矩阵的认识
矩阵分析几何意义的整理
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA勺一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章，有些内容来自blog，有些来自文献和教程，解决了我遇到很多疑问，感谢把它推荐给我的人。
前四部分来自早期几篇blog，把空间描述的形象且易懂，适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。
一、矩阵的特征值概述：矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手，把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比。
这样的一些向量就是特征向量，其实我们更矢心的是特征向量，希望把原先的线性空间分解成一些向量相矢的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。
自相矢矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。
使得各个分量之间相互不相矢，也就是K-L展开，每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。
二、线性空间和矩阵的几个核心概念：空间（space）:空间的数学定义是一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。
我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间，我们所生活空间的特点：（1）有很多（实际上是无穷多个）位置点组成（2 ）这些点之间存在着相对尖系。
（3 ）可以咋空间中定义长度、角度。
（4 ）这个空间可以容纳运动（从一个点到一个点的移动，而不是微积分意义上的“连续”性运动）第（4）点是空间的本质特征，（1 ）、（ 2）两点是空间的基础而非性质，第（3）点在其他空间也行并不具备，自然更不是尖键的性质。
只有第（4）点是空间的本质。
把三维空间的认识拓展到其他空间。
事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动（变换）。
小学三年级数学说课稿认识并运用简单的矩阵运算
小学三年级数学说课稿认识并运用简单的矩阵运算小学三年级数学说课稿：认识并运用简单的矩阵运算【引言】数学作为一门学科，是培养学生逻辑思维和运算能力的重要工具。
在小学三年级的数学教学中，我们将引入简单的矩阵运算，旨在帮助学生更好地理解并运用数学知识。
本次说课将重点介绍认识并运用简单的矩阵运算。
【背景知识】在正式介绍矩阵运算之前，先来简单了解一下矩阵的概念。
矩阵是由数字排列成的矩形阵列，矩阵的行与列分别代表了其维度。
在矩阵中，每个数字称为元素，我们用小写字母加下标的方式表示矩阵中的元素。
【矩阵的加法】矩阵的加法是指两个矩阵相加的运算。
要求进行矩阵加法运算的两个矩阵具有相同的维度，即行数与列数相等。
具体的计算方式是将两个矩阵对应位置的元素相加，得到的结果组成一个新的矩阵。
例如：A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，则 A + B = [6 8; 10 12]。
【矩阵的数乘】矩阵的数乘是指将一个矩阵的所有元素乘以一个常数，得到一个新的矩阵。
计算方式是将矩阵中的每个元素与常数相乘。
例如：A = [1 2; 3 4]，k = 2，则 kA = [2 4; 6 8]。
【矩阵的乘法】矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘的运算。
要求进行矩阵乘法运算的两个矩阵，第一个矩阵的列数要与第二个矩阵的行数相等。
具体的计算方式是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列对应位置的元素相乘，然后将乘积相加。
例如：A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，则 AB = [19 22; 43 50]。
【实例演示】为了更好地帮助学生理解并运用简单的矩阵运算，我们进行了一个实例演示。
假设有两个矩阵：A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]。
首先，我们进行矩阵加法运算：A +B = [1 + 5 2 + 6; 3 + 7 4 + 8] = [6 8; 10 12]。
然后，我们进行矩阵数乘运算：2A = [2 × 1 2 × 2; 2 × 3 2 × 4] = [2 4; 6 8]。
小学三年级数学课堂认识数的向量和矩阵
小学三年级数学课堂认识数的向量和矩阵“数学，将沉闷和枯燥演绎得优美和生动。
”这句话来自于数学之父高斯。
在小学三年级的数学课堂上，我们将学习一些有趣的概念，例如数的向量和矩阵。
通过这篇文章，我们将全面认识和理解这些概念。
数的向量是数学中的一个重要概念，它描述了方向和大小。
在数学中，我们常用箭头来表示向量。
箭头的起始点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
在向量中，我们一般都是从原点出发，向不同的方向延伸，如上、下、左、右。
向量的大小可以用数值表示，例如一个向右延伸长度为5的向量可以表示为V = 5。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的运动方向和速度。
矩阵是由数个数按照一定的规律排列而成的方阵，其中的每个数称为元素。
矩阵常常用方括号表示，如下所示：⎡1 2 3⎤⎢4 5 6⎥⎣7 8 9⎦上面的矩阵是一个3×3的矩阵，它由9个元素组成。
矩阵的行表示横向排列的一组数，而矩阵的列表示纵向排列的一组数。
矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是指将两个矩阵对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指通过对两个矩阵进行一系列运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
在小学三年级的数学课堂上，我们通常使用向量和矩阵来解决一些实际问题。
例如，假设小明从家里走到学校，他先向北行走100米，然后向东行走50米，最后又向北行走50米。
我们可以用向量来表示小明的行走方向和距离。
假设起点为原点，向北行走100米可以表示为V1 = 100，向东行走50米可以表示为V2 = 50，再次向北行走50米可以表示为V3 = 50。
通过将这些向量相加，可以得到小明从家里到学校的总行走向量V = V1 +V2 + V3 = 100+50+50 = 200。
通过这个向量，我们可以知道小明从家里到学校的方向和距离。
类似地，矩阵也可以用来解决一些实际问题。
例如，假设在某个市场上有3个商铺，每个商铺的销售额分别为100万元，200万元和300万元。
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
高中数学教案认识矩阵的行列式
高中数学教案认识矩阵的行列式高中数学教案：认识矩阵的行列式在高中数学中，矩阵及其行列式是一个重要的概念和工具。
矩阵是由数按照矩形排列而成的一种数学结构，而行列式则是矩阵所具有的一种特殊性质。
了解矩阵的行列式对于深入理解线性代数和高等数学具有重要意义。
本教案将带领学生深入认识矩阵的行列式，通过理论和实践相结合的方式，帮助学生掌握相关的概念和计算方法。
一、矩阵的概念及表示方法1.1 矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列数排列成的数表，可以用大写字母表示，例如A。
1.2 矩阵的元素：矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加下标表示，例如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.3 矩阵的表示方法：可以用方括号或圆括号将矩阵元素括起来，元素之间用逗号或空格隔开。
例如，A=[a_ij]表示一个矩阵A，其中a_ij为矩阵A的元素。
二、行列式的定义及性质2.1 行列式的定义：行列式是一个与方阵相关的数值，它可以从矩阵的元素中按照一定规律计算出来。
一个n阶方阵A的行列式可以用det(A)或|A|表示。
2.2 行列式的计算方法：2.2.1 二阶行列式的计算方法：对于二阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.2.2 三阶及以上行列式的计算方法：对于n阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + a_1n * A_1n其中A_ij为元素a_ij的代数余子式。
2.3 行列式的性质：2.3.1 行列式与转置：对于任意方阵A，有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2.3.2 行列式与初等行变换：对于方阵A，若将其某一行（列）与另一行（列）互换位置，行列式的值变号。
2.3.3 行列式的性质：- 若矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
小学数学认识和应用矩阵
小学数学认识和应用矩阵在小学数学学习中，矩阵是一个重要的数学工具，它不仅能够帮助我们认识数学中的一些概念，还能够应用于解决实际问题。
本文将介绍小学数学中矩阵的认识和应用。
一、矩阵的认识1. 定义矩阵是由m行n列数构成的矩形数组，通常表示为(A_ij)_{m×n}。
其中，A_ij表示矩阵中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的表示与性质- 行矩阵：只有1行的矩阵称为行矩阵。
- 列矩阵：只有1列的矩阵称为列矩阵。
- 方矩阵：行数与列数相等的矩阵称为方矩阵。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵。
- 单位矩阵：方矩阵中，主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵称为单位矩阵。
- 转置：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
二、矩阵的应用1. 矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法需要相同维数的矩阵进行运算。
只需要对应位置的元素进行加法或减法运算即可。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到的新矩阵。
设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，则它们的乘积C为m行p列的矩阵。
矩阵乘法的计算规则为：C_ij = ∑(A_ik * B_kj)，其中∑表示对k求和。
3. 矩阵的应用举例- 矩阵在坐标变换中的应用：通过矩阵的乘法运算，可以实现平面上的点的坐标变换，如平移、旋转、缩放等。
- 矩阵在图像处理中的应用：矩阵可以表示图像的像素矩阵，通过对矩阵进行运算和变换，可以实现图像的处理，如亮度调整、图像旋转等。
- 矩阵在线性方程组中的应用：线性方程组可表示为AX = B的形式，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
通过求解矩阵方程，可以得到线性方程组的解。
总结：矩阵是小学数学中重要的工具，它不仅具有一定的定义和性质，还能够应用于解决实际问题。
在学习过程中，我们需要了解矩阵的定义、性质以及基本运算法则。
矩阵的应用包括坐标变换、图像处理和线性方程组等方面，通过应用矩阵，我们可以更好地理解和应用数学知识。
应用矩阵认识处理有关问题
例 １ 对 于映射 ：ｚ， 一 （ （ ） ｚ＋Ｙ — ） 是 ， ， 否存 在这样 的直线 ｚ使 得 直线 上任一 点在 映射 ， ， 作用 下 的象仍 在 直线 ｚ上 ？若 有 ， 求 出该 直线 ； 请
若没 有 ， 说 明理 由． 请 分析 本 题通 常解 法 如下 ： 所 求 直线 Ｚ的 设
ｚ
为÷ ． 面 区域 Ｂ 实 际上 是 平
图 ２
对 Ａ 内的 点实施 了一个矩 阵
Ｙ
］ ｚ 一ｌ．， 变换， Ｊ ，一， 理 变换矩阵为Ｌ 取 Ｉ同当 ＋ ］
—
，． ｝ 在仿射变换下， 两个
ｌ Ｊ
厂
一 一
１
］
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√ 时，取 ２
一 ｌ 一 Ｌ
－
４２— １ ｊ
｝ ．因 此， 一
图 形 面 积 之 比 是 仿 射 不 变 量． 所 以，
一
Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ一２ 故 平 面 区域 Ｂ 的面 Ｍ ．
＿ 口［一分 矩Ｍ两 １和一 别 阵的 ｚ＿ ］ 是 ］ ＿
个 特 征 向量 ．
积为 １ ．
３ 处 理 函 数 问 题
从 特征 向量 的几 何 意义来 看 ， 阵 Ｍ 把 满 足 矩
．
一
’ 区域 Ａ 的条 件 由
这样 的直 线 为什 么 会 有 两 条 呢？ 实 际上 ， 映
ｊ 得 三
ｌ Ｙ≥ ０ ，
射 ：－ ） （ （ ｚ， 一 ＋Ｙ， ． ｚ— ） 是平 面 内 的点 与 点之
ｆ Ｓ≤ １ ，
间坐变， 矩为 ＝ １ 面 ｌ ￡ ． 的标换 换阵 Ｍ ］ ｓ ≥ｏ 变 ＝ ． 下 ～
深入理解矩阵——矩阵革命(完全版)
矩阵革命-理解矩阵线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
矩阵的认识及应用
矩阵的认识及应用矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
矩阵的认识和应用可以从以下几个方面进行说明。
首先，我们来了解矩阵的基本概念和表示方法。
矩阵是由数按照一定规律排列组成的矩形阵列。
在数学中，矩阵可以表示为一个矩形表格，其中的数被排列成若干行和列。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，矩阵的大小可以表示为m×n，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的应用非常广泛，特别是在线性代数和数值分析中。
在线性代数中，矩阵被用于解决线性方程组、矩阵求逆、特征值和特征向量、并行计算等问题。
在数值分析中，矩阵被用于插值、拟合、积分、微分、最小二乘法等数值计算方法中。
此外，在统计学、物理学、工程学、经济学等各个学科中都有矩阵的应用。
矩阵的应用可以通过几个示例来说明。
首先，我们来看矩阵在解线性方程组中的应用。
对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，可以用矩阵表示为Ax=b的形式，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
通过求解该方程组，可以得到未知数的值，有助于理解各个变量之间的关系和作用。
其次，矩阵的应用在于计算特征值和特征向量。
对于一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个常数，则x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征值和特征向量在物理学、工程学和经济学等领域中有重要的作用，例如在结构动力学中，特征值和特征向量可以用于分析结构的固有振动频率和模态形态。
另外，矩阵的应用还在于计算矩阵的乘法和求逆。
矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，通过矩阵乘法运算得到一个新的矩阵C，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列的对应元素相乘后再求和。
矩阵的求逆是指给定一个方阵A，通过矩阵求逆运算得到一个新的矩阵B，使得A和B的乘积等于单位矩阵。
矩阵的乘法和求逆在计算机图形学、信号处理和优化领域中有广泛的应用。
矩阵知识知识点总结手写
矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。
一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。
2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。
3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。
4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。
5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。
6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。
2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。
3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。
4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。
5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。
心理学上的矩阵
心理学上的矩阵标题：矩阵：心理学角度的思考一、矩阵与人际关系在心理学中，矩阵是一个有趣的概念，可以用来探讨人际关系的复杂性。
矩阵可以被比喻为一个社交网络，每个人都是其中的一部分。
无论是家庭、朋友圈还是工作场所，每个人都在这个矩阵中扮演着不同的角色。
二、矩阵与自我认知矩阵也可以用来分析个体的自我认知。
每个人都有自己的想法、情感和行为方式，这些因素构成了个体在矩阵中的位置。
通过矩阵的分析，个体可以更好地了解自己的优势和劣势，进而提升自我意识和自我管理能力。
三、矩阵与情绪管理情绪管理是心理学中一个重要的研究领域，而矩阵可以被用来分析不同情绪之间的联系。
在矩阵中，不同的情绪可以相互影响，形成情绪的传播和扩散效应。
通过矩阵的视角，我们可以更好地理解和管理自己的情绪，以及与他人的情绪互动。
四、矩阵与决策决策是人们生活中不可避免的一部分，而矩阵可以帮助我们进行决策分析。
在矩阵中，我们可以对不同的选择进行评估和比较，了解每个选择所带来的利弊和风险。
通过矩阵的思维方式，我们可以更加客观地做出决策，避免被情绪和偏见所影响。
五、矩阵与人生价值观人生价值观是指个体对于人生意义和目标的认知和追求，而矩阵可以帮助我们思考和探索自己的人生价值观。
在矩阵中，我们可以将不同的价值观进行整理和排序，找到自己最重要的价值观，并通过行动来实现和践行。
六、矩阵与心理健康心理健康是每个人都应该关注的重要议题，而矩阵可以帮助我们评估和改善自己的心理健康状况。
通过矩阵的分析，我们可以了解自己在不同心理维度上的状态，如情绪、认知和行为等。
同时，矩阵还可以帮助我们发现并解决潜在的心理问题，提升心理健康水平。
七、矩阵与人际冲突人际冲突是人际关系中常见的问题，而矩阵可以帮助我们理解和解决这些冲突。
通过矩阵的分析，我们可以找到冲突的根源和原因，进而采取适当的解决策略。
同时，矩阵还可以帮助我们培养良好的沟通和协调能力，提升人际关系的质量。
八、矩阵与个体成长个体成长是人类发展的一个重要方面，而矩阵可以帮助我们理解和推动个体成长的过程。
机器人学-矩阵的基本概念及运算
例
设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
5
n
Ak
k
Am Ak Amk , Am k Amk .
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则
AB 0 0, 0 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
从此例还可以看到: 两个非零的矩阵, 其乘积可 能等于零. 因此在矩阵等式中, 不能用消去律.
1 0 L 0
In
0 M
1 M
L
0 M
0 0 L 1
可验证
AIn Im A A;
这里, A是m×n阶矩阵, 上式任何矩阵左乘或右乘
一个单位矩阵,其积仍为该矩阵.
例 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
1.3 矩阵的乘法
定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
高三数学《认识矩阵》知识点回顾
高三数学《认识矩阵》知识点回顾认识矩阵知识点回顾高三数学矩阵是高中数学中的一个重要概念，是线性代数的基础内容之一。
在高三数学中，我们学习了“认识矩阵”的知识点。
本文将回顾一下这一知识点，使同学们能够更好地理解和掌握这一概念和相关知识。
一、矩阵的定义和基础概念矩阵是由$m$行$n$列的数排成的一个矩形数组。
其中，数称为矩阵的元素。
一个矩阵一般用大写字母表示，如$A,B,C$等，其中$A=(a_{ij})_{m\times n}$表示一个$m$行$n$列的矩阵，其中$a_{ij}$表示矩阵元素。
一个矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
对于一个$m$行$n$列的矩阵$A$，我们用$m\times n$表示。
如果一个矩阵的行数和列数相等，即$m=n$，那么这个矩阵被称为方阵。
方阵的阶数就是它的行数（或列数）。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法设有两个矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$和$B=(b_{ij})_{m\times n}$，则这两个矩阵可以相加，其结果为$C=A+B=(c_{ij})_{m\times n}$，其中$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
矩阵的加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的数乘设有一个矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$，以及一个实数$k$，则可以用$k$乘以$A$，其结果为$kA=(b_{ij})_{m\times n}$，其中$b_{ij}=ka_{ij}$。
3. 矩阵的乘法设有两个矩阵$A=(a_{ij})_{m\times p}$和$B=(b_{ij})_{p\times n}$，则这两个矩阵可以相乘，其结果为$C=AB=(c_{ij})_{m\times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}$。
请注意，矩阵的乘法不满足交换律，即$AB\neq BA$。
三、特殊类型的矩阵1. 零矩阵零矩阵是每个元素都为零的矩阵。
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法矩阵是线性代数中重要的概念，我们经常会遇到矩阵的特征多项式与对角化的计算问题。
本文将从理论与计算两个方面对矩阵的特征多项式和对角化进行深入探讨。
一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要性质，它能帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式为：P(λ) = |A - λI|其中，λ是一个变量，I为n阶单位矩阵。
我们可以将特征多项式展开，得到一个关于λ的多项式，通常称之为特征方程。
特征多项式的计算方法有很多种，最常用的是行列式的方法。
我们可以将矩阵A减去λI，然后求其行列式，得到特征多项式。
特征多项式的阶数为n，根据代数基本定理，特征多项式总共有n个根，也就是说特征多项式的所有根就是矩阵的特征值。
二、对角化对角化是线性代数中一个重要的概念，对角化能够将一个矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化矩阵的计算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，那么我们称矩阵A是可对角化的。
对角化的计算方法有很多种，其中最常用的是特征向量的方法。
当一个矩阵A是可对角化的时候，我们可以通过求解特征向量来计算对角矩阵D和可逆矩阵P。
首先，我们需要求解矩阵A的特征向量，然后将特征向量组成一个矩阵P，特征向量按列排列成矩阵P的列向量。
接着，我们将特征向量按照特征值的顺序排列，组成对角矩阵D。
最后，我们可以得到可逆矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，使得P^-1 * A * P = D。
需要注意的是，并非所有的矩阵都可以被对角化，只有满足一定条件的矩阵才能进行对角化操作。
对角化的条件主要包括：矩阵可逆、矩阵特征值互不相等、特征向量线性无关等。
结论本文详细介绍了矩阵的特征多项式与对角化的认识以及计算方法。
特征多项式是矩阵特征值和特征向量的关键，通过计算特征多项式可以获得矩阵的特征值。
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域起着重要的作用。
本章主要介绍矩阵的基本概念以及矩阵的运算。
1. 矩阵的基本概念矩阵由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都有自己的位置和值。
矩阵通常用大写的字母表示，如A、B等，元素用小写的字母表示，如a、b等。
矩阵的大小由行和列决定，如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n矩阵。
如下所示为一个3×4矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\end{bmatrix}$$2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵的加法要求其大小相同，即行数和列数都相等。
对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。
例如，对于两个矩阵A和B的加法运算，结果矩阵C的对应元素为：$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$2.2 矩阵的数乘矩阵的数乘即一个矩阵中的每个元素都乘以同一个数。
例如，对于矩阵A的数乘运算，结果矩阵B的对应元素为：$$b_{ij} = k \cdot a_{ij}$$其中k为一个实数。
2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，要求被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。
乘积矩阵的行数等于被乘矩阵的行数，列数等于乘矩阵的列数。
设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，则乘积矩阵C为m×p 矩阵。
乘积矩阵C的第i行第j列元素为：$$c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in}\cdot b_{nj}$$3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
对矩阵乘法的认识与理解
对矩阵乘法的认识与理解好吧，今天咱们聊聊矩阵乘法。
哎，说到这个，很多人一听就头疼，脑子里瞬间浮现出一堆公式和符号，恨不得直接躲进被窝里。
但是呢，别急，咱慢慢来，把这事说清楚，搞明白了也没啥大不了的。
矩阵乘法就像咱们平常生活中的搭配，有时候一加一不一定等于二，关键是看你怎么配。
想象一下，咱们在厨房里，拿出一些食材，随便一搭，哎呀，居然能做出美味的菜，这不就是矩阵乘法的精神吗？矩阵就像一张表，里面记录了各种信息。
就像你把班里同学的成绩、身高、爱好都列出来，结果一看，哎，原来小明和小红在数学上都是高手，身高差不多，爱好也一样。
通过这些数据，你就可以找到一些有趣的关系。
再说到乘法，这可不是简单的乘法。
你想，两个矩阵要乘在一起，得先看看它们的“脸面”，也就是它们的行和列能不能对上。
就像你去参加派对，找朋友的时候，得看看你俩是不是在同一个圈子里，否则就很尴尬了，不是吗？矩阵乘法的过程呢，简直像在排练一场舞蹈。
每个元素都得找到自己的搭档，进行配合。
比如，假设有两个矩阵A和B，A的行数和B的列数能对上，那就可以开始“舞蹈”了。
A中的每一行和B中的每一列，互相点对点地相乘，最后再把结果加起来，得到的新矩阵就出现了。
嘿，像不像咱们在一起合唱，大家分工合作，最后的效果才是最美的。
这玩意儿一开始看起来挺复杂，其实只要你把每一步都理清楚，就能玩得很溜。
矩阵乘法不仅仅是个数学游戏，它在很多领域都能派上用场。
想想看，计算机图形学、经济学、物理学，都离不开这个玩意儿。
你在玩游戏的时候，屏幕上的各种画面、动画，背后其实就是矩阵在默默工作呢。
有些小伙伴可能会问，矩阵乘法有什么用呢？别小看这小小的乘法，它可是解决问题的利器。
比如，在推荐系统里，电影、音乐推荐，全靠矩阵乘法来分析用户的偏好和行为。
你在网上刷的那些推荐，背后都是这个技术在推波助澜。
说不定下次你看见自己爱看的电影，心里暗想，嘿，这可真是命中注定，其实都是矩阵在帮你忙。
搞明白了矩阵乘法，咱们也得注意一些细节。
职场黑话 颗粒度 矩阵
职场黑话颗粒度矩阵
职场黑话是指在工作场合中经常使用的行业术语或者特定的表达方式。
在职场中，人们可能会使用一些特定的词汇或短语来表达某种概念或者情况，这些词汇或短语可能对于外行人来说并不容易理解。
而“颗粒度”和“矩阵”则是一些常见的职场黑话。
首先，让我们来谈谈“颗粒度”。
在职场中，“颗粒度”通常用来描述某个事物或者任务被划分的程度或者粒度。
这个词通常用于讨论工作任务或者项目的细化程度，高颗粒度表示任务被划分得很细，低颗粒度则表示任务被划分得比较粗略。
在项目管理和工作安排中，合理的颗粒度可以帮助团队更好地分工合作，提高工作效率。
其次，我们来看看“矩阵”。
在职场中，“矩阵”通常指的是一种组织结构或者管理模式。
矩阵管理是一种将不同部门或者职能交叉组合在一起，形成项目团队的管理方式。
矩阵管理模式可以帮助组织更加灵活地应对复杂多变的市场环境，加强不同部门之间的协作和沟通，提高组织的反应速度和灵活性。
从另一个角度来看，职场黑话中的这些术语也反映了职场人士
对于工作的认知和理解。
颗粒度和矩阵作为职场黑话，不仅仅是一
种行业术语的使用，更是一种对工作方式和组织结构的思考和总结。
在职场中，人们通过使用这些术语来交流和沟通，表达自己对于工作、管理和组织的见解，从而推动工作的进展和发展。
总的来说，职场黑话中的“颗粒度”和“矩阵”是一些常见的
行业术语，它们反映了职场人士对于工作方式、管理模式和组织结
构的思考和认知。
理解这些术语，可以帮助我们更好地融入职场，
加深对于职场工作的理解和认识。
关于矩阵最通俗的解释-超级经典zz
关于矩阵最通俗的解释-超级经典zz此⽂系转载，感谢原作雪蝴蝶，码这么多字，太⾟苦了，不过读完确实让我对矩阵有新的理解！线性代数课程，⽆论你从⾏列式⼊⼿还是直接从矩阵⼊⼿，从⼀开始就充斥着莫名其妙。
⽐如说，在全国⼀般⼯科院系教学中应⽤最⼴泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），⼀上来就介绍逆序数这个“前⽆古⼈，后⽆来者”的古怪概念，然后⽤逆序数给出⾏列式的⼀个极不直观的定义，接着是⼀些简直犯傻的⾏列式性质和习题——把这⾏乘⼀个系数加到另⼀⾏上，再把那⼀列减过来，折腾得那叫⼀个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛⽤。
⼤多数像我⼀样资质平庸的学⽣到这⾥就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻⽕圈表演了，这未免太“⽆厘头”了吧！于是开始有⼈逃课，更多的⼈开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以⽤⼀句峰回路转来形容，紧跟着这个⽆厘头的⾏列式的，是⼀个同样⽆厘头但是伟⼤的⽆以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明⽩，当⽼师犯傻似地⽤中括号把⼀堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学⽣涯掀开了何等悲壮⾟酸、惨绝⼈寰的⼀幕！⾃那以后，在⼏乎所有跟“学问”⼆字稍微沾点边的东西⾥，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能⼀次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵⽼⼤的不请⾃来每每搞得我灰头⼟脸，头破⾎流。
长期以来，我在阅读中⼀见矩阵，就如同阿Q见到了假洋⿁⼦，揉揉额⾓就绕道⾛。
事实上，我并不是特例。
⼀般⼯科学⽣初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习⾃然科学，现在看来就和⽂盲差不多。
”，然⽽“按照现⾏的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第⼆代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进⼊了“第⼆代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述⽅式和抽象性有了⼀次全⾯的进化，对于从⼩⼀直在“第⼀代数学模型”，即以实⽤为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进⾏如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
探索一年级数学难题认识数学的矩阵与行列式
探索一年级数学难题认识数学的矩阵与行列式探索一年级数学难题：认识数学的矩阵与行列式数学是一门重要而有趣的学科，能够帮助我们提升逻辑思维能力、分析问题的能力和解决实际生活中的难题。
在一年级数学学习中，除了基本的数学概念和计算技巧外，也可以引导学生初步认识更高层次的数学概念，例如矩阵与行列式。
本文将探索一年级数学难题，加深对数学的认识，让学生感受数学的魅力。
1. 认识矩阵矩阵是由一组数排列成的矩形阵列。
在一年级中，我们可以引导学生认识矩阵的形状和基本性质。
通过简单的图形展示或实物演示，让学生感受矩阵的排列规律和特点。
举个例子，我们可以选择一组数字，比如1、2、3、4，然后将它们排列成2行2列的矩阵形式：1 23 4通过观察这个矩阵，学生可以认识到矩阵由行和列组成，其中每个位置上的数字称为矩阵的元素。
此外，我们还可以以更复杂的例子来引导学生理解矩阵的不同形态，例如3行2列的矩阵等。
2. 认识行列式行列式是与矩阵相关的一个重要概念。
它是一个用来解释线性方程组解的性质的数学工具。
虽然行列式在一年级阶段尚属于较高层次的数学知识，但我们可以通过游戏和问题解决的方式引导学生初步了解行列式的概念。
例如，我们可以给学生一个简单的问题：“小明有3个苹果和2个橘子，小红有4个苹果和1个橘子，他们两个人一共有多少水果？”通过让学生用矩阵的形式表示这个问题，即2行2列的矩阵，然后计算行列式的值，可以引导学生体会如何通过行列式来解决实际问题。
3. 探索数学难题为了增加学生对数学的兴趣和挑战性，我们还可以设计一些数学难题，让他们运用矩阵和行列式的知识去解决。
这样可以培养学生的思维能力和解决问题的能力，同时加深对数学概念的理解。
举个例子，我们可以给学生一个问题：“有5个班级，每个班级有6个学生，现在要从这30个学生中选出一位代表，你将如何通过矩阵和行列式的知识来选择？”通过引导学生用矩阵的形式表示每个班级的学生情况，并利用行列式的性质来选择代表，可以激发学生的思考和创造力。
101矩阵及其运算
2
( A B )( A B ) A B
2
2
试问：上述关系式何时成立呢？
显然， AB BA,即A与B可交换时才成立。 在
（ 但是 A I） A 2 A I
2 2
( A I )( A I ) A I
2
因为 AI IA A
又如 A I） A I ) (2 A I )( A I ) （ (2
1 1
0 2 0 1
1 2
1 2
思考题： 你能举一个现实中的矩阵加法的实际例子吗？
返回
三、矩阵的乘法
例1. 某飞机制造公司生产三种不同型号的飞 机,第一季度产量分别为40架, 20架, 30架, 第 二季度产量为30架, 10架, 50架, 每架飞机的销 售利润分别是4千万元, 3千万元, 5千万元,而 每架飞机的生产成本分别是3千万元, 2千万元, 4千万元。 试计算：第一,二季度该公司生产飞机的利润 和成本分别是多少 ?
解
0 AB 1
5 , 9
BA ...33
AC无意义.
我们发现 AB 22 , BA 33 AB BA
返回
例3
a1 a2 设A , B ( b1 , b2 ,..., bn ). 求AB, BA. an 我们发现 AB ,
k 1
( i 1,..., m; j 1,..., n)
A B
第 j 列
第i 行 ……..
=
C
第 j 列
cij
第i 行
返回
1 例2 设A 1 求AB, AC .
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什么是矩阵线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。
”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。
即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。
比如说：* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。
两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。
但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。
就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。
然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。
直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。
上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。
比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。
他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。
像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。
然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。
数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。
然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。
反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。
不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。
比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。
因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。
另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。
也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
--------------------------------------------------------------------------今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。
这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。
但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。
赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。
你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。
这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。
仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。
第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。
而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。
只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。
事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。
你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。
线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。
那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。
线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。