第四章 Laplace方程的格林函数法

第四章 Laplace 方程的格林函数法在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。

先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。

§4.1 Laplace 方程边值问题的提法在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程2222222u u u u u xyz∂∂∂∇=∆≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。

至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。

（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即ufΓ= （4.1）第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。

Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。

所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。

（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数u n∂∂存在，并且等于已知函数f在该点的值：u fnΓ∂=∂ （4.2）这里n 是Γ的外法向矢量。

第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。

以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。

在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。

例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件ufΓ=，这里Γ是Ω的边界，f表示物体表面的温度分布。

像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。

由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件：lim (,,)0(r u x y z r →∞==（4.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件（4.3），并且它在边界Γ上取所给的函数值ufΓ= （4.4）（4）纽曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它闭曲面Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件（4.3），而且它在Γ上任一点的法向导数u n∂∂存在，满足u fn Γ∂='∂ （4.5）这里'n 是边界曲面Γ内内法向矢量。

重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。

§4.2 格林公式为了建立Laplace 方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。

设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 是在Ω+Γ上连续，在Ω内具有一阶连续偏导数的任一函数，则成立如下的高斯公式()[cos(,)cos(,)cos(,)]P Q R dV P x Q y R z dSxyzΩΓ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰n n n （4.6）其中d V 是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，d S 是Γ上的面积元素。

下面来推导公式（4.6）的两个推论。

设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数，在（4.6）中令,,v v v P uQ uR ux y z∂∂∂===∂∂∂则有()()u v u v u v v u v dV dV udSx xy yz znΩΩΓ∂∂∂∂∂∂∂∆+++=∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或()v u v dV udS u vdVnΩΓΩ∂∆=-∇∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4.7）（4.7）式称为第一格林公式。

在公式（4.7）中交换,u v 位置，则得()u v u dV vdS v udVnΩΓΩ∂∆=-∇∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4.8）将（4.7）与（4.8）式相减得到()()v u u v v u dV uvdSnnΩΓ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰（4.9）（4.9）式称为第二格林公式。

利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。

（ⅰ）调和函数的基本表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值。

为此，构造一个函数1v r==（4.10）函数1r除点0M 外处处满足Laplace 方程，它在研究三维Laplac 方程中起着重要的作用，通常称它为三维Laplace 方程的基本解。

由于1v r=在Ω内有奇异点0M ，我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面εΓ，在Ω内挖去εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图4-1），在K εΩ-内直至边界上1v r =是任意次连续可微的，在公式（4.9）中取u为调和函数，并假定它在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，而取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得1()111()[]K u r u u dV udS r r n r nεεΩ-Γ+Γ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ （4.11）因为在K εΩ-内0u ∆=，10r∆=。

而在球面εΓ上 211()()11r r n r r ε∂∂=-==∂∂因此2221()1144r u dS udS u un εεπεπεεΓΓ∂===∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值。

同理可得114()uuu dS dS r nnnεεπεεΓΓ∂∂∂==∂∂∂⎰⎰⎰⎰此处()u n ∂∂是u n∂∂在球面εΓ上的平均值。

将此二式代入（4.11）可得1()1[]44()0u u r u dS u n r nnππεΓ∂∂∂-+-=∂∂∂⎰⎰现在令0ε→，由于0l i m ()u u M ε→∞=（因为(,,)u x y z 是连续函数），lim 4()0u nεπε→∞∂=∂（因为(,,)u x y z 是一阶连续连续可微的，故u n∂∂有界），则得0111()()[()()]4M M M M u M u M u M dSn r r nπΓ∂∂=--∂∂⎰⎰（4.12）此处为明确起见，我们将r =M M r。

（4.12）说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式（4.12）用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示。

（ⅱ）Neumann 问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式（4.9）中取u 为所给的调和函数，取1v ≡，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰（4.13）由（4.13）可得Neumann 问题（u fnΓ∂=∂）有解的必要条件为函数f 满足0fdS Γ=⎰⎰（4.14）事实上，这个条件也是Neumann 内问题有解的充分条件，证明见其他证明材料。

（ⅲ）平均值公式设函数()u M 在某区域Ω内是调和的，0M 是Ω内任一点，a K 表示以0M 为中心，以a 为半径且完全落在Ω内部的球面，则成立下列平均值公式021()4aK u M udSaπ=⎰⎰（4.15）要证明这个公式，只要将公式（4.12）应用域球面a K ，并注意在aK 上11ra=，2111()()n r r r a∂∂==-∂∂，以及110aaK K uudS dS r nan∂∂==∂∂⎰⎰⎰⎰即可。

（ⅳ）Laplace 方程的解惟一性问题现在利用格林公式讨论Laplace 方程解的惟一性问题，将证明如下结论：Dirichlet 问题在12()()C C Ω⋂Ω内的解是惟一确定的；Neumann 问题的解除了相差一个常数外也是惟一确定的。

以12,u u 表示定解问题的两个解，则它们的差12v u u =-必是原问题满足零边界条件的解。

对于狄氏问题，v 满足0,0v v Γ∆=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩在内（4.16）对于Neumann 问题，v 满足0,0v vnΓ∆=Ω⎧⎪⎨∂=⎪∂⎩在内 （4.17）下面来说明满足条件（4.16）的函数1()v C ∈Ω，则在Ω内恒为零；满足条件（4.17）的函数Ω内为一常数。

事实上，在公式（4.8）中取12u v u u ==-，则得20()v vdS v dVnΓΩ∂=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰由条件（4.16）或（4.17）得2()0v dV Ω∇=⎰⎰⎰故在Ω内必有v v =∇=grad 0即0v v v xyz∂∂∂===∂∂∂，或v C ≡。

对于狄氏问题，由0vΓ=，得0C =，故0v =。

需要注意得氏，这里我们仅证明了狄氏问题在12()()C C Ω⋂Ω内的解是惟一的，其所以要假定1()u C ∈Ω，只是为了应用格林公式（4.9）。

其实这个要求是多余的，利用调和函数的极值原理，可以证明狄氏问题在12()()C C Ω⋂Ω内的解是惟一的。

关于这一点，见其他参考材料。

§4.3 格林函数公式（4.12）说明了一个调和函数可以用这个函数在边界上的值及其在边界上的法向导数来确定它在区域Ω内值。

但这个公式不能直接提供狄氏或Neumann 问题的解，因为公式公式中既包含u Γ又包含了u nΓ∂∂。

对于狄氏问题而言，u Γ是已知的，但u nΓ∂∂不知道，并且由解的惟一性可知，当给定了u Γ以后就不能再任意给定u nΓ∂∂。

所以要想从（4.12）得到狄氏问题的解，就必须消去u nΓ∂∂，这就需要引进格林函数的概念。

在公式（4.9）中取,u v 均为Ω内的调和函数，且在Ω上有连续的一阶偏导数，则得0()u v vudSnnΓ∂∂=-∂∂⎰⎰（4.18）将（4.12）与（4.18）相减得0111(){[()]()}44M M M M v u u M u v dSnn r r nππΓ∂∂∂=-+-∂∂∂⎰⎰（4.19）如果能选取调和函数v ，使满足14M M vr πΓΓ=（4.20）则（4.19）中的u nΓ∂∂项就消失了，于是有01()()4M M u M uv dSn r πΓ∂=--∂⎰⎰ （4.21）令01(,)4M M G M M vr π=- （4.22）则（4.21）可表为0()G u M udSnΓ∂=-∂⎰⎰0(,)G M M 被称为Laplace 方程的格林函数。