探究应用新思维_数学7年级1_

1．数形结合话数轴

解读课标

数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.

在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：

1．利用数轴形象地表示有理数；

2．利用数轴直观地解释相反数；

3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；

4．利用数轴比较有理数的大小．

问题解决

例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．

（《时代学习报》数学文化节试题）

(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．

（广西竞赛题）

试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.

例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1

个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应

是( )．

A.A 点

B.B 点

C.C 点

D.D 点

（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．

例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.

试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．

例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．

（“希望杯”邀请赛试题）

试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．

例5 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．

(1)求A、B两点所对应的数．

(2)数轴上点A以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数．

(3)已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P (O为原点)，在运动的过程中线段PO AM

-的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解对于(3)，设M点运动时间为t秒，把PO AM

-用2的式子表示．

(1)A、B两点所对应的数分别为8,20

-；

(2)C点对应的数为22

-；

(3)

202

,10

2

t

AM t OP t

+

===+(为什么？)，则1010

PO AM t t

-=+-=，即

PO AM

-的值不变．

生活启示

例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单

位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的1

4

，

3

4

均

变成1

2

；

1

2

变成1；等等）.那么在线段AB上（除点A、点B外）的点中，在第二次操作

后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.

（浙江省绍兴市中考题）分析捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．

解

故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是

13144

+=． 数学冲浪

知识技能广场 1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.

2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“39

4

站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．

（“《时代学习报》数学文化节”试题）

3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．

4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在

一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的

三等分点处分别标上了数字0、1、2）

上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；

(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．

（江西省中考题）