SXA224高考数学必修_例谈无理函数的值域求法

无理函数的值域求法

求无理函数值域的方法较多，涉及化归转化、函数与方程、数形结合等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益. 主要方法有:配方法、换元法、利用函数的单调性、均值不等式、转化为方程有解、数形结合法、构造模型法等．

一、应用配方法求值域

例

1.4y =求函数.

解：

240(1)44

02

244

2,4].

y x =≤--+≤∴≤∴≤-≤∴原函数的值域为[

评注:配方法适用于解析式中含有二次函数的求值域问题.

二、应用换元法将无理函数转化为二次函数或三角函数

例2.求函数x x y 21-+=的值域.

分析:

, 则x 相当于二次项.只需对 x 21-换元，即可将问题转化为二次函数的值域问题. 解：令t x =-21,则2

12

t x -=（0≥t ） ,1)1(2

12122+--=+-=t t t y ,0≥t 1≤∴y ,即值域为(]1,∞-.

评注:形如d cx b ax y +±+= 的函数均可用此法求值域.

例3.求函数x x y -+=1的值域.

解:函数的定义域为[]1,0，令θ2sin =x ,⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈2,0πθ， 则θθcos cos 12==-x

,

sin cos )4

y πθθθ∴=+=+ 又⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈+43,44πππθ

sin()4πθ⎤∴+∈⎥⎣⎦

,

即函数的值域为.⎡⎣ 评注:三角换元时常需选择角的范围. 选择角的范围时不仅要确保换元前后的等价性,还要有利于后续的化简.

例4.

求y =[4,2]-在上的值域.

解:

令u =

,v =则 226u v += （0u ≥,0v ≥）

设u θ

,v θ=02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝

⎭

则()))3f πθϑθθθθ==+

由02πθ≤≤

,得5336πππθ≤+≤ 知1sin()123

πθ≤+≤

故所求值域为

三、利用函数的单调性

例

5.[0,1],x y ∈=已知求函数.

解:

122y x y ==

,

调递减

min max [0,1]1(0)

202(1)

1,2].

y x y x y x ∴=∈∴===-==∴内单调递增,

当时当时原函数的值域为 例6.求函数x x x f -=

1)(（14x <≤）的值域. 解：函数x y x

y -==和1都在区间(]4,1 上单调递减， ∴函数x x

x f -=1)(在区间(]4,1上是减函数. 于是)1()()4(f x f f ≤<,即值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-

,47. 四、应用均值不等式

例7.|y x =求函数.

解

:

22222max 11(12211.2x x y x x x x y +-==∴=-==当且仅当,即

∵y ≥0 ]

1,

0[函数的值域是∴ 例8.求函数

y =. 解:令t =则0,t ≥2.1t y t =+ 当t=0时,y=0;

当t>0时,2110.112

t y t t t

<==≤++ ∴原函数的值域为10,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

五、转化为方程有解

例9.求函数y=x-122+x 的值域.

解法一:原函数可化为x-y=122+x ,即x>y 且(x-y)2=2x 2+1,

亦即x>y 且x 2+2xy+1-y 2=0,

原题即求关于x 的方程x 2+2xy+1-y 2=0在(y,+∝)有解的条件.

记f(x)=x 2+2xy+1-y 2=0，显然有f(y)=2y 2+1>0。则依题意可得

⎪⎩⎪⎨⎧≥---=∆>-0

)1(4)2(2222y y y y x ,解得22-≤y . 故原函数的值域为⎥⎦

⎤ ⎝⎛-∞-22,. 解法二: 原函数可化为x-y=122+x ,即x>y 且(x-y)2=2x 2+1,

亦即x>y 且x 2+2xy+1-y 2=0,由函数的定义域为R,

令22(2)

4(1)0y y ∆=

---≥,得

22

y

y ≥

≤ 又

|0x x < y ∴≤即原函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝

⎛-∞-2

2,. 六、数形结合法

例10.求函数()f x =.

()()()()()223:21,0,1y y x y y x --==

-+=≥--解设则原函数化为f x 从而问题转化为: 求半圆弧()2221(0)x y y -+=≥上的动点P 与定点A(-1,-3)连线斜率的取值范围,

可得斜率的取值范围为34

⎡⎢⎣⎦.

七、构造模型求值域

例11.

求函数y 的值域. 分析一: 构造复数模型,利用复数模的几何意义建立不等关系（a b a b +≥+）

. 解法一

:.y =

设12y xi =-,23(1)y x i =++,

则1y

,2y =

则12125y y y y y i =+≥+=+=

故所求值域为)∞.

分析二:构造距离模型,利用对称求值域.

解法二

:y

表示:平面直角坐标系中x 轴上的点P （x,0）到两定点A （0,2）、B （-1,3）的距离之和. 记点A 关于x 轴的对称点为'A ,则()'0,2A -,

故有'y A B ≥

故所求值域为)∞.

八、构造向量求最值

例12.

求函数y .

解: 原函数化为

.y R =其定义域为

()()()()223,1,3,4,|31,||316.a x b x a x b x =-=+=-+=++设则|

()

6,3||3 5.a b a b ∴-=--∴-= ||||||||a b a b -≤-又,,.a b 当且仅当与方向相同时取等号

||||||35,

a b ∴-≤()()()3,13,40,.x t x t -=+>当时取等号

即x=5时等号成立.

∴当x=5时,min y =-