2.2函数的求导法则(2)

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同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；

2.2 导数的基本公式与运算

2.2 导数的基本公式与运算法则
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经济应用数学
2.2.2 导数的四则运算法则
x3 2 x 5 ,求 y 。例10 已知 y x
解： y ( x 2 2 x 5 x 1 ) 2 x x
1 2

3 2
5 x 2
sin2 x cos2 x y 2x e x ,求 y 。例11 已知 sin x cos x
y ((2e) x tan x cot x) 解：
(2e) x ln2e sec2 x csc2 x
2.2 导数的基本公式与运算法则
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经济应用数学
2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
C 0（C 为任意常数)
x 1( 为实数） (x )

(a x ) a x lna (a 0, a 1)
特别： (e x ) e x
1 (loga x ) (a 0, a 1) x ln a
1 特别： (ln x ) x
2.2 导数的基本公式与运算法则
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式

1 ln x x2
2 cos x (1 sin x )2
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2.2.2 导数的四则运算法则
例8 已知 y tan x ,求 y。解：
sin x (sinx ) cos x sin x(cos x ) y cos x cos2 x
[u( x ) v( x )] u( x ) v( x )

函数的求导法则

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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明首页上页返回下页结束铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v

2.2.2 导数的四则运算

=
1 x
+ 3e x − 2cos 2 x .
7
导数的四则运算法则计算
x5 + x + 1 + 3 x cos x ；（2） y = x3
解： y = x + x
2
−
−
5 2
+ x + 3 cos x ，
x
−3
y′ = ( x 2 )′ + ( x )′ + ( x −3 )′ + (3 x )′ cos x + 3 x (cos x )′
f ′( 0) = ( −1)( −2)( −3) ⋯ ( −100 ) = 100!.
解法 2：利用导数的定义）（利用导数的定义）
f ′(0) = lim
x →0
x →0
f ( x ) − f ( 0) x( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100) − 0 = lim x →0 x−0 x
= f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x )
4
∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，
导数的四则运算法则计算
公式(1)、可以推广到有限多个函数的情形可以推广到有限多个函数的情形，公式、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即
① [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± ⋯ ± f n ( x )]′ ′( x ) ± f 2′( x ) ± ⋯ ± f n′ ( x ) ； = f1
g( x ), α = 1 . = α >1 0,
可导。 ∴ f ( x ) 在点 x 处可导。
15
导数的四则运算法则计算

2.2导数计算

推广
设 y = f ( u ), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
y = f {ϕ [ψ ( x )]} 的导数为则复合函数 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
∵ y = ln u, u = sin x .
和、差、积、商的求导法则
求导法导数的运算则注意: 注意: [u( x) ⋅ v( x)]′ ≠ u′( x) + v′( x);
u( x) u′( x) [ ]′ ≠ . v( x ) v′( x)
分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导求导时, 数求. 数求.
例题分析例1 求 y = x3 − 2x2 + sin x 的导数 . 解
1 ⋅ cos x = sin x
u
= cot x
例2 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解 ∵ y = u10 , u = x 2 + 1
dy dy du ∴ = ⋅ dx du dx
9
d ( u10 ) d ( x 2 + 1) = ⋅ du dx
= 10u ⋅ 2x = 10( x 2 + 1)9 ⋅ 2 x
第二章
导数与微分
导数计算
第二、三、四节第二、
主要内容：主要内容：运算法则及基本方法初等函数的导数
导数的定义
导数的概念
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y dy df ( x) = lim = lim y′, f ′( x), 或 ∆x dx dx ∆x →0 ∆x ∆x→0

2.2函数的求导法则

e5x (5x)
5e5x 20
例. 设 y (ax b)100 (a , b 为常数) 求 y '
解: 设 y u100 u ax b
y' dy du 100u99 a 100a(ax b)99
du dx
例求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
2x
l n2 (tan
1 )'
:
x
tan 1
ln22 x
se c2
1
( 1 )'
xx
tan 1
ln 22 x
s ec2
1 x
1 x2
tan 1
2x
s e c2
1
ln2
x
x2
23
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 2. 设
3. y 2sin x2 , 求 y.
4. y arctan 1 , 求 y ' x
24
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
2. 设
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x x2 1
1 x2 1
25
解（3） y 2sin x2 , 求 y.
解
y 2sin x2
(secx) x secx ( x )
secx tan x x secx 1 2x
14
二、反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. [ f 1( x)] 1 f ( y)
15
例
求函数

2.2导数基本公式与求导法则

§2. 2 导数的基本公式与求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且（1）和差法则[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;（2）积法则[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );特别地如果v =C (C 为常数), 则有(Cu )'=Cu '. （3）商法则)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: xx x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．求函数y =arcsin x 的导数解：设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．求函数y =arctan x 的导数解：设x =tan y , )2,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x y y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8求y =log a x 的导数解：设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.例9 3x e y =, 求dxdy. 解：函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin x x y +=, 求dxdy.解函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy.解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dyx x x cot cos sin 1=⋅=.例12．3221x y -=, 求dxdy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解:)1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、初等函数的导数常用与基本初等函数的导数公式: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) x x 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos x x --='. (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.例16．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .。

2.2 导数的基本公式四则运算法则

时: (cu)' cu'
（3） (u )' u'v uv'
v
v2
例2.2.2 求下列函数的导数。
解：
（1） y x3 sin x ln 5
（2） y x3ex
（3） y tan x
（4）
x3 y
x 2
x
（1） y x3 sin x ln 5
解：
y ' (x3 sin x ln 5) ' (x3) ' (sin x) ' (ln 5) 3x2 cos x
解：
因为
y
x3
x2 ＝
x
x2
1
x2
2x 1
y
2x
1
3
x2
2x2
2
，所以
【小结】 1．求导数的基本公式
常数的导数
幂函数的导数
指数的函数
6个三角函数的导数
4个反三角函数的导数
2．导数的四则运算法则
和、差、积、商的求导法则
【作业】习题2 4 5
(cosx) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
* (secx)' sec x tan x
(arcsinx)' 1 1 x2
(arctanx)' 1 1 x2
* (cscx)' cscx cot x
(arccosx)' 1 1 x2
(arc
cot
x)'
（2） y x3ex
解：
y ' (x3ex ) ' (x3) 'ex x3(ex ) ' 3x2ex x3ex (x 3)x2ex

二节基本的导数公式与运算法则-精选

n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s

(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)

ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)

1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2

2.2求导法则与导数公式

∵
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) lim 1e2x 0 2 ，
x0
x0 x0
f (0)
lim
x0
f ( x) f (0)
lim
x0
x0
x2 0 0, x0
∴ f ( x) 在点 x0 不可导.
故
f
( x)
2e 2x
,
x
0,
2x, x 0.
分段函数求导的关键是：用定义对分段点求导.
例 3．设 f ( x) x( x1)(x2)( x100) ，求 f (0) .
解法1 (利用乘积的求导法则 )
f ( x) x [(x1)(x2)(x100)] x[(x1)(x2)(x100)] ( x1)(x2)( x100) x[(x1)(x2)( x100)]
f (0)(1)(2)(3)(100)100!.
作业
习题二（P68）
1 ； 2（1）（2）（3）（5）（8）； 3（1）（3）； 5.
2.3 反函数的导数、复合函数的导数
2.3.1 反函数的导数
定理 1 设定义在区间 Iy 上的严格单调的连续函数 x f ( y) ,在点 y 处可导,且 f ( y)0,则它的反函数 y f 1( x) 在对应点 x f ( y) 处也可导，且
例 1．求下列函数的导数:
（1）
y
x
5
x
x
3
1
3
x
cos
x
；
解：
y
x2
5
x2
x 3
3x
cos x ，
y
(
x
2
)

应用高等数学-2.2 导数的运算(2)

求导法则求导.
练习册第二章练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解先用复合函数求导公式，再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'，解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定，求 y' . 解对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0

§2.2 导数的运算法则与基本公式

§2.2 导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。

(2.2) 第二节函数求导法则(少学时简约版).

由于 u( x ),v( x )在点 x 处可导，因此当 x → 0 时
uxxx ux ux, vxxx vx vx.
由于可导必连续，故当 x → 0 时有
v( x + x )→ v ( x ). 于是
lixm 0 fxxxfx
l i x m 0 u x x x u x v x x u x v x x x v x
fxlx im 0fx x x fx
l x i m 0 [u x x v x x x ] [u x v x ]
l x i m 0 u x x x u x l x i m 0 v x x x v x
u x vx.
u( x )- v( x )也在点 x 处可导，且导数为
[ u( x )- v( x )]= u ( x )- v ( x ).
推论 3 常数因子可从求导函数中提出
如果函数 u( x )都在点 x 处可导，为常数，则函数 u( x )也在点 x 处可导，且导数为
[ u( x )]= u ( x ).
量 f( x + x )- f( x )与自变量增量 x 之比
fxxfx x
u x x v x x x u x v x
减一项、加一项
1 x u x x v x x u x v x x
u x v x x u x v x u x x x u x v x x u x v x x x v x
= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x ).
• 定理 2 的结论分定性和定量两个部分定性结果：两可导函数的乘积也是可导的；定量结果：函数乘积的求导法则。需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )，

2.2导数的运算法则 - 副本

dy 3 解 ( x cos x 3sin x tan ) dx 3
( x cos x) (3sin x) (tan ) 3
3
3x2 cos x x3 ( sin x) 3cos x
3x2 cos x x3 sin x 3cos x
解
ln x x
ln x 1
1 x
sin x 例设 y ，求 y . x sin x 解 y x
x(sin x ) x sin x x2 x cos x sin x x2
例3
设 y tan x ，求 y .
sin x 解 y tan x cos x
sin x cos x sin x cos x cos 2 x

cos x cos x sin x sin x
cos2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 2 sec x 2 cos x
dy 例设 y x3 cos x 3sin x tan , 求 . 3 dx
P38 记
1 u 为常数） 2.( x u ) ux u（
3.(a x ) a x ln a (a 0, a 1) 1 5.(loga x) (a 0, a 1) x ln a
7.(sin x ) cos x
4.(e x ) e x 1 6.(ln x ) x 8.(cos x ) sin x
2 2 2 如 ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x) 2 x sin x x 2 cos x (2 sin x ) 2(sin x ) 2 cos x

湖南师范大学高等数学22函数的求导法则

特殊地,如果 vC(C为常数 ) ,则因 C 0, 得 (C)uCu.
例1设 f(x)x3cox sln 3,求 f (x) 与 f ( ).
2
解 f(x)3x2sinx
f ()32 1. 24
例2 设 yx2coxs，求 y .
解 y (x 2cx o ) s (x 2 )cx o x s 2 (cx )os
y
11
lim lim
x0x y0 x j(y)
y
即
f (x) 1 .
j(y)
例6 求yarc x,x s i( n 1 ,1 )的导数。
解xsiyn在 Iy( 2, 2)内单调,、可
且 (sy )i n cy o 0 ,s 在 Ix (1,1)内有
(arcsx)in 1 1 (siny) cos y
u(x)v(x) . f(x)在x处可. 导且有
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ).
证（2）略。
证（3）设f(x)u(x),(v(x)0), v(x)
f(x)lim f(xh )f(x)
h 0
h
u(xh) u(x)
limv(xh) v(x)
h0
h
liu m (xh )v(x)u (x)v(xh ) h 0 v(xh )v(x)h
6.8.
f(x)在x处可. 导且（3）成立。
和、差、积的求导法则可推广到任意有限个函数的情形：
例如，设 u(x)v,(x),w(x)在点x处可导，则有 [ u ( x ) v ( x ) w ( x ) ] u ( x ) v ( x ) w ( x );
(u)v u w v w u v w u w .c