克拉默法则的证明及其应用

1引言
克拉默法则在数学中有很重要的作用，所以一直以来对它的研究颇多，文献[1-2]对克拉默法则的证明都应用行列式的思想，都是先证解确实是方程组的解，然后验证解的形式标准，文献[1]对证明过程作了详细注解，这种证法教材里比较常见，文献[3]应用了所学的有关矩阵的知识，具体应用了矩阵的性质，逆矩阵，伴随矩阵来对克拉默法则进行证明，方法比较新颖且融合了所学的好多知识，这也是一种有效的解题思路，文献[4]对于克拉默法则的证明它没有用一些所学的理论知识，它应用了比较直观的几何方法来进行证明，这方法结合几何较容易理解，对于文献[5]主要结合了微分里的一个定理，把克拉默法则应用到了微分里，简化题意，辅助计算，把微分问题转化为线性方程组的问题，文献[6]对克拉默法则在几何中的应有作了诸多题型方面的研究，且阐述了题型的转化思想这一种重要的解题思路，文献[7-8]主要研究了卡拉默法则在行列式中的应用，结合克拉默法则的性质,来判别线性方程组解的情况，进一步求解线性方程组中的参数，文献[9-11]都主要对克拉默法则除其性质外的作了一定的推广，从其它视角来看克拉默法则，文献[12-15]主要研究了克拉默法则它的适用范围，时效和有效的题型，以便于更便捷的使用克拉默法则.克拉默法则用途广泛，在应用中有一定的探索空间.
克拉默法则从多方面进行证明且它应用广泛，该课题研究它的局限性，它适用的题型，在哪些类型的问题中失效，且内容有部分从中学数学中来展开，对证明和应用进行分析.应用我们所学的知识对克拉默法则进行研究和拓展，了解它所应用的关系，以便对它更好的应用.
对于克拉默法则，它的应用范围广泛，证明方法多种多样，证明的角度也可以从多方面下手，关于它的应用，其实可以不仅仅局限于大学知识，也有研究它在中学几何里的应用，其实在解中学方程组中也可以有一定的研究意义.
2克拉默法则及证明
为方便读者，下面给出克拉默法则（Gramer法则），如果线性方程组
(1.1)
的系数矩阵 的行列式

则方程有唯一解
（1.2）
其中 是把矩阵 中第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵的行列式，即
(1.3)
利用矩阵行列式证明克拉默法则的过程可参看相关教材，受文献[4]的启发，从几何角度进行证明，可是过程直观明了，具体为：
为了方便书写和叙述，令 并给出证明.那方程组（1.1）可表示为：


令 则 式变为

把 与 作为四边形的两边作平行四边形，以 与 的公共起点为其中一个顶点作对角线β是唯一的，通过这就可以得出方程组

有唯一解, 因为这是一个行列式，且它的系数不为零，因此向量 与 不可能在同一条直线上的，所以可做上面的四边形.如（图3）就可以用它的有向面积来阐述 这样就可得出证明.
在图（3）中，平行四边形以 与 为邻边的的有向面积和平行四边形以 与 为邻边的有向面积分别是 和 从图形上我们可以看出 .又有平行四边形以 与 为邻边的，它的向面积为 所以得出 是它与前面那个图形的有向面积的比，所以 同理可得 以该定理得到了证明.
下面给出两个该证明的应用：
例1 设向量 不共面，证明: 若是向量 满足 则
证明:设
因为 所以

由于 不共面，因此有 由所学的克拉默法则，可以知道上面的方程组只存在零解 即
命题得证.
例2 三平面 经过同一条直线的成分必要条是 .
证明：由题中已知条件可知， 都经过原点，那接下来就只需证明，因经过同一直线，所以它们都经过除了原点的另外一个点，由上面三个关系式可写成

有非零解，由克拉默法则得

小结: 对于证明在几何的证明方法中全是依据着所学关于几何方面的知识来理解和证明的，对于n维空间它的一些推广一般都是根据直观来判断和理解，对于后面的 的求解和 的情形可以以其他形式来进行或让学者自己推敲再做一定的讲解，对于这两个问题一般都是从几何方面来看待证明的，这种证法比较直观，这方法把解析几何和线性代数联系在了一起，是个很好的桥梁.把克拉默法则应用在几何中，为几何的大量计算提供了便捷，两者的结合拓宽了两大知识领域的知识面.对于例1的题目中已经告诉我们 是四个不共面的向量，它和向量 的数量积都为零，该题比较难的地方就是我们已知条件转化为我们需要的东西，对于数量积的运算一般用坐标的形式来表示已知的向量，对于这个就可以转化为齐次线性方程组的问题来解，接下来把已知条件里的向量 按前面的方法转化为其次线性方程组求解问题，所以该结论就可以根据克拉默法则的有关知识来得出．对于例2，应用几何方面的知识来解它，计算量比较大，且容易出错，就把几何思想转化为齐次线性方程组的问题来解，又根据克拉默法则计算，使之简化问题且简明计算.
3应用
大学数学中的 Gramer 法则的内容，应用很广泛，克拉默法则不仅有以上几个数学领域里有应用，它在微分边值，多项式整除，初等方程中都有应用，把所求方程转化为它的系数行列式来解决该问题，提前判断有无唯一解，简化它的计算和帮助它求其特征值.
3.1微分边值的应用
定理 1：设 且 则对任意的 存在唯一的多项式 使得：

例3 设 且 则对任意的 存在唯一的多项

式 求解 .
根据题意就可知， 则由定理就可以写成下面的
代数方程组：

通过方程组 知道系数行列式等于 当 时不为零。因此根据克拉默法则的性质，可判断出该方程组有唯一解，且可轻松求出方程组的唯一解.
小结：这里所用到的工具都是学过的数学专业必修的高等代数和数学分析里的克拉默法则和定积分的内容 ,这里用两大知识点相结合来解题，这也表明两个学科之间的紧密联系，解题时都可应用我们所学的知识联系起来应用，这也是一种解题思路.
3.2多项式整除的应用
例4 设， 求 用去除 所得的商 及余式
解：由题意知 为一元三次方程，三次项系数为1，而 为一元二次方程，二次项系数为3，所以商 一定为1次，一次项系数为1/3，而余式次数小于2，所以可以设商式 余式为 根据 得，


比较两端系数，得：

由克拉默法则可得：
, ,
, .
即

故商式 余式
小结：此处的克拉默法则体现了它在初等方程中的应用，把未知数的求解最终转化为齐次线性方程组的求解，这可以在求解前判断该未知数有无唯一解，方便下一步计算.且关于整式，大学的高等代数里面也有涉及，可用这种方法便于计算和判断.
3.3初等方程的应用
例5 王某订购一批家具，由 两家共同完成 天完成，王某需支付 两家总的 元； 两家共同完成 天完成，王某需支付 两家总的 元； 两家共同完成 天完成全部家具的 王某需付 两家总的 元。现在王某急需这一批家具，需要在 天以内拿到全部家具，由哪一家独自做完这一批家具可花费最少的钱？
解：可求得 三家分别单独做需要 天， 天， 天完成，设 三家分别做一天应付给 元， 元， 元，则

由克拉默法则可得：
， ,
, .
且

故
所以由A家单独完成花钱最少.
小结：关于这类题型，在中学里很常见，大多简单点的都可用消元法直接解出来，难解的就可用克拉默法则来计算，计算步骤不复杂，不容易出错.
4结语
4.1主要发现
克拉默法则不是适用于所有的方程组，也可以说是齐次线性方程组，对于齐次线性方程组，在高等代数中我们知道，在线性方程组中常数项为零的方程组都统称为齐次线性方程组，有关齐次线性方程组我们都知道，它一定有解，因为 一定是它的一个解，这个解通常被称为零解.通常用克拉默法则来讨论的是齐次线性方程组的非零解.克拉默法则所使用的范围只在于齐次线性方程组的系数行列式不为零的情况，至于原因，上面已有讨论，它不适用的情况或者说是失效的情况下该方程组的求解就不能用克拉默法则来求.
4.2启示
克拉默法则通过它性质来对方程组做判断，判

断其解的情况，在其它方面大都是在计算中做辅助工具，它亦可用在中学中，研究几何颇多，在初等方程中亦可用，中学方程主要的解答是用消元法，用克拉默法则也可以解它，并且优于消元法的地方是可以进一步判断，有无唯一解，判断参数有无意义，用克拉默法则可大大简化了判断的步骤，且过程清晰简便.
4.3局限性
克拉默法则的适用范围只限于线性方程组中，且未知量个数与方程个数相等，把方程系数转化为行列式，行列式的值不为零时，克拉默法则才可以用；其它形式克拉默法则求不了解，它失效的时候方程组无解或者是无穷多解，但在齐次线性方程组中有非零解.
4.4努力方向
其实这可以在大学所已知的知识上往其它方面进行拓展，在题中已知的求解线性方程组的基础上，适当了解它在其它方面的应用，当然它的应用不光局限于数学，在其他方面也有广泛的应用，我们可以适当的去探索，这样不光可以拓宽所学的知识面还提高了求知的兴趣.
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克拉默法则的证明及其应用
摘要
基于大学所学的克拉默法则，它常见的证明方法是从行列式，矩阵角度来证明，

对于这两类证明教材中都有详细阐述，所以该课题就不再对这两类证明方法做过多的研究，该课题主要研究它从几何角度来对克拉默法则进行证明，并给出该类证明的两个应用，分别从向量和平面两方面进行叙述，且分别对它们作小结加以详细阐述.对于克拉默法则除证明的其它方面，前面有颇多研究者研究过它的众多推广及常见的应用类型，且对它们皆给出了很充分的证明及详细的解答过程，基于这之上，该课题针对克拉默法则也应用了前面的知识从新的角度给出了三个不同方向的应用，主要针对几何，微分边值求解，多项式整除，初等方程这四方面来阐述它的应用，并对这些应用作了详细解说.
关键词：克拉默法则，几何，微分边值，多项式整除，初等方程.
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Proof of Kramer's Law and Its Application
Abstract
Based on the Kramer's law learned by the university, its common proof method is proved from the determinant and matrix perspective. For the two kinds of proof materials, there are detailed explanations, so the subject will no longer have to do these two kinds of proof methods. A lot of research, this topic mainly studies it to prove the Kramer's law from the geometric point of view, and gives two applications of this kind of proof, which are described from vector and plane respectively, and elaborate on them respectively. In addition to other aspects of the proof of Kramer, many researchers have studied its many popularizations and common application types, and have given them sufficient proof and detailed answering process. The subject also applies the previous knowledge to the Kramer's law to give three different directions from a new perspective, mainly for geometric, differential boundary value solving, polynomial divisibility, and primary equations to illustrate its application.These applications are explained in detail.
Keywords: Kramer's law, geometry, differential boundary value, polynomial divisibility, elementary equation.