ab=16k 2 -49k 从而 a,b 是关于 x 的方程 ②
① ………………………………5 分
x 2 -4kx+(16k 2 -49k)=0
③
的两个正整数根．………………………………………………………………10 分 由⊿=16k 2 -4（16k 2 -49k）≥0，得 0≤k≤
2 2 2
a 4 解得： b 5 ，所以 c 2
4a+2b+c＝28.
8．0
解：令 y tx ，则 (1 t 2 ) x 2 4 x 1 0 ，由 (4) 2 4(1 t 2 ) 0 3 t 3
m 3, n 3 m n 0 . 9．222
49 , 12
k 为正整数∴k=1,2,3,4. ……………………………………………………15 分
容易验证，当 k=1,2,3 时，方程③均无正整数根； 当 k=4 时，方程③为 x 2 -16x+60=0,解得 x 1 =10,x 2 =6.故 a+b=4k=16. ……20 分
4
1 1 CF AB 2 2 2 4 . 2 2
11．29
解：设前 5 场总成绩为 x 分，第十场成绩至少为 y 分，则
x 23 14 11 20 x ① 9 5 ， x 23 14 11 20 y 18 ② 10
解：由已知易得： a 2 ，从而 bb c 999 33 37 ，所以 b 3 ， c 37 ，所以 abc 222 . 10．4 解：延长 CB 至 F，使 BF ED ，连接 AF，AD，易得 ABF AED 90 .
又 AB AE ，所以 ABF ≌ AED ，所以 AF AD . 又 FC BC BF BC ED CD 2 ， AC AC ，所以 ACF ≌ ACD . 从而 S ABCDE 2 S 0, x 1 0 的交集可得.
3．选（B）.
解析：易证 (a b)(b c)(c a) 0 与已知等式等价，故 a, b, c 中必有两个数互为相反数.
4．选（A）.
解析： an
1 1 n n 1 1 1 n n 1 (n 1) n n 1 n ( n n 1) n 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 9 ）+（ ）+…+（ ）= 10 1 2 2 3 99 100
7．28
8．0
9．222
10．4
11．29
12．
1 6
7．28
1
a 4 解：因为 4 x 3 x 1 a( x 1) b( x 1) c ax 2a b x a b c 对任意 x 成立，所以 2a b 3 ， a b c 1
2
1 2 …………………………10 分 1 x 2
x
易知 y x 2 x 5 在 [ ,3] 上的最小值为 4，最大值为 8；…………15 分
1 2
1 y x 2 2 x 3 在 [4, ] 上的最小值为 2，最大值为 11. 2
故在[－4,3]上 ymin 2 ， ymax 11 . ………………………………20 分
四、 （20 分）证明：如图，作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP，连结 GF，
则 AC FB, ACE FBD . ………………………………………………………………5 分 又 BD CE ，从而 AEC FDB BDF AEC 于是 FD // AE ，又 PD // AE ，则 P, D, F 三点共线. ………………………………………10 分 故 BFP BFD EAC BAP BGP ，
由①得： x 85 ，所以 x 84 ； 由②得： y 112 x ，所以 y 112 x 112 84 28 ，所以 y 29 .
12．
1 6
解：设 f ( x) ax 2 (a b) x (a 2b) ，则由题设
f (1) a (1) 2 (a b)(1) (a 2b) 0 得 f (0) (a 2b) 0 f (1) a (a b) (a 2b) 0