4.2常系数线性微分方程的解法

dz dt
t t0
d
dt
t t0
i d
dt
t t0
易验证
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
z2 (t)
z1(t)
dz2 (t) dt
复函数的求导法则与实函数求导法则相同
2） dekt kekt dt
3）
d nekt dt n
k nekt
结论
实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。
实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。
三 、线性方程的复值解
如果定义在 [a,b] 上的实变量的复值函数 x z(t) 满足方程
dnx dt n
ekt e( i )t e( i )t et (cos t i sin t)
et (cost i sin t) ekt
欧拉公式:
cost 1 (eit eit )
2
sin t 1 (eit eit )
2i
2. ekt 的性质
e e e 1） (k1 k2 )t k1t k2t
常微分方程
4.2 常系数线性微分方程 的解法
回顾：解的结构
1、齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。 2、非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的 通解与自身的一个特解之和。
非齐线性方程 特解
表示
齐线性方程 基本解组
常数变 易法
非齐线性方程通解
关键
• 常系数齐次线性微分方程的求解能够彻底 解决
• 只须解一个代数方程而不必通过积分计算
则相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent
这n个解在区间 t 上线性无关，从而组成方程
的基本解组。
e1t
W (t) 1e1t
.....
e n1 1t 1
e2t
2e2t
.....
e n1 2t 2
1
.... ent
.... nent 范德蒙(Vandermonde)
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
及u(t),v(t)都是实值函数,则这个解的实部U (t)和虚
部V (t)分别是方程
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an
(t)
x
u(t)
和
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an
(t)
x
v(t)
的解.
4.2.2 常系数齐线性方程
n 阶常系数齐次线性方程 其中 a1, a2,..., an 为常数
..... ..... 行列式
....
e n1 nt n
1 .... 1
i j (i j)
e (1 2 n )t 1
...
2 .... n 0
.... .... ....
n1 1
n1 2
....
n1 n
e1t , e2t , , ent 是方程的基本解组。
方程4.19的通解可表示为 x c1e1t c2e2t cnent
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
P1(t) P2 (t)e(2 1)t Pm (t)e(m 1)t 0 微分 k1 次
[Pr (t)e(r 1)t ](k1)
[Pr(k1) (t)
k1 (r
1)Pr(k11) (t)
(r
)(k1) 1
Pr
(t)]e(r 1)t
令 x ye1 t
dnx
d n1 x
dx
L[x]
dt n
a1
dt n1
an1 dt
an x 0
…….(4.19)
x(m) ( ye1t )(m)
y ( m ) e1t
1my(m1)e1t
m(m 1) 2!
y e 2 (m2) 1t 1
1m ye1t
L[ ye1t ]
e1t ( y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y) 0
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
t t0
t t0
t t0
t0 [a,b]，
连续 导数
lim
t t0
z(t)
z(t0 )
t0 [a,b]，
lim z(t) z(t0 ) lim (t) (t0 ) i lim (t) (t0 )
tt0 t t0
t t0
t t0
lim
t t0
z(t) z(t0 ) t t0
z(t0 )
(4.23)的 k1 重特征根零
方程(4.23)恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
由 x ye1 t
方程(4.19)恰有 k1 个线性无关的解 e1t , te1t , t 2e1t ,, t k1 e 1 1t
类似地
1 k1
2 k2
m km
e1t , te1t , t 2e1t ,, t k11e1t
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
n a1n1 ank1k1 0 an an1 ank11 0
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
an k1 0
(c) 对每一个重数是一的共 轭复数 i,方程有
两个如下形式的解
et cos t, et sin ;
(d ) 对每一个重数是 m 1的共轭复数 i,方程有
2m个如下形式的解
et cos t, tet cos t,, t e m1 t cos t; et sin t, tet sin t,, t e m1 t sin t;
et
F() 0 满足
特征根
特征方程
结论： x e t 是方程(4.19)的解的充要条件 满足 F() 0
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
F () n a1n1 an1 an 0
1)特征根为单根的情况 设 1, 2 ,, n 是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，
Rm (t) e 不恒为零， (m m1)t 0 矛盾！
(4.26) 中函数线性无关，其构成的解本解组。
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个k 重特征根
它们对应2 k个线性无关的实解是
e t cos t, te t cos t, , t k1e t cos t, e t sin t, te t sin t, , t k1e t sin t,
x(t)
c1
et
c2
e1 2
t
cos
3 2
t
c3
e1 2
t
sin
3 2
t
2) 特征根有重根的情况
L[ x]
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
…….(4.19)
F () n a1n1 an1 an 0
…….(4.21)
设 1, 2 ,, m 是特征方程（4.21）的m个互不相等的根。
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t) 是方程的复数解，
则 z(t) 的实部 (t)，虚部 (t) 和共轭复数函数 z(t)
也是方程4.2的解。
(3)定理9 若方程
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an
(t ) x
u(t)
iv(t)
有复值解x U (t) iV (t),这里ai (t)(i 1,2,, n)
a1
(t
)
d n1x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
f
(t)
(4.1)
则称 x z(t) 为方程的一个复值解。
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an
(t
)x
0
( 4.2)
定理8 如果方程4.2中所有系数 ai (t)(i 1,2,, n)
e 二 、关于 kt
k i , 为实数 ，t为实变量。
1. 定义 ekt e( i )t eteit
et (cos t i sin t)
e( i )t et (cos t i sin t)
eit cos t i sin t eit cos t i sin t
k i 表示 k i 共轭复数 ，
e2t , te2t , t 2e2t ,, t k2 1e2t
emt , temt , t 2emt ,, t km 1emt
k1 k2 km n, ki 1
基 本 解 组
(4.26)
证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数A(jr)使得
(
A(1) 0
A1(1)t
A t )e (1) k11 1t k1 1
L[ x]
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
…….(4.19)
为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。
x e t
L[et ] et F ()
x e t
L[et ] net a1n1et an1et anet 0
et
F () n a1n1 an1 an 0 …….(4.21)
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
第三步：写出通解
x(t) c1et c2 et c3 cos t c4 sin t
练习： 求方程
d3x dt3
x
0
的通解。
解： 第一步：求特征根
F () 3 1 0 1 1,
第二步：求出基本解组
2,3
1 2
i
3 2
et ,
e1 2
t
cos
3 2
t,
e1 2
t
sin
3 2
t
第三步：写出通解
例1
求方程
d4x dt 4
Leabharlann Baidu
5 d2x dt 2
4x
0
的通解。
如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成
对共轭的出现，设 1 i 方程的一个特征根 2 i 也是一个特征根
则方程（4.19）有两个复值解
e( i ) t e t (cos t i sin t) e( i )t e t (cos t i sin t)
L1[ y] y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y 0
L[ ye1t ] e1t L1[ y]
…….(4.23)
特征方程 G() n b1 n1 bn1 bn 0(4.24)
L[ ye1t ] e1t L1[ y]
F
(
)e( 1 )t 1
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
Qr (t)e(r 1)t
(Qr (t)) (Pr (t))
Q2 (t)e(2 1)t Qm (t)e(m 1)t 0
Q2 (t)e(2 1)t Qm (t)e(m 1)t 0 (Qm (t)) (Pm (t))
Qm (t) 不恒为零，
Rm (t)e(m m1 )t 0
(Rm (t)) (Pm (t))
由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对
方程的一对共轭复根: 1 i ,
由此求得(4.19)的两个实值解为
et cos t, et sin t;
例2 求方程
d4x dt 4
x
0
的通解。
解： 第一步：求特征根
F () 4 1 0
1,2 1, 3,4 i
第二步：求出基本解组
et , et , cost, sin t
• 某些特殊非齐次线性微分方程，可通过代 数运算和微分运算求通解
• 这一节的内容与质点振动理论、电磁振荡 理论有紧密的关系
4.2.1 复值函数与复值解
一、 定义 z(t) (t) i (t) t [a,b]，
(t)， (t)是定义在 [a,b]上的实函数。
极限
lim z(t) lim (t) i lim (t)