解一元一次方程(二)

3.3 解一元一次方程（二）
――去括号和去分母
教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计
一、创设问题情景，激发学生研究问题的兴趣，引出本节要研究的主要的两种方程的形式
请利用方程解决下列问题：
问题1：顾客用540元买了两种布料共138尺，其中蓝布料每尺3元，黑布料每尺5元．两种布料各买了多少尺？
问题2：某厂22名工人，每人每天可以生产螺钉1200个或螺母2000个，如何安排才能使一天生产的螺钉和螺母配套？
问题3：整理一批数据，由一人做需要80小时完成．现在计划先由一部分人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的四分之三，怎样安排参与整理数据的具体人数？ 学生活动设计：
对于问题1：学生会发现问题中有两个等量关系：一是两种布料共138尺；二是两种布料的费用共是540元，于是可以考虑设买蓝布料x 尺，则买黑布料（138－x ）尺，根据相等关系：两种布料的费用共是540元，可以得到方程3x ＋5（138－x ）＝540．或设用x 元买蓝布料，则用540－x 元买黑布料，则根据相等关系：两种布料共138尺，得到方程13855403=-+x
x
．
对于问题2：当螺钉和螺母配套时，螺母的数量应是螺钉数量的2倍（这就是相等关系） 于是可以设安排x 人生产螺钉，则有22－x 人生产螺母，根据上述相等关系可以得到方程 2×1200x ＝1800（22－x ）（或设总共生产的螺母有x 个）．
对于问题3：可以考虑先安排x 人作2小时，由于每人的工效相同，一个人1小时完成总工作量的801，则工作两个小时后完成了总工作量的
802x ，后来由（5＋x ）人工作，工作了8小时完成总工作量的80)5(8880)5(x x +=
⨯+，根据这10个小时共完成总工作量的四分之三，得到方程802x ＋43
80)
5(8=+x （或设x 人先工作了2小时，则有
2x ＋8（5＋x ）＝80×43
）．
教师活动设计：由于已经有了列方程解决实际问题的经验，所有可以让学生自主探究，寻找解决问题的思路，在解决问题的过程中可能产生不同的形式，此时可以分析不同方法中异同，让学生比较不同方法间的简单程度，进而引导学生在解决问题的过程中尽量采用简单的方法解决问题．
二、问题引申，探究、归纳解方程的方法，培养学生的探究能力 活动1：对上述问题中涉及的方程，如何解这些方程呢？你能找到解这些方程的方法吗？
1．3x ＋5（138－x ）＝540； 2．2×1200x ＝1800（22－x ）；
3．2x ＋8（5＋x ）＝80×43
； 4．13855403=-+x
x
；
5．802x ＋43
80)
5(8=+x ．
学生活动设计：由于这些方程和前面接触的方程在形式上有区别，1、2和3中存在括号，4、5中存在分母，则可以考虑把方程中的括号、分母去掉就可以转化为熟悉的形式，对于1、2和3可以利用乘法分配律把括号去掉，然后进行移项、合并、系数化为1，对于4和5可以利用等式的性质2，把方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数，就可以把分去掉，于是问题可以解决．
教师活动设计：在活动中，主要让学生探究如何把新的知识转化为旧的知识来解决，从而让学生体会数学中的转化思想，同时培养学生的勇于探究的精神．
〔解答〕1. 3x ＋5（138－x ）＝540，
去括号得，
3x ＋5×138－5x ＝540，
移项得，
3x －5x ＝540－5×138，
合并得，
－2x ＝－150，
系数化为1，
x ＝75.
2. x ＝10；
3.x ＝2．
4. 13855403=-+x
x
，
两边同时乘以15（去分母）得，
5x ＋3（540－x ）＝138×15，
去括号得，
5x ＋1620－3x ＝2070，
移项得，
5x －3x ＝2070-1620，
合并得，
2x ＝450，
系数化为1，
x ＝225．
5．x ＝2．
活动2：
通过以上解方程的过程，你能总结出解方程的一般步骤吗？
学生活动设计：
学生通过观察思考，总结出解方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
教师活动设计：让学生充分发表自己的看法，然后在总结时进行必要的补充和说明． 活动3：根据上述总结，请解下列方程：
（1）3x －7（x －1）＝3－2（x ＋3）；
（2）)131(72)421(
6--=+-x x x ； （3）53
2102
32213+--=-+x x x ；
（4）31
23221
3--=--+x x x ．
学生活动设计：让四位同学黑板进行板演，其余学生独立完成，完成后根据黑板上的解法进行交流和总结，发现问题，寻找问题出现的原因，分析原因，特别是去带有负号的括号时的变号规律．
教师活动设计：分析解决问题的过程，让学生自主发现问题所在，从而培养学生的严谨的精神．
〔解答〕（1）x ＝5； （2）x ＝6； （3）167
=x ； （4）2523
=x ．
三、拓展提高，应用创新，培养学生思维的深刻性和灵活性 问题4：现将连续自然数1～2006按如图所示的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数：
1 2 7
8 9 14
15 16 21
22 23 28
29 30 35
36 37 38 39 40 41 42
……………………
……………………
2003 2004 2005 2006
（1） 图中这16个数的和是多少？
（2） 要使一个正方形框出的16个数的和分别等于2000和2008是否可能，若不可能，
说明理由，若可能求出该正方形中最小数和最大数．
学生活动设计：（1）计算框出的16个数的和，可能会有两种方式，
方式1：依次把这16个数加起来；
方式2：可以设第1个数为a ，则这16个数分别是：
a a ＋1 a ＋2 a ＋3
a ＋7 a ＋8 a ＋9 a ＋10
a ＋14 a ＋15 a ＋16 a ＋17
a ＋21 a ＋22 a ＋23 a ＋24
把这些加起来得到16a ＋192，当a ＝10时得到，这16个数的和是352．
（2）有（1）可以发现若16a ＋192＝2000，则有a ＝113，若16a ＋192＝2008则有 x ＝113.5．
因为a 是自然数，所以结果可能是2000，但不可能是2008，
问题5（对问题2的变式思考）：
变式思考1：
某车间有28名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，第一天安排14名工人生产螺栓、14名工人生产螺母，问第二天应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使当天生产的螺栓和螺母与第一天生产的刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？
教师活动：启发学生进行独立思考，
学生活动：学生在已经熟悉的情景下进行独立思考，同样在独立思考后由学生提出自己
的看法，再交流中逐步完善自己 的看法，
解：第1天生产后，螺栓、螺母不能刚好配套，螺栓应有剩余，不难计算螺栓剩余的数量为42个，然后第二天要安排x 人生产螺栓，（28-x ）人生产螺母，则
12(14)
18[14(28)]
12x x ++-=．
解之得 x =10，
思考：遇到这类配套问题，应该怎样解决？
问题：若解出的未知数是分数（不是整数），怎么办？引出变式2．
变式思考2：
某车间有27名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，问应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使当天生产的螺栓和螺母刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？
学生活动：学生对这个问题的解决应该没有问题，主要考虑解得的数是分数，如何处理？ 解：设应分配x 人生产螺栓，则（27-x ）人生产螺母，根据题意得：
1218(27)
12
x
x -= 解得 4
117x =，
如何处理？可以由学生讨论最后的结论．
变式思考3：
某车间有27名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，假设y 天作为一个生产周期，问在这个生产周期内，应如何安排，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？
学生活动：在平均生产率不变的前提下，一个生产周期为y 天，且每天有27名工人参加工作，则工作总量相当于一天内有27y 名工人参加工作的总工作量，这样问题就化归为问题的情形．
教师活动：引导、启发．
解：在一个生产周期内，安排x 名工人生产螺栓，（27y -x ）名工人生产螺母，则
1218(27)
12
x
y x -=． 得 81
7x y =
． （此时考虑方程的整数解问题）．
所以y 必须是7的倍数才行．
若y =7则有x =81，于是可以用
81327=（天）时间安排全部工人生产螺栓，用4天时间
安排全部工人生产螺母． 四、小结与作业
小结：
1. 解方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1．
2. 列方程解实际问题中关键：找等量关系．
作业：
习题3.3．。