复变函数论钟玉泉第六章

解 z 0 为一级极点,
z 1为二级极点,
ez Res[ f ( z ), 0] lim z z 0 z( z 1)2
e lim 1 2 z 0 ( z 1)
z 1 d e 2 Res[ f ( z ),1] lim ( z 1) ( 2 1)! z 1 dz z( z 1)2
定理6.1 (柯西留数定理) f(z)在围线或复围线C所 围区域D内,除a1,a2,…an外解析,在闭域 =D+C上除 n a1,a2,…an外连续,则 c f ( z )dz 2i Re s f ( z )
k 1 z ak

c

i 1
k

k 1
z ak
注 留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转 化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函 数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇 点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合 曲线积分的非常有效的方法。

z 1
R(cos , sin )d 型积分 0 这里 R(cos , sin ) 表示 cos , sin 的有理函数,
1. 计算

2
Res f ( z ), zk . f ( z )dz 2π i k 1
包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.
n来自百度文库
z的有理函数 , 且在单位圆周 上分母不为零 , 满足留数定 理的条件 .
2i .
11
eibz 练习 求 f ( z ) 2 2 2 在 ai 的留数, 其中a,b是实常数. (a z )
sec z 设 f ( z ) 3 , 求留数 Re s( f , z z
0)
逆时针方向。
zdz 计算积分 C ( z 1)(z 2) , C :| z 2 | 2,
z
f (z)
c1 z
n
z
Re s f ( z ) 等于f(z)在点 也就是说， z 项的系数的相反数。
的洛朗展式中

1
,
1 z
13
定理6.6
如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤
立奇点(包括无穷远点在内)
n
a1, a2 ,, an , ,则f(z)
z a
1. 留数的定义及留数定理
将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：
f (z)
n
1 n Re s f ( z) cn z a dz z a 2 i n
n
z a
n

0<|z - a|<
1 即 Re sf (a) C f ( z)dz 1 2i |z a| R
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例1 计算积分 0 解
i
2π
sin2 d (a b 0) a b cos
令ze , 则
z2 1 z2 1 sin , cos , dz ie i d , 2 zi 2z
0
2π
sin2 d a b cos
( z 2 1)2 4z 2 z 1
c n 1 1 n dz c z a dz. c1 n n n 1 2 i n 0 2 i z a
2
证 作圆周 k : z ak k k 1， 2， n使其全含于 D 内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭 n n 路定理有 f z f z dz 2 i Re s f z
1 . ( n 1)!
6
P ( z ) z sin z 例2 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
分析
P (0) P (0) P (0) 0 , P (0) 0 .
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0 是 f ( z )的三级极点，由定理6.2得
逆时针方向。
sin zdz 计算积分 C (2 z )(z ) 2 , C :| z | 2 ,
12
3. 函数在无穷远点的留数 定义6.2 设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心 邻域N-{∞}：0≤r<|z|<+∞内解析，则称 1 f ( z )dz , ( :| z | r ) 2i
级数高反而使计算方便. 如上例取 n 6 :
1 1 d 5 6 z sin z . Res f ( z ),0 lim 5 z 6 5! (6 1)! z 0 dz z
9
ez 例3 计算积分 2 dz , C为正向圆周: z 2. z( z 1) C
10
z
z d ez e ( z 1) lim 0 , lim 2 z 1 dz z z z 1
ez 所以 2 dz z( z 1) C
2iRes[ f ( z ),0] Res[ f ( z ),1]
2i (1 0)
例1 计算积分
z5 I dz 6 1 z Z 2
例2 利用无穷远点的留数计算积分 z13 dz I | z| 3 ( z 2 5)3 ( z 4 1) 2
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第二节 用留数定理计算实积分
某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复 变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分 值，这时计算某些实积分的有效途径之一。
3
运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必 须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。 (1) 常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗 级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数 C1 ( z a)1 的公式 Re s f ( z ) c1 ，即负幂项 的系数。 不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂， 但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。 (2) a为有限可去奇点时: Re s f ( z ) 0
( z) (a) 0, (a) 0, (a) 0 Re s
z a
(a) f ( z) (a)
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ez 例1 求 f ( z ) n 在 z 0 的留数. z
解
因为 z 0 是 f ( z )的 n阶极点，
1 d n1 n e z ez lim n1 z n 所以 Res n ,0 z 0 dz ( n 1 )! z z
2 ( z ) ( z a ) f ( z ), 推论6.4 设a为f(z)的二级极点,
2 Re s f ( z ) ( a ) lim [( z a ) f ( z )]. 则 z a z a
( z)
z a
z a
定理6.5 设a为 f ( z ) ( z ) 的一级极点
1. 计算0 R(cos , sin )d
2
型积分. 型积分
3. 计算
2. 计算
P ( x ) Q ( x ) P ( x ) imx Q ( x )
dx
e dx
型积分
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并且在 [0,2 ] 上连续. 1 1 z z z z dz i cos ,sin , d 令z e 2 2i iz 当z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周，有 z z 1 z z 1 dz 2 , , 0 R(cos ,sin )d |z|1 R 2i iz 2
z a
2. 留数的求法
z a
(3) a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内 展成洛朗级数来求 C1 (4) a为极点时，有如下结论.
4
定理6.2 设a为f(z)的n级极点,即 f ( z ) ( z a)n 其中(z)在点a解析, (a)≠0，则: ( n 1) (a) 1 Re s f ( z ) lim[(z a) n f ( z )]( n1) . z a (n 1)! (n 1)! z a ( z ) ( z a ) f ( z ), 推论6.3 设a为f(z)的一级极点, 则 Re s f ( z ) (a) lim( z a) f ( z ).
第六章 留数理论及其应用 第一节 留数
1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数
1
定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在 点a的某去心邻域0<|z-a|<R内解析，则称积分 1 f ( z )dz ( :| z a | ,0 R) 2i Re s f ( z ). 为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：
其中C是绕z 正向（顺时针方向）一 周的围道， 在C外除可能为奇点外， f ( z )别无奇点。相应地， C 是在t平面上正向（逆时针方 向）绕t 0一周的围 道，在C 内除t 0可能为奇点外， f (1 / t )别无奇点。
1 1 1 dt Re sf () f ( z )dz f( ) 2 2i C 2i C t t
为f(z)在点∞的留数,记为 Re s f ( z ) ,其中-是顺时针方向.
c c z c z 0 1 n z 1 Re s f ( z ) f ( z )dz c 由逐项积分定理即知 2 i
c n
n
设f(z)在0≤r<|z|<+∞内的洛朗展式为
在各点的留数总和为零，即
s f ( z ) Re s f ( z ). Re s f ( z ) Re s f ( z ) 0. Re z a z
k 1 z ak z
n
k 1
k
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函数在无穷远点的留数的另一计算公式 1 1 Re s f ( z ) Re s[ f ( ) 2 ] z t 0 t t 或写成如下形式
1 d 2 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
计算较麻烦.
7
解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
1 dz 2 z 1 iz a b 2z
( z 2 1)2 dz 2 2 2iz (bz 2az b) z 1
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i 2 z 1
( z 2 1)2 dz 2 2 2 2 a a b a a b z 2b z z b b 2 2 (a a b ) 2π i Res f ( z ),0 Res f ( z ), b
2aπ 2π a 2 b 2 2 b b2
2 2 (a a 2 b 2 ). b
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dx 例2 计算 0 2 ( a 0). a sin x π π dx dx 解 0 a sin2 x 0 1 cos 2 x a 2 1 π d2 x 令 2x t, 0 1 cos 2 x 2 a 2 1 1 dz 1 2π dt 2 2 0 a 1 cos t 2 z 1 1 ( z 1) 2 z iz a 2 2 dz 2i 2 . z 1 z 2( 2a 1) z 1
z z , 3! 5!
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z
8
3
1
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 n 级极点，当 n 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用定理6.2时, 为了计算方便一般不要将n 取得比实际的级数高. 但有时把n取得比实际的